{"id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/7.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"7.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.2. (0-4)\nWektor wypadkowego natężenia pola elektrycznego w punkcie 𝑃 oznaczymy jako 𝐸ሬ⃗𝑃.\nWyznacz 𝑬𝑷 - wartość wektora natężenia 𝑬ሬሬ⃗𝑷 - w zależności tylko od 𝒂, od 𝑸 oraz od\nodpowiedniej stałej fizycznej.\nZapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝑬𝑷.\nUwaga! Zamieszczony rysunek ma charakter pomocniczy.\n𝑄1 = +𝑄\n𝑄3 = +𝑄\n𝑃\n𝑎\n𝑄2 = -𝑄\nRysunek pomocniczy\n7.2.\n0-1-\n2-3-4\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.2. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nV. Budowanie modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk oraz\nilustracji praw i zależności fizycznych.\nZdający:\nI.5) […] wykonuje graficznie działania na\nwektorach (dodawanie […]);\nI.7) wyodrębnia z tekstów […], rysunków\nschematycznych lub blokowych informacje\nkluczowe dla opisywanego zjawiska […].\nVII.3) posługuje się wektorem natężenia pola\nelektrycznego wraz z jego jednostką […];\nVII.4) analizuje natężenie pola wytwarzanego\nprzez układ ładunków punktowych i oblicza\njego wartość.\nZasady oceniania\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWarunek Ei (dla i=1 albo i=2, albo i=3 będą to - odpowiednio - warunki E1 albo E2, albo E3)\nPoprawna metoda wyznaczenia wartości 𝐸1 albo 𝐸2, albo 𝐸3 natężeń wektorów pól\nelektrycznych pochodzących - odpowiednio - od ładunków 𝑄1 albo 𝑄2, albo 𝑄3 oraz\npodanie prawidłowej postaci wzoru na wartość 𝐸𝑖 natężenia pola od ładunku 𝑄𝑖 w zależności\ntylko od 𝑎, od 𝑄 i od odpowiedniej stałej fizycznej, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸1 = 𝑘𝑄\n𝑎2 albo 𝐸3 = 𝑘𝑄\n𝑎2 albo 𝐸2 =\n𝑘𝑄\n(√2𝑎)2 = 1\n2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2\nWarunek E1=E3\nZapisanie zależności (równości) między wartościami 𝐸1 i 𝐸3 natężeń wektorów pól\nelektrycznych pochodzących od ładunków 𝑄1 i 𝑄3, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸1 = 𝐸3\nWarunek E1=2E2\nZapisanie zależności między wartościami 𝐸1 i 𝐸2 (albo 𝐸3 i 𝐸2) natężeń pól elektrycznych\npochodzących od ładunków 𝑄1 i 𝑄2 (albo 𝑄3 i 𝑄2), np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸1 = 2𝐸2 albo 𝐸3 = 2𝐸2\nWarunek E13\nZapisanie zależności między wartością 𝐸13 wypadkowego natężenia pola elektrycznego\npochodzącego od ładunków 𝑄1 i 𝑄3 a wartością 𝐸1 (lub 𝐸3) natężenia pola pochodzącego od\nładunku 𝑄1 (lub 𝑄3) albo podanie prawidłowej postaci wzoru na wartość 𝐸13 w zależności\ntylko od 𝑎, od 𝑄 i od odpowiedniej stałej fizycznej, np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝐸13 = √2𝐸1 lub 𝐸13 = √2𝐸3 ) albo 𝐸13 = √2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2\nWarunek EP-metoda\nZapisanie zależności między wartościami 𝐸𝑃 a 𝐸13 i 𝐸2, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸𝑃= 𝐸13 -𝐸2\nSchemat punktowania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝐸𝑃 natężenia pola elektrycznego w punkcie 𝑃\noraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru: 𝐸𝑃=\n𝑘𝑄\n𝑎2 (√2 -\n1\n2)\n3 pkt - spełnienie warunków: EP-metoda oraz E13 oraz (E1=2E2 albo E2)\nLUB\n- spełnienie warunków: E13 oraz E2 oraz wskazanie (np. na rysunku lub zapisem\nsłownym lub algebraicznym), że wektory 𝐸ሬ⃗13 i 𝐸ሬ⃗2 leżą na jednej prostej (mogą mieć\nnieprawidłowe zwroty).