{"id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/5.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"5.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nOblicz 𝑻𝓡 - okres obiegu planetoidy 𝓡 wokół Słońca. Zapisz obliczenia.\nWynik podaj w latach ziemskich.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Posługiwanie się informacjami\npochodzącymi z analizy materiałów\nźródłowych, w tym tekstów\npopularnonaukowych i źródeł\ninternetowych, oraz ocenianie\nwiarygodności źródeł.\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nI.2) posługuje się […] kartą wybranych wzorów\ni stałych fizykochemicznych;\nI.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków\nschematycznych […] informacje kluczowe\ndla opisywanego zjawiska bądź problemu; […].\nIV.5) […] stosuje do obliczeń III prawo Keplera\ndla orbit kołowych i eliptycznych.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu dookoła Słońca planetoidy ℛ oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego w latach ziemskich: 𝑇ℛ≈4,7 roku\n1 pkt - zapisanie równania III prawa Keplera (dla planetoidy ℛ i Ziemi), z uwzględnieniem\n(np. poprzez oznaczenia lub podanie wartości danych liczbowych) okresów obiegu\nplanetoidy ℛ i Ziemi dookoła Słońca, półosi wielkiej orbity planetoidy ℛ, promienia\norbity Ziemi, oraz poprawna metoda wyznaczenia długości półosi wielkiej orbity\nplanetoidy ℛ , np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑇ℛ\n2\n𝑎ℛ\n3 = 𝑇𝑍\n2\n𝑎𝑍\n3 albo 𝑇ℛ\n2\n𝑎ℛ\n3 =\n(1 rok)2\n(1 au)3 ) oraz (𝑎ℛ=\n|𝑃𝐴|\n2\nalbo oznaczenie 𝑎ℛ na osi)\nLUB\n- (dotyczy rozwiązania sposobem 2.) powołanie się na równość okresów obiegu\ndookoła Słońca planetoidy ℛ i ciała 𝒞 poruszającego się po orbicie kołowej\no promieniu równym 𝑟𝒞= 𝑎ℛ oraz zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji\ndziałającą na ciało 𝒞 jako siłę dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie\ndośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne), oraz uwzględnienie wzorów na te siły\n(lub przyśpieszenia) oraz uwzględnienie wzoru na prędkość liniową (lub kątową), np.\nzapisy równoważne poniższym:\n(𝑟𝒞= 𝑎ℛ oraz 𝑇𝒞= 𝑇ℛ ) oraz 𝑚ℛ𝑣2\n𝑟𝒞\n= 𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝒞\n2\noraz 𝑣= 2𝜋𝑟𝒞\n𝑇𝒞\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie III prawa Keplera)\nPlanetoida ℛ oraz Ziemia obiegają wspólne centrum grawitacyjne - Słońce. Do obliczenia\nokresu obiegu planetoidy ℛ dookoła Słońca wykorzystamy III prawo Keplera:\n𝑇ℛ\n2\n𝑎ℛ\n3 = 𝑇𝑍\n2\n𝑎𝑍\n3 → 𝑇ℛ= √(𝑎ℛ\n𝑎𝑍\n)\n3\n⋅𝑇𝑍\ngdzie 𝑎ℛ jest długością półosi wielkiej orbity planetoidy ℛ, 𝑎𝑍 jest promieniem orbity Ziemi,\n𝑇ℛ i 𝑇𝑍 są okresami obiegu planetoidy ℛ i Ziemi dookoła Słońca.