Zadanie 5.
Pewna planetoida ℛ krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej jedynie pod wpływem siły
grawitacji Słońca. Orbita planetoidy ℛ leży w tej samej płaszczyźnie co orbita Ziemi
i przecina się z nią w dwóch punktach (zobacz rysunek).
Przyjmij następujące dane i założenia:
największą odległość planetoidy ℛ od środka 𝑆 Słońca oznaczymy jako 𝑟𝐴= |𝑆𝐴|
najmniejsza odległość planetoidy ℛ od środka 𝑆 Słońca jest równa 𝑟𝑃= |𝑆𝑃| = 0,81 au
długość osi wielkiej orbity planetoidy ℛ jest równa |𝑃𝐴| = 5,62 au
wartość prędkości planetoidy ℛ w punkcie 𝐴 orbity oznaczymy jako v𝐴
wartość prędkości planetoidy ℛ w punkcie 𝑃 orbity jest równa v𝑃= 43,29 km/s
środek orbity planetoidy ℛ oznaczymy jako 𝑂
oraz
orbitę Ziemi traktujemy w przybliżeniu jako orbitę kołową
odległość Ziemi od środka Słońca jest równa 𝑟Z = 1,0 au
okres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi 𝑇Z = 1,00 rok ziemski
pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch planetoidy ℛ oraz na ruch Ziemi.
Rysunek
Odpowiedź: 5.1. Wektor $\\vec{F}$ zaczepiamy w punkcie $\\mathcal{R}$ (tam, gdzie jest planetoida) i kierujemy wzdłuż odcinka $\\mathcal{R}S$, zwrotem do $S$ — czyli do środka Słońca. Grawitacja jest siłą centralną: zawsze wzdłuż linii łączącej oba ciała, zawsze przyciągająca. Nie jest ani styczna do orbity, ani skierowana do środka $O$ elipsy. 5.2. Półoś wielka orbity planetoidy: $$a_\\mathcal{R} = \\frac{|PA|}{2} = \\frac{5{,}62\\ \\text{au}}{2} = 2{,}81\\ \\text{au}$$ III prawo Keplera dla planetoidy i Ziemi (wspólne centrum: Słońce): $$\\frac{T_\\mathcal{R}^2}{a_\\mathcal{R}^3} = \\frac{T_Z^2}{r_Z^3} \\quad\\Rightarrow\\quad T_\\mathcal{R} = \\sqrt{\\left(\\frac{a_\\mathcal{R}}{r_Z}\\right)^3}\\cdot T_Z$$ $$T_\\mathcal{R} = \\sqrt{\\left(\\frac{2{,}81\\ \\text{au}}{1\\ \\text{au}}\\right)^3}\\cdot 1\\ \\text{rok} = \\sqrt{22{,}188}\\ \\text{roku}$$ $$\\boxed{T_\\mathcal{R} \\approx 4{,}7 \\text{ roku ziemskiego}}$$ 5.3. C Przyśpieszenie planetoidy pochodzi wyłącznie od grawitacji Słońca: $a = \\dfrac{GM_S}{r^2}$. Zatem $$\\frac{a_P}{a_A} = \\frac{r_A^2}{r_P^2} = \\left(\\frac{|SA|}{|SP|}\\right)^2$$ 5.4. Krok 1. Odległość aphelium. Oś wielka to suma obu skrajnych odległości od ogniska: $$|PA| = r_P + r_A \\quad\\Rightarrow\\quad r_A = 5{,}62\\ \\text{au} - 0{,}81\\ \\text{au} = 4{,}81\\ \\text{au}$$ Krok 2. Zasada zachowania momentu pędu względem środka Słońca. W peryhelium i aphelium prędkość jest prostopadła do promienia wodzącego, więc moment pędu upraszcza się do $L = m v r$: $$m v_P r_P = m v_A r_A \\quad\\Rightarrow\\quad v_A = v_P \\cdot \\frac{r_P}{r_A}$$ Krok 3. Podstawienie. $$v_A = 43{,}29\\ \\frac{\\text{km}}{\\text{s}} \\cdot \\frac{0{,}81\\ \\text{au}}{4{,}81\\ \\text{au}} = 43{,}29 \\cdot 0{,}16840\\ \\frac{\\text{km}}{\\text{s}}$$ $$\\boxed{v_A \\approx 7{,}3\\ \\frac{\\text{km}}{\\text{s}}}$$ Jednostki „au" skracają się — nie trzeba niczego przeliczać na metry.
\nTreść zadania (CKE)
\nGeometria elipsy — co jest czym
\nOznaczenie w zadaniu | Nazwa | Wartość
$S$ | ognisko elipsy — tu jest Słońce | —
$O$ | środek elipsy | —
$P$ | peryhelium (najbliżej Słońca) | $r_P = 0{,}81$ au
$A$ | aphelium (najdalej od Słońca) | $r_A = 4{,}81$ au
$\\ | PA\\ | $ | oś wielka $= 2a$ | 5,62 au
$a$ | półoś wielka | 2,81 au
Dwie zależności, z których wynikają wszystkie obliczenia w tym zadaniu:
\n$$r_P + r_A = 2a, \\qquad a = \\frac{r_P + r_A}{2}$$
\nPółoś wielka jest więc średnią arytmetyczną odległości peryhelium i aphelium — sprawdzenie: $(0{,}81 + 4{,}81)/2 = 2{,}81$ ✓.
