{"id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/5.4","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"5.4","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.4. (0-3)\nOblicz v𝑨 - wartość prędkości planetoidy 𝓡 w punkcie 𝑨 orbity. Zapisz obliczenia.\n5.4.\n0-1-\n2-3\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.4. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Posługiwanie się informacjami\npochodzącymi z analizy materiałów\nźródłowych, w tym tekstów\npopularnonaukowych i źródeł\ninternetowych, oraz ocenianie\nwiarygodności źródeł.\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nI.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków\nschematycznych […] informacje kluczowe\ndla opisywanego zjawiska bądź problemu […].\nIII.6) posługuje się pojęciem momentu pędu\npunktu materialnego […];\nIII.7) stosuje zasadę zachowania momentu pędu.\nIV.6) interpretuje II prawo Keplera jako\nkonsekwencję zasady zachowania momentu\npędu.\nALBO\nII.20) […] wykorzystuje […] zasadę zachowania\nenergii mechanicznej do obliczeń.\nIV.7) oblicza zmiany energii potencjalnej\ngrawitacji i stosuje zasadę zachowania energii\ndo ruchu pod wpływem siły grawitacji.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości planetoidy ℛ w punkcie aphelium oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑣𝐴≈7,3 km/s\n2 pkt - zapisanie równości momentów pędu (względem środka Słońca) planetoidy ℛ\nw punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃 (peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w tym równaniu\nprędkości planetoidy w punktach 𝐴, 𝑃 i odległości od środka Słońca do punktów 𝐴, 𝑃,\noraz prawidłowe wyznaczenie odległości od środka Słońca do punktu 𝐴, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃 oraz 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃\nalbo w jednym równaniu\n𝑣𝐴(|𝑃𝐴| -𝑟𝑃) = 𝑣𝑃𝑟𝑃\n1 pkt - zapisanie równości momentów pędu (względem środka Słońca) planetoidy ℛ\nw punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃 (peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w tym równaniu\nprędkości planetoidy w punktach 𝐴, 𝑃 i odległości od środka Słońca do punktów 𝐴, 𝑃,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia odległości od środka Słońca do punktu 𝐴 (aphelium)\norbity planetoidy ℛ oraz wyznaczenie tej odległości (na symbolach lub liczbach), np.\nzapisy równoważne poniższym:\n(|𝑃𝐴| = 𝑟𝑃+ 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃) albo 𝑟𝐴= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości planetoidy ℛ w punkcie aphelium oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑣𝐴≈ 7,3 km/s\n2 pkt - zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz\nzapisanie równań wyrażających zasadę zachowania momentu pędu dla planetoidy ℛ\n(tzn. przyrównanie energii mechanicznych oraz momentów pędu planetoidy ℛ\nw punktach 𝑃 i 𝐴), oraz wykorzystanie wzorów na energie mechaniczne i momenty\npędu w punktach 𝑃 i 𝐴, oraz poprawne wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości\nplanetoidy ℛ w punkcie 𝐴, np. zapisy równoważne poniższym:\n{\n𝑚ℛ𝑣𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝑃\n= 𝑚ℛ𝑣𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝐴\n𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃= 𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴\n→ 𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆\n(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝑃\n𝑟𝐴\nLUB\n- bezpośrednie zapisanie wzoru na prędkość planetoidy ℛ w punkcie 𝐴 orbity oraz\nprawidłowe wyznaczenie odległości od środka Słońca do punktu 𝐴, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆\n(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝑃\n𝑟𝐴\n→ 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz\nzapisanie równań wyrażających zasadę zachowania momentu pędu planetoidy ℛ\n(tzn. przyrównanie energii mechanicznych oraz momentów pędu planetoidy ℛ\nw punktach 𝑃 i 𝐴), np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸𝑃= 𝐸𝐴 oraz 𝐿𝑃= 𝐿𝐴\nLUB\n- bezpośrednie zapisanie wzoru (bez wyprowadzenia) na prędkość planetoidy ℛ\nw punkcie 𝐴 orbity, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆\n(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝑃\n𝑟𝐴\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia odległości od środka Słońca do punktu 𝐴 (aphelium)\norbity planetoidy ℛ oraz wyznaczenie tej odległości (na symbolach lub liczbach), np.\nzapisy równoważne poniższym:\n(|𝑃𝐴| = 𝑟𝑃+ 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃) albo 𝑟𝐴= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości planetoidy ℛ w punkcie aphelium oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑣𝐴≈7,3 km/s\n2 pkt - zapisanie równości energii mechanicznych planetoidy ℛ w punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃\n(peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w wyrażeniu na energię mechaniczną wzorów\nna energię potencjalną i na energię kinetyczną, oraz prawidłowe wyznaczenie\nodległości od środka Słońca do punktu 𝐴, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚ℛ𝑣𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝑃\n= 𝑚ℛ𝑣𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝐴\noraz 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃\nalbo w jednym równaniu\n𝑚ℛ𝑣𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝑃\n= 𝑚ℛ𝑣𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n|𝑃𝐴| -𝑟𝑃\n1 pkt - zapisanie równości energii mechanicznych planetoidy ℛ w punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃\n(peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w wyrażeniu na energię mechaniczną energii\npotencjalnej i energii kinetycznej (wystarczy poprzez oznaczenie), np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝐸𝐴 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝐴 𝑝𝑜𝑡= 𝐸𝑃 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝑃 𝑝𝑜𝑡\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia odległości od środka Słońca do punktu 𝐴 (aphelium)\norbity planetoidy ℛ oraz wyznaczenie tej odległości (na symbolach lub liczbach), np.\nzapisy równoważne poniższym:\n(|𝑃𝐴| = 𝑟𝑃+ 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃) albo 𝑟𝐴= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie zasady zachowania momentu pędu)\nWykorzystamy zasadę zachowania momentu pędu planetoidy ℛ względem punktu centrum\ngrawitacyjnego. Moment pędu planetoidy w punkcie perycentrum jest równy momentowi\npędu planetoidy w punkcie apocentrum:\n𝐿𝐴= 𝐿𝑃\nWykorzystamy wzór na moment pędu. Prędkości planetoidy w punktach apocentrum\ni perycentrum są prostopadłe do promienia