\nWyznaczymy 𝑎ℛ:\n𝑎ℛ= |𝑃𝐴|\n2\n= 2,81 au\nPodstawimy dane do równania wynikającego z III prawa Keplera:\n𝑇ℛ= √(2,81 au\n1 au )\n3\n⋅1 rok ≈4,7 roku\nSposób 2. (zastosowanie zasad dynamiki w ruchu po okręgu)\nUwaga! Poniżej przedstawiony sposób rozwiązania jest prawidłowy, jednak nie jest\nrekomendowany dla tego zadania, ponieważ nie jest optymalny (ze względu na użycie\nwiększej liczby zależności i konieczność przeliczenia na lata ziemskie).\nWykorzystamy metodę zastępczej orbity kołowej dla eliptycznej orbity planetoidy ℛ.\nRozważmy ciało 𝒞 poruszające się po orbicie kołowej o takim promieniu 𝑟𝒞, który jest równy\ndługości półosi wielkiej orbity eliptycznej planetoidy ℛ:\n𝑟𝒞= 𝑎ℛ → 𝑟𝒞= 2,81 au\nZgodnie z III prawem Keplera dla orbit kołowych i eliptycznych, okres obiegu ciała 𝒞 dookoła\nSłońca jest równy okresowi obiegu planetoidy ℛ dookoła Słońca:\n𝑇𝒞= 𝑇ℛ\nPrzy takim założeniu obliczymy 𝑇𝒞 z wykorzystaniem II zasady dynamiki dla ruchu po okręgu.\nFunkcję siły dośrodkowej działającej na ciało 𝒞 pełni siła grawitacji pochodząca od Słońca:\n𝑚𝒞(2𝜋\n𝑇𝒞\n)\n2\n𝑟𝒞= 𝐺𝑀𝑆𝑚𝒞\n𝑟𝒞\n2\n→ 𝑇𝒞= 2𝜋√𝑟𝒞3\n𝐺𝑀𝑆\n𝑇𝒞= 2𝜋√\n(2,81 ⋅1,50 ⋅1011 m)3\n6,67 ⋅10-11 N ⋅m2\nkg2\n⋅1,99 ⋅1030 kg\n≈ 14,9 ⋅107 s\n𝑇ℛ= 𝑇𝒞= 14,9 ⋅107 s\nWynik wyrazimy w latach ziemskich:\n𝑇𝑅≈\n14,9 ⋅107 s\n3,65 ⋅2,4 ⋅3,6 ⋅102+1+3 s\nrok\n≈4,7 roku\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Półoś wielka orbity planetoidy: $$a_\\mathcal{R} = \\frac{|PA|}{2} = \\frac{5{,}62\\ \\text{au}}{2} = 2{,}81\\ \\text{au}$$ III prawo Keplera dla planetoidy i Ziemi (wspólne centrum: Słońce): $$\\frac{T_\\mathcal{R}^2}{a_\\mathcal{R}^3} = \\frac{T_Z^2}{r_Z^3} \\quad\\Rightarrow\\quad T_\\mathcal{R} = \\sqrt{\\left(\\frac{a_\\mathcal{R}}{r_Z}\\right)^3}\\cdot T_Z$$ $$T_\\mathcal{R} = \\sqrt{\\left(\\frac{2{,}81\\ \\text{au}}{1\\ \\text{au}}\\right)^3}\\cdot 1\\ \\text{rok} = \\sqrt{22{,}188}\\ \\text{roku}$$ $$\\boxed{T_\\mathcal{R} \\approx 4{,}7 \\text{ roku ziemskiego}}$$ **5.3. C** Przyśpieszenie planetoidy pochodzi wyłącznie od grawitacji Słońca: $a = \\dfrac{GM_S}{r^2}$. Zatem $$\\frac{a_P}{a_A} = \\frac{r_A^2}{r_P^2} = \\left(\\frac{|SA|}{|SP|}\\right)^2$$","image":"img/fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-5.2.webp","solution_image":null,"topics":"grawitacja, orbita eliptyczna, III prawo Keplera, zasada zachowania momentu pedu, peryhelium i aphelium","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5.2. (0-2)
Oblicz 𝑻𝓡 - okres obiegu planetoidy 𝓡 wokół Słońca. Zapisz obliczenia.
Wynik podaj w latach ziemskich.