\nIII prawo Keplera w jednostkach astronomicznych
\nW układzie, gdzie odległości mierzymy w au, a okresy w latach ziemskich, prawo Keplera przybiera najprostszą możliwą postać:
\n$$T^2 = a^3$$
\nBo dla Ziemi $T_Z = 1$ i $r_Z = 1$, więc stała jest równa 1. Stąd natychmiast:
\n$$T_\\mathcal{R} = a_\\mathcal{R}^{3/2} = 2{,}81^{1{,}5} \\approx 4{,}71$$
\nTo najszybszy sposób na to zadanie — bez $G$, bez masy Słońca, bez przeliczania sekund.
\nTrzy prawa Keplera — do czego służą
\nPrawo | Treść | Do czego przydaje się na maturze
I | orbita jest elipsą, Słońce w jednym z ognisk | 5.1 — kierunek siły; geometria orbity
II | promień wodzący zakreśla równe pola w równych czasach | równoważne zachowaniu momentu pędu → 5.4
III | $T^2/a^3 = \\text{const}$ dla wszystkich ciał obiegających to samo centrum | 5.2 — okres obiegu
II prawo Keplera i zasada zachowania momentu pędu to to samo prawo w dwóch przebraniach. Formalnie moment pędu $L = mvr$ jest zachowany, bo siła grawitacji jest centralna — jej moment względem Słońca jest zerowy.
\nPrędkość w peryhelium i aphelium — wzór ogólny
\nZ połączenia zachowania momentu pędu i energii mechanicznej można wyprowadzić bezpośredni wzór (CKE punktuje też tę drogę):
\n$$v_A = \\sqrt{\\frac{2GM_S}{r_A + r_P}\\cdot\\frac{r_P}{r_A}}$$
\nAle w tym zadaniu jest on niepotrzebnie długi — mamy podane $v_P$, więc wystarczy jedno równanie:
\n$$v_P r_P = v_A r_A$$
\nZasada ogólna: jeśli dana jest jedna z prędkości skrajnych, użyj momentu pędu; jeśli żadna, sięgnij po energię.
\nPunktacja CKE
\n1 pkt — zapis III prawa Keplera z uwzględnieniem obu okresów i obu półosi oraz poprawne wyznaczenie $a_\\mathcal{R} = |PA|/2$.
\n2 pkt — równość momentów pędu w $P$ i $A$ oraz poprawne wyznaczenie $r_A = |PA| - r_P$;
1 pkt — sama równość momentów pędu albo samo poprawne wyznaczenie $r_A = 4{,}81$ au.
Typowy błąd: W 5.1 najczęstszy błąd to zaczepienie wektora w Słońcu. Pytanie brzmi: jaka siła działa na planetoidę — więc wektor zaczepiamy w planetoidzie. Drugi częsty błąd: skierowanie siły do środka $O$ elipsy. Ognisko elipsy (Słońce, punkt $S$) i środek elipsy (punkt $O$) to dwa różne punkty, i siła zawsze celuje w ognisko. W 5.2 pułapka jest jedna, ale kosztowna: $|PA| = 5{,}62$ au to oś wielka, nie półoś. W III prawie Keplera występuje półoś wielka $a = |PA|/2 = 2{,}81$ au. Podstawienie 5,62 daje $T \\approx 13{,}3$ roku — wynik prawie trzykrotnie za duży. Nie licz $r_A + r_P$ jako „średnicy okręgu" i nie uśredniaj prędkości. Orbita jest elipsą; jedyna wielkość, która wchodzi do III prawa Keplera, to półoś wielka. W 5.3 kusi odpowiedź bez kwadratu (A). Grawitacja maleje z kwadratem odległości, więc iloraz przyśpieszeń jest ilorazem kwadratów odległości. Uwaga też na kolejność: $a_P$ dotyczy punktu bliższego, więc jest większe — iloraz $a_P/a_A > 1$, czyli w liczniku musi być większa odległość $|SA|$. W 5.4 nie można użyć zasady zachowania energii „na skróty" bez wzoru na energię potencjalną grawitacji. Najprostsza droga to moment pędu: $v_P r_P = v_A r_A$. Ta zależność działa wyłącznie w peryhelium i aphelium, bo tylko tam prędkość jest prostopadła do promienia wodzącego. Kontrola sensowności: planetoida w aphelium jest ok. 6 razy dalej i porusza się ok. 6 razy wolniej. To zgadza się z II prawem Keplera — daleko od Słońca ciało „ledwie się wlecze".
"}]}