wodzącego, zatem:\n𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃 → 𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑣𝑃𝑟𝑃\n𝑣𝐴= 𝑟𝑃\n𝑟𝐴\n𝑣𝑃\nWyznaczymy 𝑟𝐴:\n𝑟𝐴+ 𝑟𝑃= |𝑃𝐴| → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au\nPodstawimy dane liczbowe do wzoru na 𝑣𝐴:\n𝑣𝐴= 0,81 au\n4,81 au ⋅43,29 km\ns = 7,29 km\ns ≈7,3 km\ns\nSposób 2. (wyprowadzenie wzoru z zasad zachowania)\nUwaga! Poniżej przedstawiony sposób nie jest rekomendowany dla tego zadania, ponieważ\nnie wykorzystuje 𝑣𝑃 i wymaga więcej rachunków algebraicznych oraz liczbowych niż\nsposób 1. Ten sposób byłby konieczny, gdyby w zadaniu nie była podana prędkość 𝑣𝑃.\nObliczymy wartość 𝑣𝐴 prędkości, jaką ma planetoida ℛ w punkcie 𝐴 orbity. Wykorzystamy\nzasadę zachowania energii mechanicznej oraz zasadę zachowania momentu pędu dla\nplanetoidy ℛ. Przyrównamy te wielkości w punktach 𝑃 i 𝐴 orbity eliptycznej:\n{𝐸𝑃= 𝐸𝐴\n𝐿𝑃= 𝐿𝐴\nDo powyższego układu równań podstawimy odpowiednie wzory na energię mechaniczną\ni moment pędu, następnie przekształcimy układ równań i wyznaczymy 𝑣𝐴:\n{\n𝑚ℛ𝑣𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝑃\n= 𝑚ℛ𝑣𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝐴\n𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃= 𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴\n→\n{\n𝑣𝑃\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝑃\n= 𝑣𝐴\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\n𝑣𝑃= 𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n𝑣𝐴\n𝑣𝐴\n2 -(𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n)\n2\n𝑣𝐴\n2 = 2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\n-2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝑃\n𝑣𝐴\n2 (1 -(𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n)\n2\n) = 2𝐺𝑀𝑆(1\n𝑟𝐴\n-1\n𝑟𝑃\n)\n𝑣𝐴\n2 (𝑟𝑃\n2 -𝑟𝐴\n2\n𝑟𝑃\n2\n) = 2𝐺𝑀𝑆(𝑟𝑃-𝑟𝐴\n𝑟𝐴𝑟𝑃\n)\n𝑣𝐴\n2 (𝑟𝑃+ 𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n) = 2𝐺𝑀𝑆(1\n𝑟𝐴\n)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆\n(𝑟𝑃+ 𝑟𝐴) ⋅𝑟𝑃\n𝑟𝐴\n= √\n𝐺𝑀𝑆\n|𝑃𝐴|\n2\n⋅\n𝑟𝑃\n|𝑃𝐴| -𝑟𝑃\n𝑣𝐴= √6,674 ⋅10-11 N ⋅m2\nkg2\n⋅1,988 ⋅1030 kg\n2,81 ⋅1,496 ⋅1011 m\n⋅0,81 au\n4,81 au ≈7,29 ⋅103 m\ns ≈7,3 km\ns\nSposób 3. (zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej)\nUwaga! Poniżej przedstawiony sposób nie jest rekomendowany dla tego zadania, ponieważ\nnie jest optymalny - wymaga więcej rachunków liczbowych niż sposób 1.\nObliczymy wartość 𝑣𝐴 prędkości, jaką ma planetoida ℛ w punkcie 𝐴 orbity. Wykorzystamy\nzasadę zachowania energii mechanicznej dla planetoidy ℛ. Przyrównamy energie\nmechaniczne w punktach 𝑃 i 𝐴 orbity eliptycznej oraz uwzględnimy w energii mechanicznej\nenergię kinetyczną i energię potencjalną:\n𝐸𝑃= 𝐸𝐴 czyli 𝐸𝑃 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝑃 𝑝𝑜𝑡= 𝐸𝐴 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝐴 𝑝𝑜𝑡\nDo powyższego równania podstawimy odpowiednie wzory i wyznaczymy 𝑣𝐴:\n𝑚ℛ𝑣𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝑃\n= 𝑚ℛ𝑣𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝐴\n𝑣𝑃\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝑃\n= 𝑣𝐴\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\n𝑣𝐴= √𝑣𝑃\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝑃\n+ 2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\n= √𝑣𝑃\n2 -2𝐺𝑀𝑆(𝑟𝐴-𝑟𝑃\n𝑟𝐴𝑟𝑃\n)\n𝑣𝐴= √𝑣𝑃\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n|𝑃𝐴| -2𝑟𝑃\n(|𝑃𝐴| -𝑟𝑃)𝑟𝑃\n𝑣𝐴= √(43,29 km\ns )\n2\n-2 ⋅6,674 ⋅10-11 N ⋅m2\nkg2\n⋅1,988 ⋅1030 kg\n4 au\n4,81 ⋅0,81 au2\n𝑣𝐴= √(43,29 km\ns )\n2\n-2 ⋅6,674 ⋅10-11 ⋅1,988 ⋅1030\n4\n4,81 ⋅0,81 ⋅\n1\n1,496 ⋅1011 m2\ns2\n𝑣𝐴≈√1 874,02 km2\ns2 - 1 821,09 km2\ns2 ≈7,3 km\ns","solution":"**Krok 1. Odległość aphelium.