","answer_text_html":"

Zadanie 5.2. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Posługiwanie się informacjami
pochodzącymi z analizy materiałów
źródłowych, w tym tekstów
popularnonaukowych i źródeł
internetowych, oraz ocenianie
wiarygodności źródeł.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.2) posługuje się […] kartą wybranych wzorów
i stałych fizykochemicznych;
I.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków
schematycznych […] informacje kluczowe
dla opisywanego zjawiska bądź problemu; […].
IV.5) […] stosuje do obliczeń III prawo Keplera
dla orbit kołowych i eliptycznych.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu dookoła Słońca planetoidy ℛ oraz
podanie prawidłowego wyniku liczbowego w latach ziemskich: 𝑇ℛ≈4,7 roku
1 pkt - zapisanie równania III prawa Keplera (dla planetoidy ℛ i Ziemi), z uwzględnieniem
(np. poprzez oznaczenia lub podanie wartości danych liczbowych) okresów obiegu
planetoidy ℛ i Ziemi dookoła Słońca, półosi wielkiej orbity planetoidy ℛ, promienia
orbity Ziemi, oraz poprawna metoda wyznaczenia długości półosi wielkiej orbity
planetoidy ℛ , np. zapisy równoważne poniższym:
(𝑇ℛ
2
𝑎ℛ
3 = 𝑇𝑍
2
𝑎𝑍
3 albo 𝑇ℛ
2
𝑎ℛ
3 =
(1 rok)2
(1 au)3 ) oraz (𝑎ℛ=
|𝑃𝐴|
2
albo oznaczenie 𝑎ℛ na osi)
LUB

\n\n

dookoła Słońca planetoidy ℛ i ciała 𝒞 poruszającego się po orbicie kołowej
o promieniu równym 𝑟𝒞= 𝑎ℛ oraz zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji
działającą na ciało 𝒞 jako siłę dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie
dośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne), oraz uwzględnienie wzorów na te siły
(lub przyśpieszenia) oraz uwzględnienie wzoru na prędkość liniową (lub kątową), np.
zapisy równoważne poniższym:
(𝑟𝒞= 𝑎ℛ oraz 𝑇𝒞= 𝑇ℛ ) oraz 𝑚ℛ𝑣2
𝑟𝒞
= 𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
𝑟𝒞
2
oraz 𝑣= 2𝜋𝑟𝒞
𝑇𝒞
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (zastosowanie III prawa Keplera)
Planetoida ℛ oraz Ziemia obiegają wspólne centrum grawitacyjne - Słońce. Do obliczenia
okresu obiegu planetoidy ℛ dookoła Słońca wykorzystamy III prawo Keplera:
𝑇ℛ
2
𝑎ℛ
3 = 𝑇𝑍
2
𝑎𝑍
3 → 𝑇ℛ= √(𝑎ℛ
𝑎𝑍
)
3
⋅𝑇𝑍
gdzie 𝑎ℛ jest długością półosi wielkiej orbity planetoidy ℛ, 𝑎𝑍 jest promieniem orbity Ziemi,
𝑇ℛ i 𝑇𝑍 są okresami obiegu planetoidy ℛ i Ziemi dookoła Słońca.
Wyznaczymy 𝑎ℛ:
𝑎ℛ= |𝑃𝐴|
2
= 2,81 au
Podstawimy dane do równania wynikającego z III prawa Keplera:
𝑇ℛ= √(2,81 au
1 au )
3
⋅1 rok ≈4,7 roku
Sposób 2. (zastosowanie zasad dynamiki w ruchu po okręgu)
Uwaga! Poniżej przedstawiony sposób rozwiązania jest prawidłowy, jednak nie jest
rekomendowany dla tego zadania, ponieważ nie jest optymalny (ze względu na użycie
większej liczby zależności i konieczność przeliczenia na lata ziemskie).
Wykorzystamy metodę zastępczej orbity kołowej dla eliptycznej orbity planetoidy ℛ.
Rozważmy ciało 𝒞 poruszające się po orbicie kołowej o takim promieniu 𝑟𝒞, który jest równy
długości półosi wielkiej orbity eliptycznej planetoidy ℛ:
𝑟𝒞= 𝑎ℛ → 𝑟𝒞= 2,81 au
Zgodnie z III prawem Keplera dla orbit kołowych i eliptycznych, okres obiegu ciała 𝒞 dookoła
Słońca jest równy okresowi obiegu planetoidy ℛ dookoła Słońca:
𝑇𝒞= 𝑇ℛ
Przy takim założeniu obliczymy 𝑇𝒞 z wykorzystaniem II zasady dynamiki dla ruchu po okręgu.
Funkcję siły dośrodkowej działającej na ciało 𝒞 pełni siła grawitacji pochodząca od Słońca:
𝑚𝒞(2𝜋
𝑇𝒞
)
2
𝑟𝒞= 𝐺𝑀𝑆𝑚𝒞
𝑟𝒞
2
→ 𝑇𝒞= 2𝜋√𝑟𝒞3
𝐺𝑀𝑆
𝑇𝒞= 2𝜋√
(2,81 ⋅1,50 ⋅1011 m)3
6,67 ⋅10-11 N ⋅m2
kg2
⋅1,99 ⋅1030 kg
≈ 14,9 ⋅107 s
𝑇ℛ= 𝑇𝒞= 14,9 ⋅107 s
Wynik wyrazimy w latach ziemskich:
𝑇𝑅≈
14,9 ⋅107 s
3,65 ⋅2,4 ⋅3,6 ⋅102+1+3 s
rok
≈4,7 roku
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Półoś wielka orbity planetoidy: $$a_\\mathcal{R} = \\frac{|PA|}{2} = \\frac{5{,}62\\ \\text{au}}{2} = 2{,}81\\ \\text{au}$$ III prawo Keplera dla planetoidy i Ziemi (wspólne centrum: Słońce): $$\\frac{T_\\mathcal{R}^2}{a_\\mathcal{R}^3} = \\frac{T_Z^2}{r_Z^3} \\quad\\Rightarrow\\quad T_\\mathcal{R} = \\sqrt{\\left(\\frac{a_\\mathcal{R}}{r_Z}\\right)^3}\\cdot T_Z$$ $$T_\\mathcal{R} = \\sqrt{\\left(\\frac{2{,}81\\ \\text{au}}{1\\ \\text{au}}\\right)^3}\\cdot 1\\ \\text{rok} = \\sqrt{22{,}188}\\ \\text{roku}$$ $$\\boxed{T_\\mathcal{R} \\approx 4{,}7 \\text{ roku ziemskiego}}$$ 5.3. C Przyśpieszenie planetoidy pochodzi wyłącznie od grawitacji Słońca: $a = \\dfrac{GM_S}{r^2}$. Zatem $$\\frac{a_P}{a_A} = \\frac{r_A^2}{r_P^2} = \\left(\\frac{|SA|}{|SP|}\\right)^2$$

