Zadanie 6.
Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia 𝑝 od objętości 𝑉 dla pewnej
przemiany termodynamicznej 𝐴→𝐵 ustalonej masy gazu doskonałego. Przyjmij, że:
ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi 𝐶𝑉=
3
2 𝑅, gdzie 𝑅 jest stałą gazową
stany 𝐴 i 𝐵 gazu znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
𝐴𝐵 jest odcinkiem prostym.
Wykres
Odpowiedź: 6.1. PP Stwierdzenie 1 — prawda. Odcinek $AB$ leży na prostej przechodzącej przez początek układu, więc $p = kV$. Z równania Clapeyrona $pV = nRT$: $$T = \\frac{pV}{nR} = \\frac{kV\\cdot V}{nR} = \\frac{k}{nR}V^2 \\quad\\Rightarrow\\quad T \\propto V^2$$ Stwierdzenie 2 — prawda. Objętość rośnie, więc rośnie też $T$. Średnia prędkość cząsteczek jest związana z temperaturą wzorem $v_{śr} \\propto \\sqrt{T}$ — rosnąca temperatura oznacza rosnącą średnią prędkość. 6.2. Z równania Clapeyrona dla obu stanów ($n$ i $R$ te same): $$\\frac{T_B}{T_A} = \\frac{p_B V_B}{p_A V_A} = \\frac{5\\cdot 10^4\\ \\text{Pa}\\cdot 25\\cdot 10^{-3}\\ \\text{m}^3}{2\\cdot 10^4\\ \\text{Pa}\\cdot 10\\cdot 10^{-3}\\ \\text{m}^3} = \\frac{1250\\ \\text{J}}{200\\ \\text{J}}$$ $$\\boxed{\\frac{T_B}{T_A} = 6{,}25 = \\frac{25}{4}}$$ Kontrola: $T \\propto V^2$, a $V_B/V_A = 2{,}5$, więc iloraz temperatur to $2{,}5^2 = 6{,}25$ ✓. 6.3. Krok 1. I zasada termodynamiki. Gaz pobiera ciepło, jego energia wewnętrzna rośnie, a gaz wykonuje pracę nad otoczeniem (rozpręża się): $$Q_{AB} = \\Delta U_{AB} + W_{AB}$$ Krok 2. Zmiana energii wewnętrznej. Dla gazu jednoatomowego ($C_V = \\tfrac{3}{2}R$): $$U = n C_V T = \\tfrac{3}{2}nRT = \\tfrac{3}{2}pV$$ $$\\Delta U_{AB} = \\tfrac{3}{2}\\left(p_B V_B - p_A V_A\\right) = \\tfrac{3}{2}\\left(1250 - 200\\right)\\ \\text{J} = \\tfrac{3}{2}\\cdot 1050\\ \\text{J} = 1575\\ \\text{J}$$ Krok 3. Praca gazu = pole pod wykresem $p(V)$. Figura jest trapezem o podstawach $p_A$, $p_B$ i wysokości $V_B - V_A$: $$W_{AB} = \\tfrac{1}{2}(p_A + p_B)(V_B - V_A) = \\tfrac{1}{2}\\left(7\\cdot 10^4\\ \\text{Pa}\\right)\\left(15\\cdot 10^{-3}\\ \\text{m}^3\\right) = 525\\ \\text{J}$$ Krok 4. Suma. $$Q_{AB} = 1575\\ \\text{J} + 525\\ \\text{J} = \\boxed{2100\\ \\text{J}}$$
\nTreść zadania (CKE)
\nOdczyt z wykresu — od tego wszystko zależy
\nStan | $V$ | $p$ | $pV$
$A$ | $10\\cdot 10^{-3}$ m³ | $2\\cdot 10^4$ Pa | 200 J
$B$ | $25\\cdot 10^{-3}$ m³ | $5\\cdot 10^4$ Pa | 1250 J
Iloczyn $pV$ ma wymiar energii ($\\text{Pa}\\cdot\\text{m}^3 = \\text{J}$) i to on jest w tym zadaniu walutą wszystkich obliczeń — zarówno temperatury ($pV = nRT$), jak i energii wewnętrznej ($U = \\tfrac{3}{2}pV$).
\nSprawdzenie proporcjonalności: $\\dfrac{2\\cdot 10^4}{10\\cdot 10^{-3}} = \\dfrac{5\\cdot 10^4}{25\\cdot 10^{-3}} = 2\\cdot 10^6\\ \\text{Pa/m}^3$ — obie pary dają tę samą stałą $k$, więc prosta rzeczywiście przechodzi przez początek układu.
