{"id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.\nTrzy punktowe ładunki elektryczne: 𝑄1, 𝑄2 i 𝑄3\numieszczono w wierzchołkach kwadratu (zobacz rysunek\nobok). Ładunki te pozostają nieruchome. Pomiędzy\nładunkami jest próżnia.\nDługość boku tego kwadratu jest równa 𝑎.\nWartości ładunków 𝑄1, 𝑄2 i 𝑄3 wyrażają się poprzez\npewną dodatnią wartość 𝑄 następująco:\n𝑄1 = +𝑄 𝑄2 = -𝑄 𝑄3 = +𝑄\nW wierzchołku kwadratu oznaczonym jako 𝑃 nie ma\nładunku elektrycznego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **7.1. A** **7.2.** Odległości od punktu $P$: $q_1$ i $q_3$ leżą w odległości $a$ (boki kwadratu), $q_2$ w odległości $a\\sqrt{2}$ (przekątna). **Natężenia od poszczególnych ładunków:** $$E_1 = E_3 = \\frac{kq}{a^2}, \\qquad E_2 = \\frac{kq}{\\left(a\\sqrt{2}\\right)^2} = \\frac{kq}{2a^2} = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ **Składanie wektorów.** $\\vec{E}_1$ (od $+q_1$, skierowany od ładunku) leży poziomo, $\\vec{E}_3$ (od $+q_3$) pionowo — są **prostopadłe**: $$E_{13} = \\sqrt{E_1^2 + E_3^2} = \\sqrt{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ Wektor $\\vec{E}_{13}$ leży wzdłuż przekątnej, skierowany **od** $q_2$. Wektor $\\vec{E}_2$ (od ładunku ujemnego, skierowany **do** ładunku) leży na tej samej przekątnej, ale **przeciwnie**. Zatem odejmujemy: $$E_P = E_{13} - E_2 = \\sqrt{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2} - \\tfrac{1}{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ $$\\boxed{E_P = \\frac{kq}{a^2}\\left(\\sqrt{2} - \\tfrac{1}{2}\\right) = \\frac{kq}{2a^2}\\left(2\\sqrt{2} - 1\\right) \\approx 0{,}91\\,\\frac{kq}{a^2}}$$\n\nTreść zadania (CKE)\n\nZasada superpozycji\n\nNatężenie pola od układu ładunków to wektorowa suma natężeń od każdego z osobna:\n\n$$\\vec{E}_P = \\vec{E}_1 + \\vec{E}_2 + \\vec{E}_3$$\n\nZwrot pola od pojedynczego ładunku:\n\n- ładunek dodatni → pole skierowane od ładunku,\n- ładunek ujemny → pole skierowane do ładunku.\n\nRachunek składowych — kontrola wyniku\n\nPrzyjmijmy $P = (a, 0)$, $q_1 = (0,0)$, $q_2 = (0,a)$, $q_3 = (a,a)$, w jednostkach $kq/a^2$:\n\nŹródło | $r$ | $E$ | $E_x$ | $E_y$\n$q_1 = +q$ | $a$ | 1 | $+1$ | $0$\n$q_2 = -q$ | $a\\sqrt{2}$ | $\\tfrac{1}{2}$ | $-0{,}354$ | $+0{,}354$\n$q_3 = +q$ | $a$ | 1 | $0$ | $-1$\nsuma | $\\mathbf{+0{,}646}$ | $\\mathbf{-0{,}646}$\n\n$$E_P = \\sqrt{0{,}646^2 + 0{,}646^2} = 0{,}914 = \\sqrt{2} - \\tfrac{1}{2} \\;\\checkmark$$\n\nRozkład na składowe jest dłuższy niż rozumowanie geometryczne, ale nie wymaga zauważenia, że wektory leżą na jednej prostej — warto go znać jako metodę awaryjną.\n\nDlaczego $\\vec{E}2$ leży na tej samej prostej co $\\vec{E}{13}$\n\n$\\vec{E}_1$ i $\\vec{E}_3$ mają równe wartości i są prostopadłe, więc ich suma leży na dwusiecznej kąta prostego — czyli wzdłuż przekątnej $q_2P$. Ta sama przekątna wyznacza kierunek $\\vec{E}_2$. Bez równości $E_1 = E_3$ ta zgodność by nie zachodziła i trzeba by liczyć składowymi.\n\nStała w prawie Coulomba\n\n$$k = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\approx 8{,}99\\cdot 10^9\\ \\mathrm{\\frac{N\\cdot m^2}{C^2}}$$\n\nCKE akceptuje zapis zarówno przez $k$, jak i przez $\\tfrac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}$.