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: $T_{\\mathcal{R}} \\approx 4{,}7$ roku (lat ziemskich)

\n

Planetoida $\\mathcal{R}$ krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej. Do wyznaczenia okresu obiegu wykorzystujemy III prawo Keplera, które wiąże okres z półosią wielką orbity.

\n

Krok 1. Półoś wielka orbity. Długość osi wielkiej to $|PA|=5{,}62$ au, więc półoś wielka:

\n

$$a_{\\mathcal{R}} = \\frac{|PA|}{2} = \\frac{5{,}62}{2} = 2{,}81\\ \\text{au}.$$

\n

Krok 2. III prawo Keplera. Dla ciał krążących wokół Słońca:

\n

$$\\frac{T_{\\mathcal{R}}^2}{a_{\\mathcal{R}}^3} = \\frac{T_Z^2}{r_Z^3}.$$

\n

Dla Ziemi $T_Z=1{,}00$ rok, $r_Z=1{,}0$ au, więc $\\dfrac{T_Z^2}{r_Z^3}=1$ (w jednostkach: lata, au). Zatem po prostu:

\n

$$T_{\\mathcal{R}}^2 = a_{\\mathcal{R}}^3 \\;\\Rightarrow\\; T_{\\mathcal{R}} = a_{\\mathcal{R}}^{3/2}.$$

\n

Krok 3. Obliczenie:

\n

$$T_{\\mathcal{R}} = (2{,}81)^{3/2} = 2{,}81 \\cdot \\sqrt{2{,}81} \\approx 2{,}81 \\cdot 1{,}676 \\approx 4{,}7\\ \\text{roku}.$$

\n

Odpowiedź: $T_{\\mathcal{R}} \\approx 4{,}7$ roku ziemskiego.

\n

(Dane $v_P$ i $r_P$ nie są potrzebne do tego rachunku - wystarcza długość osi wielkiej i III prawo Keplera.)

\n

Zasady oceniania CKE

\n"}]}