** Oś wielka to suma obu skrajnych odległości od ogniska: $$|PA| = r_P + r_A \\quad\\Rightarrow\\quad r_A = 5{,}62\\ \\text{au} - 0{,}81\\ \\text{au} = 4{,}81\\ \\text{au}$$ **Krok 2. Zasada zachowania momentu pędu** względem środka Słońca. W peryhelium i aphelium prędkość jest **prostopadła** do promienia wodzącego, więc moment pędu upraszcza się do $L = m v r$: $$m v_P r_P = m v_A r_A \\quad\\Rightarrow\\quad v_A = v_P \\cdot \\frac{r_P}{r_A}$$ **Krok 3. Podstawienie.** $$v_A = 43{,}29\\ \\frac{\\text{km}}{\\text{s}} \\cdot \\frac{0{,}81\\ \\text{au}}{4{,}81\\ \\text{au}} = 43{,}29 \\cdot 0{,}16840\\ \\frac{\\text{km}}{\\text{s}}$$ $$\\boxed{v_A \\approx 7{,}3\\ \\frac{\\text{km}}{\\text{s}}}$$ Jednostki „au\" skracają się — nie trzeba niczego przeliczać na metry.","image":"img/fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-5.4.webp","solution_image":null,"topics":"grawitacja, orbita eliptyczna, III prawo Keplera, zasada zachowania momentu pedu, peryhelium i aphelium","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5.4. (0-3)
Oblicz v𝑨 - wartość prędkości planetoidy 𝓡 w punkcie 𝑨 orbity. Zapisz obliczenia.
5.4.
0-1-
2-3
MFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 5.4. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Posługiwanie się informacjami
pochodzącymi z analizy materiałów
źródłowych, w tym tekstów
popularnonaukowych i źródeł
internetowych, oraz ocenianie
wiarygodności źródeł.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków
schematycznych […] informacje kluczowe
dla opisywanego zjawiska bądź problemu […].
III.6) posługuje się pojęciem momentu pędu
punktu materialnego […];
III.7) stosuje zasadę zachowania momentu pędu.
IV.6) interpretuje II prawo Keplera jako
konsekwencję zasady zachowania momentu
pędu.
ALBO
II.20) […] wykorzystuje […] zasadę zachowania
energii mechanicznej do obliczeń.
IV.7) oblicza zmiany energii potencjalnej
grawitacji i stosuje zasadę zachowania energii
do ruchu pod wpływem siły grawitacji.
Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości planetoidy ℛ w punkcie aphelium oraz
podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑣𝐴≈7,3 km/s
2 pkt - zapisanie równości momentów pędu (względem środka Słońca) planetoidy ℛ
w punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃 (peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w tym równaniu
prędkości planetoidy w punktach 𝐴, 𝑃 i odległości od środka Słońca do punktów 𝐴, 𝑃,
oraz prawidłowe wyznaczenie odległości od środka Słońca do punktu 𝐴, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃 oraz 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃
albo w jednym równaniu
𝑣𝐴(|𝑃𝐴| -𝑟𝑃) = 𝑣𝑃𝑟𝑃
1 pkt - zapisanie równości momentów pędu (względem środka Słońca) planetoidy ℛ
w punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃 (peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w tym równaniu
prędkości planetoidy w punktach 𝐴, 𝑃 i odległości od środka Słońca do punktów 𝐴, 𝑃,
np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃
LUB