\nEnergia wewnętrzna wyrażona przez $p$ i $V$ — skrót wart zapamiętania
\n$$U = n C_V T \\quad\\text{oraz}\\quad nRT = pV \\quad\\Rightarrow\\quad U = \\frac{C_V}{R}\\,pV$$
\nRodzaj gazu | $C_V$ | $U$
jednoatomowy (He, Ar) | $\\tfrac{3}{2}R$ | $\\tfrac{3}{2}pV$
dwuatomowy (N₂, O₂) | $\\tfrac{5}{2}R$ | $\\tfrac{5}{2}pV$
Dzięki temu nie trzeba znać ani $n$, ani $T$ — wystarczą odczytane z wykresu $p$ i $V$. To najkrótsza droga przez zadanie 6.3 i to właśnie warunek ΔU2 w kluczu CKE.
\nPraca gazu to zawsze pole pod wykresem $p(V)$
\nPrzemiana | Kształt na wykresie $p(V)$ | Praca
izobaryczna | odcinek poziomy | $W = p\\Delta V$ (prostokąt)
izochoryczna | odcinek pionowy | $W = 0$
liniowa $p \\propto V$ (tu) | odcinek ukośny | $W = \\tfrac{1}{2}(p_1+p_2)\\Delta V$ (trapez)
izotermiczna | hiperbola | pole pod hiperbolą (poza zakresem matury)
Znak: gaz rozprężający się ($\\Delta V > 0$) wykonuje pracę nad otoczeniem, więc w bilansie $Q = \\Delta U + W$ praca wchodzi z plusem po stronie „wydatków" gazu.
\nBilans energii w tej przemianie
\n$$Q_{AB} = \\underbrace{1575\\ \\text{J}}{\\text{ogrzanie gazu}} + \\underbrace{525\\ \\text{J}}{\\text{praca rozprężania}} = 2100\\ \\text{J}$$
\nTrzy czwarte pobranego ciepła idzie na wzrost energii wewnętrznej, jedna czwarta na pracę. To typowa proporcja dla gazu jednoatomowego przy tak stromym wzroście ciśnienia.
\nPunktacja CKE
\n3 pkt — I zasada termodynamiki oraz poprawna praca oraz $\\Delta U$ wyrażone przez $p$ i $V$ (albo przez $\\Delta T$ z równań Clapeyrona);
2 pkt — dwa z tych elementów; 1 pkt — jeden (sama I zasada, sam wzór na $\\Delta U$ albo sama praca).
CKE punktuje też rozwiązanie przez rozbicie przemiany na cykl izochoryczno-izobaryczny.
Typowy błąd: W 6.1 pierwsze stwierdzenie odrzuca się odruchowo — i to błąd. „Wprost proporcjonalnie do kwadratu objętości" brzmi dziwnie, bo w typowych przemianach $T \\propto V$ (izobaryczna) albo $T \\propto p$ (izochoryczna). Ale tutaj jednocześnie rośnie $p$ i $V$, i to liniowo, więc iloczyn $pV$ rośnie kwadratowo. Kluczowa obserwacja: prosta $AB$ przedłużona przechodzi przez początek układu — bez tego $p$ nie byłoby proporcjonalne do $V$. W 6.3 najczęstszy błąd to policzenie samego $\\Delta U$ i podanie go jako ciepła. Ciepło pobrane to $\\Delta U + W$ — gaz się rozpręża, więc część pobranego ciepła idzie na pracę, nie na ogrzanie. Drugi częsty błąd: praca liczona jako $p\\Delta V$. Ten wzór działa tylko dla przemiany izobarycznej. Tutaj ciśnienie się zmienia, więc pracą jest pole pod wykresem — trapez, nie prostokąt. Wzięcie $p_A\\Delta V = 300$ J albo $p_B\\Delta V = 750$ J zamiast 525 J psuje wynik końcowy. Uwaga na jednostki i mnożniki. Oś $p$ jest w $10^4$ Pa, oś $V$ w $10^{-3}$ m³. Iloczyn $pV$ ma wtedy rząd $10^4 \\cdot 10^{-3} = 10$ J na kratkę — łatwo zgubić rząd wielkości. Pomocna kontrola: $p_AV_A = 200$ J to sensowna energia dla ~20 litrów gazu pod ciśnieniem 0,2 atm. $C_V = \\tfrac{3}{2}R$ oznacza gaz jednoatomowy. Dla dwuatomowego byłoby $\\tfrac{5}{2}R$ i cały wynik by się zmienił. Ta informacja jest w treści właśnie po to, żeby jej użyć.
"}]}