\n2 pkt - spełnienie warunku E13\nLUB\n- spełnienie warunku EP-metoda oraz (E1=2E2 albo E2)\nLUB\n- spełnienie warunków Ei dla i=1 oraz i=2 oraz i=3\nLUB\n- spełnienie warunków: E1=E3 oraz E1=2E2\n1 pkt - spełnienie warunku Ei (tzn. dla jednego dowolnego i)\nLUB\n- spełnienie warunku E1=E3\nLUB\n- spełnienie warunku E1=2E2\nLUB\n- spełnienie warunku EP-metoda\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWektor natężenia pola elektrycznego 𝐸ሬ⃗𝑃 jest\nwektorową sumą wektorów natężeń 𝐸ሬ⃗1, 𝐸ሬ⃗2 i 𝐸ሬ⃗3,\npochodzących - odpowiednio - od ładunków:\n𝑄1, 𝑄2 i 𝑄3.\nZapiszemy wektorowo:\n𝐸ሬ⃗𝑃= 𝐸ሬ⃗1 + 𝐸ሬ⃗2 + 𝐸ሬ⃗3 = 𝐸ሬ⃗13 + 𝐸ሬ⃗2\ngdzie 𝐸ሬ⃗13 jest sumą wektorów 𝐸ሬ⃗1 i 𝐸ሬ⃗3.\nNa rysunku obok przedstawiono wektory 𝐸ሬ⃗1, 𝐸ሬ⃗2 i 𝐸ሬ⃗3\noraz geometryczny sposób wyznaczenia wektora 𝐸ሬ⃗𝑃.\nWartość wektora 𝐸ሬ⃗𝑃 wyraża się wzorem:\n1) 𝐸𝑃= 𝐸13 -𝐸2\nWartości wektorów 𝐸ሬ⃗1 i 𝐸ሬ⃗3 są sobie równe i wyrażają się wzorem:\n2) 𝐸1 = 𝐸3 = 𝑘𝑄\n𝑎2\nWartość wektora 𝐸ሬ⃗13 wyraża się wzorem (długość przekątnej kwadratu o bokach 𝐸1 i 𝐸3):\n3) 𝐸13 = √2 ⋅𝐸1 = √2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2\nWartość wektora 𝐸ሬ⃗2 wyraża się wzorem:\n4) 𝐸2 = 𝑘𝑄\n𝑑2 =\n𝑘𝑄\n(√2𝑎)2 = 1\n2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2\nWzory 4) i 3) podstawimy do wzoru 1):\n5) 𝐸𝑃= √2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2 -1\n2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2 = 𝑘𝑄\n𝑎2 (√2 -1\n2)\n𝑄1 = +𝑄\n𝑄3 = +𝑄\n𝑃\n𝑎\n𝑄2 = -𝑄\nRysunek pomocniczy\n𝐸ሬ⃗2\n𝐸ሬ⃗𝑃\n𝐸ሬ⃗1\n𝐸ሬ⃗3\n𝑑\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odległości od punktu $P$: $q_1$ i $q_3$ leżą w odległości $a$ (boki kwadratu), $q_2$ w odległości $a\\sqrt{2}$ (przekątna). **Natężenia od poszczególnych ładunków:** $$E_1 = E_3 = \\frac{kq}{a^2}, \\qquad E_2 = \\frac{kq}{\\left(a\\sqrt{2}\\right)^2} = \\frac{kq}{2a^2} = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ **Składanie wektorów.** $\\vec{E}_1$ (od $+q_1$, skierowany od ładunku) leży poziomo, $\\vec{E}_3$ (od $+q_3$) pionowo — są **prostopadłe**: $$E_{13} = \\sqrt{E_1^2 + E_3^2} = \\sqrt{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ Wektor $\\vec{E}_{13}$ leży wzdłuż przekątnej, skierowany **od** $q_2$. Wektor $\\vec{E}_2$ (od ładunku ujemnego, skierowany **do** ładunku) leży na tej samej przekątnej, ale **przeciwnie**. Zatem odejmujemy: $$E_P = E_{13} - E_2 = \\sqrt{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2} - \\tfrac{1}{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ $$\\boxed{E_P = \\frac{kq}{a^2}\\left(\\sqrt{2} - \\tfrac{1}{2}\\right) = \\frac{kq}{2a^2}\\left(2\\sqrt{2} - 1\\right) \\approx 0{,}91\\,\\frac{kq}{a^2}}$$","image":"img/fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-7.2.webp","solution_image":null,"topics":"pole elektryczne, superpozycja, natezenie pola, uklad ladunkow","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7.2. (0-4)