\n\n

orbity planetoidy ℛ oraz wyznaczenie tej odległości (na symbolach lub liczbach), np.
zapisy równoważne poniższym:
(|𝑃𝐴| = 𝑟𝑃+ 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃) albo 𝑟𝐴= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości planetoidy ℛ w punkcie aphelium oraz
podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑣𝐴≈ 7,3 km/s
2 pkt - zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz
zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania momentu pędu dla planetoidy ℛ
(tzn. przyrównanie energii mechanicznych oraz momentów pędu planetoidy ℛ
w punktach 𝑃 i 𝐴), oraz wykorzystanie wzorów na energie mechaniczne i momenty
pędu w punktach 𝑃 i 𝐴, oraz poprawne wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości
planetoidy ℛ w punkcie 𝐴, np. zapisy równoważne poniższym:
{
𝑚ℛ𝑣𝑃
2
2
-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
𝑟𝑃
= 𝑚ℛ𝑣𝐴
2
2
-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
𝑟𝐴
𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃= 𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴
→ 𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆
(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝑃
𝑟𝐴
LUB

\n\n

prawidłowe wyznaczenie odległości od środka Słońca do punktu 𝐴, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆
(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝑃
𝑟𝐴
→ 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃
Zasady oceniania rozwiązań zadań
1 pkt - zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz
zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania momentu pędu planetoidy ℛ
(tzn. przyrównanie energii mechanicznych oraz momentów pędu planetoidy ℛ
w punktach 𝑃 i 𝐴), np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝑃= 𝐸𝐴 oraz 𝐿𝑃= 𝐿𝐴
LUB

\n\n

w punkcie 𝐴 orbity, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆
(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝑃
𝑟𝐴
LUB

\n\n

orbity planetoidy ℛ oraz wyznaczenie tej odległości (na symbolach lub liczbach), np.
zapisy równoważne poniższym:
(|𝑃𝐴| = 𝑟𝑃+ 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃) albo 𝑟𝐴= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości planetoidy ℛ w punkcie aphelium oraz
podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑣𝐴≈7,3 km/s
2 pkt - zapisanie równości energii mechanicznych planetoidy ℛ w punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃
(peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w wyrażeniu na energię mechaniczną wzorów
na energię potencjalną i na energię kinetyczną, oraz prawidłowe wyznaczenie
odległości od środka Słońca do punktu 𝐴, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚ℛ𝑣𝑃
2
2
-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
𝑟𝑃
= 𝑚ℛ𝑣𝐴
2
2
-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
𝑟𝐴
oraz 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃
albo w jednym równaniu
𝑚ℛ𝑣𝑃
2
2
-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
𝑟𝑃
= 𝑚ℛ𝑣𝐴
2
2
-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
|𝑃𝐴| -𝑟𝑃
1 pkt - zapisanie równości energii mechanicznych planetoidy ℛ w punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃
(peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w wyrażeniu na energię mechaniczną energii
potencjalnej i energii kinetycznej (wystarczy poprzez oznaczenie), np. zapisy
równoważne poniższym:
𝐸𝐴 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝐴 𝑝𝑜𝑡= 𝐸𝑃 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝑃 𝑝𝑜𝑡
LUB