\n\nPunktacja CKE\n\n- 7.1. 1 pkt — odpowiedź A.\n- 7.2. 4 pkt — punktowane składnikowo: poprawne wyznaczenie $E_1$, $E_2$, $E_3$, zauważenie równości $E_1 = E_3$, złożenie $E_{13} = \\sqrt{2}E_1$ oraz odjęcie $E_2$.\n- Razem: 5 pkt.\n\nTypowy błąd: **Kluczowa obserwacja: $\\vec{E}_2$ jest antyrównoległy do $\\vec{E}_{13}$, więc natężenia się odejmują.** Ładunek $q_2$ jest **ujemny**, więc jego pole w punkcie $P$ jest skierowane **ku niemu** — czyli dokładnie przeciwnie do sumy pól od dwóch dodatnich ładunków. Dodanie zamiast odjęcia daje $\\left(\\sqrt{2} + \\tfrac{1}{2}\\right)$ i jest najczęstszym błędem. **Odległość do $q_2$ to przekątna, nie bok.** W mianowniku pojawia się $\\left(a\\sqrt{2}\\right)^2 = 2a^2$, więc $E_2$ jest **dwa razy mniejsze** od $E_1$, a nie $\\sqrt{2}$ razy mniejsze. Pominięcie kwadratu to typowa pomyłka. **$\\vec{E}_1 \\perp \\vec{E}_3$, więc składamy je twierdzeniem Pitagorasa**, a nie zwykłym dodawaniem. $E_{13} = \\sqrt{2}\\,E_1$, nie $2E_1$. **Kontrola rzędu wielkości:** wynik $\\approx 0{,}91\\,kq/a^2$ jest nieco mniejszy od $E_1$ — sensowne, bo dwa pola się wzmacniają, a trzecie je częściowo znosi.","image":"img/fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"pole elektryczne, superpozycja, natezenie pola, uklad ladunkow","page_from":20,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7.<br>Trzy punktowe ładunki elektryczne: 𝑄1, 𝑄2 i 𝑄3<br>umieszczono w wierzchołkach kwadratu (zobacz rysunek<br>obok). Ładunki te pozostają nieruchome. Pomiędzy<br>ładunkami jest próżnia.<br>Długość boku tego kwadratu jest równa 𝑎.<br>Wartości ładunków 𝑄1, 𝑄2 i 𝑄3 wyrażają się poprzez<br>pewną dodatnią wartość 𝑄 następująco:<br>𝑄1 = +𝑄 𝑄2 = -𝑄 𝑄3 = +𝑄<br>W wierzchołku kwadratu oznaczonym jako 𝑃 nie ma<br>ładunku elektrycznego.</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: <strong>7.1. A</strong> <strong>7.2.</strong> Odległości od punktu $P$: $q_1$ i $q_3$ leżą w odległości $a$ (boki kwadratu), $q_2$ w odległości $a\\sqrt{2}$ (przekątna). <strong>Natężenia od poszczególnych ładunków:</strong> $$E_1 = E_3 = \\frac{kq}{a^2}, \\qquad E_2 = \\frac{kq}{\\left(a\\sqrt{2}\\right)^2} = \\frac{kq}{2a^2} = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ <strong>Składanie wektorów.</strong> $\\vec{E}<em>1$ (od $+q_1$, skierowany od ładunku) leży poziomo, $\\vec{E}_3$ (od $+q_3$) pionowo — są <strong>prostopadłe</strong>: $$E</em>{13} = \\sqrt{E_1^2 + E_3^2} = \\sqrt{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ Wektor $\\vec{E}<em>{13}$ leży wzdłuż przekątnej, skierowany <strong>od</strong> $q_2$. Wektor $\\vec{E}_2$ (od ładunku ujemnego, skierowany <strong>do</strong> ładunku) leży na tej samej przekątnej, ale <strong>przeciwnie</strong>. Zatem odejmujemy: $$E_P = E</em>{13} - E_2 = \\sqrt{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2} - \\tfrac{1}{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ $$\\boxed{E_P = \\frac{kq}{a^2}\\left(\\sqrt{2} - \\tfrac{1}{2}\\right) = \\frac{kq}{2a^2}\\left(2\\sqrt{2} - 1\\right) \\approx 0{,}91\\,\\frac{kq}{a^2}}$$</p>\n<p>Treść zadania (CKE)</p>\n<p>Zasada superpozycji</p>\n<p>Natężenie pola od układu ładunków to wektorowa suma natężeń od każdego z osobna:</p>\n<p>$$\\vec{E}_P = \\vec{E}_1 + \\vec{E}_2 + \\vec{E}_3$$</p>\n<p>Zwrot pola od pojedynczego ładunku:</p>\n<ul><li>ładunek dodatni → pole skierowane od ładunku,</li><li>ładunek ujemny → pole skierowane do ładunku.