Wektor wypadkowego natężenia pola elektrycznego w punkcie 𝑃 oznaczymy jako 𝐸ሬ⃗𝑃.
Wyznacz 𝑬𝑷 - wartość wektora natężenia 𝑬ሬሬ⃗𝑷 - w zależności tylko od 𝒂, od 𝑸 oraz od
odpowiedniej stałej fizycznej.
Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝑬𝑷.
Uwaga! Zamieszczony rysunek ma charakter pomocniczy.
𝑄1 = +𝑄
𝑄3 = +𝑄
𝑃
𝑎
𝑄2 = -𝑄
Rysunek pomocniczy
7.2.
0-1-
2-3-4
MFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 7.2. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
Zdający:
I.5) […] wykonuje graficznie działania na
wektorach (dodawanie […]);
I.7) wyodrębnia z tekstów […], rysunków
schematycznych lub blokowych informacje
kluczowe dla opisywanego zjawiska […].
VII.3) posługuje się wektorem natężenia pola
elektrycznego wraz z jego jednostką […];
VII.4) analizuje natężenie pola wytwarzanego
przez układ ładunków punktowych i oblicza
jego wartość.
Zasady oceniania
Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych
warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Warunek Ei (dla i=1 albo i=2, albo i=3 będą to - odpowiednio - warunki E1 albo E2, albo E3)
Poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝐸1 albo 𝐸2, albo 𝐸3 natężeń wektorów pól
elektrycznych pochodzących - odpowiednio - od ładunków 𝑄1 albo 𝑄2, albo 𝑄3 oraz
podanie prawidłowej postaci wzoru na wartość 𝐸𝑖 natężenia pola od ładunku 𝑄𝑖 w zależności
tylko od 𝑎, od 𝑄 i od odpowiedniej stałej fizycznej, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸1 = 𝑘𝑄
𝑎2 albo 𝐸3 = 𝑘𝑄
𝑎2 albo 𝐸2 =
𝑘𝑄
(√2𝑎)2 = 1
2 ⋅𝑘𝑄
𝑎2
Warunek E1=E3
Zapisanie zależności (równości) między wartościami 𝐸1 i 𝐸3 natężeń wektorów pól
elektrycznych pochodzących od ładunków 𝑄1 i 𝑄3, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸1 = 𝐸3
Warunek E1=2E2
Zapisanie zależności między wartościami 𝐸1 i 𝐸2 (albo 𝐸3 i 𝐸2) natężeń pól elektrycznych
pochodzących od ładunków 𝑄1 i 𝑄2 (albo 𝑄3 i 𝑄2), np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸1 = 2𝐸2 albo 𝐸3 = 2𝐸2
Warunek E13
Zapisanie zależności między wartością 𝐸13 wypadkowego natężenia pola elektrycznego
pochodzącego od ładunków 𝑄1 i 𝑄3 a wartością 𝐸1 (lub 𝐸3) natężenia pola pochodzącego od
ładunku 𝑄1 (lub 𝑄3) albo podanie prawidłowej postaci wzoru na wartość 𝐸13 w zależności
tylko od 𝑎, od 𝑄 i od odpowiedniej stałej fizycznej, np. zapisy równoważne poniższym:
(𝐸13 = √2𝐸1 lub 𝐸13 = √2𝐸3 ) albo 𝐸13 = √2 ⋅𝑘𝑄
𝑎2
Warunek EP-metoda
Zapisanie zależności między wartościami 𝐸𝑃 a 𝐸13 i 𝐸2, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝑃= 𝐸13 -𝐸2
Schemat punktowania
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝐸𝑃 natężenia pola elektrycznego w punkcie 𝑃
oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru: 𝐸𝑃=
𝑘𝑄
𝑎2 (√2 -
1
2)
3 pkt - spełnienie warunków: EP-metoda oraz E13 oraz (E1=2E2 albo E2)
LUB