\n\n

orbity planetoidy ℛ oraz wyznaczenie tej odległości (na symbolach lub liczbach), np.
zapisy równoważne poniższym:
(|𝑃𝐴| = 𝑟𝑃+ 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃) albo 𝑟𝐴= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (zastosowanie zasady zachowania momentu pędu)
Wykorzystamy zasadę zachowania momentu pędu planetoidy ℛ względem punktu centrum
grawitacyjnego. Moment pędu planetoidy w punkcie perycentrum jest równy momentowi
pędu planetoidy w punkcie apocentrum:
𝐿𝐴= 𝐿𝑃
Wykorzystamy wzór na moment pędu. Prędkości planetoidy w punktach apocentrum
i perycentrum są prostopadłe do promienia wodzącego, zatem:
𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃 → 𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑣𝑃𝑟𝑃
𝑣𝐴= 𝑟𝑃
𝑟𝐴
𝑣𝑃
Wyznaczymy 𝑟𝐴:
𝑟𝐴+ 𝑟𝑃= |𝑃𝐴| → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au
Podstawimy dane liczbowe do wzoru na 𝑣𝐴:
𝑣𝐴= 0,81 au
4,81 au ⋅43,29 km
s = 7,29 km
s ≈7,3 km
s
Sposób 2. (wyprowadzenie wzoru z zasad zachowania)
Uwaga! Poniżej przedstawiony sposób nie jest rekomendowany dla tego zadania, ponieważ
nie wykorzystuje 𝑣𝑃 i wymaga więcej rachunków algebraicznych oraz liczbowych niż
sposób 1. Ten sposób byłby konieczny, gdyby w zadaniu nie była podana prędkość 𝑣𝑃.
Obliczymy wartość 𝑣𝐴 prędkości, jaką ma planetoida ℛ w punkcie 𝐴 orbity. Wykorzystamy
zasadę zachowania energii mechanicznej oraz zasadę zachowania momentu pędu dla
planetoidy ℛ. Przyrównamy te wielkości w punktach 𝑃 i 𝐴 orbity eliptycznej:
{𝐸𝑃= 𝐸𝐴
𝐿𝑃= 𝐿𝐴
Do powyższego układu równań podstawimy odpowiednie wzory na energię mechaniczną
i moment pędu, następnie przekształcimy układ równań i wyznaczymy 𝑣𝐴:
{
𝑚ℛ𝑣𝑃
2
2
-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
𝑟𝑃
= 𝑚ℛ𝑣𝐴
2
2
-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
𝑟𝐴
𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃= 𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴
→
{
𝑣𝑃
2 -2𝐺𝑀𝑆
𝑟𝑃
= 𝑣𝐴
2 -2𝐺𝑀𝑆
𝑟𝐴
𝑣𝑃= 𝑟𝐴
𝑟𝑃
𝑣𝐴
𝑣𝐴
2 -(𝑟𝐴
𝑟𝑃
)
2
𝑣𝐴
2 = 2𝐺𝑀𝑆
𝑟𝐴
-2𝐺𝑀𝑆
𝑟𝑃
𝑣𝐴
2 (1 -(𝑟𝐴
𝑟𝑃
)
2
) = 2𝐺𝑀𝑆(1
𝑟𝐴
-1
𝑟𝑃
)
𝑣𝐴
2 (𝑟𝑃
2 -𝑟𝐴
2
𝑟𝑃
2
) = 2𝐺𝑀𝑆(𝑟𝑃-𝑟𝐴
𝑟𝐴𝑟𝑃
)
𝑣𝐴
2 (𝑟𝑃+ 𝑟𝐴
𝑟𝑃
) = 2𝐺𝑀𝑆(1
𝑟𝐴
)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆
(𝑟𝑃+ 𝑟𝐴) ⋅𝑟𝑃
𝑟𝐴
= √
𝐺𝑀𝑆
|𝑃𝐴|
2
⋅
𝑟𝑃
|𝑃𝐴| -𝑟𝑃
𝑣𝐴= √6,674 ⋅10-11 N ⋅m2
kg2
⋅1,988 ⋅1030 kg
2,81 ⋅1,496 ⋅1011 m
⋅0,81 au
4,81 au ≈7,29 ⋅103 m
s ≈7,3 km
s
Sposób 3. (zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej)
Uwaga! Poniżej przedstawiony sposób nie jest rekomendowany dla tego zadania, ponieważ
nie jest optymalny - wymaga więcej rachunków liczbowych niż sposób 1.
Obliczymy wartość 𝑣𝐴 prędkości, jaką ma planetoida ℛ w punkcie 𝐴 orbity. Wykorzystamy
zasadę zachowania energii mechanicznej dla planetoidy ℛ. Przyrównamy energie
mechaniczne w punktach 𝑃 i 𝐴 orbity eliptycznej oraz uwzględnimy w energii mechanicznej
energię kinetyczną i energię potencjalną:
𝐸𝑃= 𝐸𝐴 czyli 𝐸𝑃 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝑃 𝑝𝑜𝑡= 𝐸𝐴 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝐴 𝑝𝑜𝑡
Do powyższego równania podstawimy odpowiednie wzory i wyznaczymy 𝑣𝐴:
𝑚ℛ𝑣𝑃
2
2
-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
𝑟𝑃
= 𝑚ℛ𝑣𝐴
2
2
-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ
𝑟𝐴
𝑣𝑃
2 -2𝐺𝑀𝑆
𝑟𝑃
= 𝑣𝐴
2 -2𝐺𝑀𝑆
𝑟𝐴
𝑣𝐴= √𝑣𝑃
2 -2𝐺𝑀𝑆
𝑟𝑃