</li></ul>\n<p>Rachunek składowych — kontrola wyniku</p>\n<p>Przyjmijmy $P = (a, 0)$, $q_1 = (0,0)$, $q_2 = (0,a)$, $q_3 = (a,a)$, w jednostkach $kq/a^2$:</p>\n<p>Źródło | $r$ | $E$ | $E_x$ | $E_y$<br>$q_1 = +q$ | $a$ | 1 | $+1$ | $0$<br>$q_2 = -q$ | $a\\sqrt{2}$ | $\\tfrac{1}{2}$ | $-0{,}354$ | $+0{,}354$<br>$q_3 = +q$ | $a$ | 1 | $0$ | $-1$<br>suma | $\\mathbf{+0{,}646}$ | $\\mathbf{-0{,}646}$</p>\n<p>$$E_P = \\sqrt{0{,}646^2 + 0{,}646^2} = 0{,}914 = \\sqrt{2} - \\tfrac{1}{2} \\;\\checkmark$$</p>\n<p>Rozkład na składowe jest dłuższy niż rozumowanie geometryczne, ale nie wymaga zauważenia, że wektory leżą na jednej prostej — warto go znać jako metodę awaryjną.</p>\n<p>Dlaczego $\\vec{E}2$ leży na tej samej prostej co $\\vec{E}{13}$</p>\n<p>$\\vec{E}_1$ i $\\vec{E}_3$ mają równe wartości i są prostopadłe, więc ich suma leży na dwusiecznej kąta prostego — czyli wzdłuż przekątnej $q_2P$. Ta sama przekątna wyznacza kierunek $\\vec{E}_2$. Bez równości $E_1 = E_3$ ta zgodność by nie zachodziła i trzeba by liczyć składowymi.</p>\n<p>Stała w prawie Coulomba</p>\n<p>$$k = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\approx 8{,}99\\cdot 10^9\\ \\mathrm{\\frac{N\\cdot m^2}{C^2}}$$</p>\n<p>CKE akceptuje zapis zarówno przez $k$, jak i przez $\\tfrac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}$.</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>7.1. 1 pkt — odpowiedź A.</li><li>7.2. 4 pkt — punktowane składnikowo: poprawne wyznaczenie $E_1$, $E_2$, $E_3$, zauważenie równości $E_1 = E_3$, złożenie $E_{13} = \\sqrt{2}E_1$ oraz odjęcie $E_2$.</li><li>Razem: 5 pkt.</li></ul>\n<p>Typowy błąd: <strong>Kluczowa obserwacja: $\\vec{E}<em>2$ jest antyrównoległy do $\\vec{E}</em>{13}$, więc natężenia się odejmują.</strong> Ładunek $q_2$ jest <strong>ujemny</strong>, więc jego pole w punkcie $P$ jest skierowane <strong>ku niemu</strong> — czyli dokładnie przeciwnie do sumy pól od dwóch dodatnich ładunków. Dodanie zamiast odjęcia daje $\\left(\\sqrt{2} + \\tfrac{1}{2}\\right)$ i jest najczęstszym błędem. <strong>Odległość do $q_2$ to przekątna, nie bok.</strong> W mianowniku pojawia się $\\left(a\\sqrt{2}\\right)^2 = 2a^2$, więc $E_2$ jest <strong>dwa razy mniejsze</strong> od $E_1$, a nie $\\sqrt{2}$ razy mniejsze. Pominięcie kwadratu to typowa pomyłka. <strong>$\\vec{E}<em>1 \\perp \\vec{E}_3$, więc składamy je twierdzeniem Pitagorasa</strong>, a nie zwykłym dodawaniem. $E</em>{13} = \\sqrt{2}\\,E_1$, nie $2E_1$. <strong>Kontrola rzędu wielkości:</strong> wynik $\\approx 0{,}91\\,kq/a^2$ jest nieco mniejszy od $E_1$ — sensowne, bo dwa pola się wzmacniają, a trzecie je częściowo znosi.</p>"}]}