\n\n

słownym lub algebraicznym), że wektory 𝐸ሬ⃗13 i 𝐸ሬ⃗2 leżą na jednej prostej (mogą mieć
nieprawidłowe zwroty).
2 pkt - spełnienie warunku E13
LUB

\n\n

LUB

\n\n

LUB

\n\n

1 pkt - spełnienie warunku Ei (tzn. dla jednego dowolnego i)
LUB

\n\n

LUB

\n\n

LUB

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wektor natężenia pola elektrycznego 𝐸ሬ⃗𝑃 jest
wektorową sumą wektorów natężeń 𝐸ሬ⃗1, 𝐸ሬ⃗2 i 𝐸ሬ⃗3,
pochodzących - odpowiednio - od ładunków:
𝑄1, 𝑄2 i 𝑄3.
Zapiszemy wektorowo:
𝐸ሬ⃗𝑃= 𝐸ሬ⃗1 + 𝐸ሬ⃗2 + 𝐸ሬ⃗3 = 𝐸ሬ⃗13 + 𝐸ሬ⃗2
gdzie 𝐸ሬ⃗13 jest sumą wektorów 𝐸ሬ⃗1 i 𝐸ሬ⃗3.
Na rysunku obok przedstawiono wektory 𝐸ሬ⃗1, 𝐸ሬ⃗2 i 𝐸ሬ⃗3
oraz geometryczny sposób wyznaczenia wektora 𝐸ሬ⃗𝑃.
Wartość wektora 𝐸ሬ⃗𝑃 wyraża się wzorem:

\n
  1. 𝐸𝑃= 𝐸13 -𝐸2
\n

Wartości wektorów 𝐸ሬ⃗1 i 𝐸ሬ⃗3 są sobie równe i wyrażają się wzorem:

\n
  1. 𝐸1 = 𝐸3 = 𝑘𝑄
\n

𝑎2
Wartość wektora 𝐸ሬ⃗13 wyraża się wzorem (długość przekątnej kwadratu o bokach 𝐸1 i 𝐸3):

\n
  1. 𝐸13 = √2 ⋅𝐸1 = √2 ⋅𝑘𝑄
\n

𝑎2
Wartość wektora 𝐸ሬ⃗2 wyraża się wzorem:

\n
  1. 𝐸2 = 𝑘𝑄
\n

𝑑2 =
𝑘𝑄
(√2𝑎)2 = 1
2 ⋅𝑘𝑄
𝑎2
Wzory 4) i 3) podstawimy do wzoru 1):