\n\n

𝑟𝐴
= √𝑣𝑃
2 -2𝐺𝑀𝑆(𝑟𝐴-𝑟𝑃
𝑟𝐴𝑟𝑃
)
𝑣𝐴= √𝑣𝑃
2 -2𝐺𝑀𝑆
|𝑃𝐴| -2𝑟𝑃
(|𝑃𝐴| -𝑟𝑃)𝑟𝑃
𝑣𝐴= √(43,29 km
s )
2
-2 ⋅6,674 ⋅10-11 N ⋅m2
kg2
⋅1,988 ⋅1030 kg
4 au
4,81 ⋅0,81 au2
𝑣𝐴= √(43,29 km
s )
2
-2 ⋅6,674 ⋅10-11 ⋅1,988 ⋅1030
4
4,81 ⋅0,81 ⋅
1
1,496 ⋅1011 m2
s2
𝑣𝐴≈√1 874,02 km2
s2 - 1 821,09 km2
s2 ≈7,3 km
s

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Krok 1. Odległość aphelium. Oś wielka to suma obu skrajnych odległości od ogniska: $$|PA| = r_P + r_A \\quad\\Rightarrow\\quad r_A = 5{,}62\\ \\text{au} - 0{,}81\\ \\text{au} = 4{,}81\\ \\text{au}$$ Krok 2. Zasada zachowania momentu pędu względem środka Słońca. W peryhelium i aphelium prędkość jest prostopadła do promienia wodzącego, więc moment pędu upraszcza się do $L = m v r$: $$m v_P r_P = m v_A r_A \\quad\\Rightarrow\\quad v_A = v_P \\cdot \\frac{r_P}{r_A}$$ Krok 3. Podstawienie. $$v_A = 43{,}29\\ \\frac{\\text{km}}{\\text{s}} \\cdot \\frac{0{,}81\\ \\text{au}}{4{,}81\\ \\text{au}} = 43{,}29 \\cdot 0{,}16840\\ \\frac{\\text{km}}{\\text{s}}$$ $$\\boxed{v_A \\approx 7{,}3\\ \\frac{\\text{km}}{\\text{s}}}$$ Jednostki „au" skracają się — nie trzeba niczego przeliczać na metry.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: $v_A \\approx 7{,}3$ km/s

\n

Krok 1. Wyznaczenie $r_A = |SA|$. Długość osi wielkiej to suma odległości peryhelium i aphelium od Słońca:

\n

$$|PA| = r_P + r_A \\quad\\Rightarrow\\quad r_A = |PA| - r_P = 5{,}62\\ \\text{au} - 0{,}81\\ \\text{au} = 4{,}81\\ \\text{au}.$$

\n

Krok 2. Zasada zachowania momentu pędu (II prawo Keplera). W peryhelium i aphelium prędkość jest prostopadła do promienia wodzącego, więc moment pędu:

\n

$$m\\,v_P\\,r_P = m\\,v_A\\,r_A \\quad\\Rightarrow\\quad v_A = v_P\\cdot\\frac{r_P}{r_A}.$$

\n

Krok 3. Obliczenia:

\n

$$v_A = 43{,}29\\ \\tfrac{\\text{km}}{\\text{s}}\\cdot\\frac{0{,}81\\ \\text{au}}{4{,}81\\ \\text{au}} = 43{,}29\\ \\tfrac{\\text{km}}{\\text{s}}\\cdot 0{,}1684 \\approx 7{,}29\\ \\tfrac{\\text{km}}{\\text{s}} \\approx 7{,}3\\ \\tfrac{\\text{km}}{\\text{s}}.$$

\n

Odpowiedź: $v_A \\approx 7{,}3$ km/s.

\n

Zasady oceniania CKE

\n

3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości w aphelium oraz wynik $\\approx 7{,}3$ km/s. 2 pkt - zapis równości momentów pędu (ZZMP) oraz poprawne wyznaczenie $r_A = |SA| = 4{,}81$ au. 1 pkt - zapis równości momentów pędu lub poprawna metoda wyznaczenia $r_A$. 0 pkt - brak.

"}]}