\n
  1. 𝐸𝑃= √2 ⋅𝑘𝑄
\n

𝑎2 -1
2 ⋅𝑘𝑄
𝑎2 = 𝑘𝑄
𝑎2 (√2 -1
2)
𝑄1 = +𝑄
𝑄3 = +𝑄
𝑃
𝑎
𝑄2 = -𝑄
Rysunek pomocniczy
𝐸ሬ⃗2
𝐸ሬ⃗𝑃
𝐸ሬ⃗1
𝐸ሬ⃗3
𝑑
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odległości od punktu $P$: $q_1$ i $q_3$ leżą w odległości $a$ (boki kwadratu), $q_2$ w odległości $a\\sqrt{2}$ (przekątna). Natężenia od poszczególnych ładunków: $$E_1 = E_3 = \\frac{kq}{a^2}, \\qquad E_2 = \\frac{kq}{\\left(a\\sqrt{2}\\right)^2} = \\frac{kq}{2a^2} = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ Składanie wektorów. $\\vec{E}1$ (od $+q_1$, skierowany od ładunku) leży poziomo, $\\vec{E}_3$ (od $+q_3$) pionowo — są prostopadłe: $$E{13} = \\sqrt{E_1^2 + E_3^2} = \\sqrt{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ Wektor $\\vec{E}{13}$ leży wzdłuż przekątnej, skierowany od $q_2$. Wektor $\\vec{E}_2$ (od ładunku ujemnego, skierowany do ładunku) leży na tej samej przekątnej, ale przeciwnie. Zatem odejmujemy: $$E_P = E{13} - E_2 = \\sqrt{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2} - \\tfrac{1}{2}\\cdot\\frac{kq}{a^2}$$ $$\\boxed{E_P = \\frac{kq}{a^2}\\left(\\sqrt{2} - \\tfrac{1}{2}\\right) = \\frac{kq}{2a^2}\\left(2\\sqrt{2} - 1\\right) \\approx 0{,}91\\,\\frac{kq}{a^2}}$$

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: $E_P = \\dfrac{kQ}{a^2}\\left(\\sqrt{2}-\\dfrac{1}{2}\\right)$

\n

Punkt $P$ (prawy dolny wierzchołek) leży w odległości $a$ od $Q_1$ (lewy dolny) i od $Q_3$ (prawy górny) oraz w odległości $a\\sqrt2$ od $Q_2$ (lewy górny, po przekątnej). Ładunki: $Q_1=Q_3=+Q$, $Q_2=-Q$.

\n

Krok 1. Natężenia od poszczególnych ładunków.

\n

Od $Q_1$ i $Q_3$ (dodatnie, odległość $a$) - wektory skierowane od ładunku ku $P$:

\n

$$E_1 = E_3 = \\frac{kQ}{a^2}.$$

\n

Od $Q_2$ (ujemny, odległość $a\\sqrt2$) - wektor skierowany ku $Q_2$:

\n

$$E_2 = \\frac{kQ}{(a\\sqrt2)^2} = \\frac{kQ}{2a^2}.$$

\n

Krok 2. Złożenie $E_1$ i $E_3$. Wektory $\\vec{E}1$ (skierowany poziomo, w prawo - od $Q_1$) i $\\vec{E}_3$ (skierowany pionowo, w dół - od $Q_3$) są prostopadłe i równe. Ich wypadkowa $\\vec{E}{13}$ ma wartość:

\n

$$E_{13} = E_1\\sqrt2 = \\sqrt2\\,\\frac{kQ}{a^2}$$

\n

i jest skierowana wzdłuż przekątnej „w dół i w prawo" - czyli wzdłuż prostej $PQ_2$, na zewnątrz kwadratu (od $Q_2$).

\n

Krok 3. Uwzględnienie $E_2$. Ponieważ $Q_2$ jest ujemny, $\\vec{E}2$ jest skierowany ku $Q_2$ - czyli „w górę i w lewo", dokładnie przeciwnie do $\\vec{E}{13}$. Wektory są współliniowe, więc odejmujemy ich wartości:

\n

$$E_P = E_{13} - E_2 = \\sqrt2\\,\\frac{kQ}{a^2} - \\frac{kQ}{2a^2} = \\frac{kQ}{a^2}\\left(\\sqrt2 - \\frac{1}{2}\\right).$$

\n

Odpowiedź:

\n

$$\\boxed{\\,E_P = \\frac{kQ}{a^2}\\left(\\sqrt2 - \\frac{1}{2}\\right) \\approx 0{,}91\\,\\frac{kQ}{a^2}\\,}$$

\n

Zasady oceniania CKE

\n"}]}