Zadanie 8.
Szklana kula 𝒦 o środku w punkcie 𝑆 jest umieszczona w powietrzu. Współczynnik
załamania światła w szkle, z którego jest wykonana kula 𝒦, jest równy 𝑛𝑠𝑧= 1,50.
Współczynnik załamania światła w powietrzu przyjmujemy równy 𝑛𝑝= 1,00.
Wewnątrz kuli 𝒦, w punkcie 𝐷 tuż pod jej powierzchnią, znajduje się mała świecąca dioda.
Ta dioda emituje światło do wnętrza kuli w taki sposób, że jej światło pada na każdy punkt
wewnętrznej powierzchni kuli 𝒦.
Okazuje się, że światło diody wychodzi z kuli 𝒦 jedynie przez fragment jej powierzchni,
zaznaczony na schematycznym rysunku fioletowym łukiem 𝐴𝐵.
Na rysunku przedstawiono przekrój kuli 𝒦 w płaszczyźnie zawierającej diodę i środek kuli.
Miarę kąta ∠𝐵𝐷𝐴 oznaczono jako 𝜑. Kreską przerywaną oznaczono odcinki pomocnicze.
Rysunek
Odpowiedź: 8.1. Światło wychodzi tylko tam, gdzie kąt padania na wewnętrzną powierzchnię jest mniejszy od kąta granicznego. Z prawa załamania dla przejścia szkło → powietrze: $$\\frac{\\sin\\theta_g}{\\sin 90^\\circ} = \\frac{n_p}{n_{sz}} \\quad\\Rightarrow\\quad \\sin\\theta_g = \\frac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}6667$$ $$\\theta_g = \\arcsin(0{,}6667) = 41{,}81^\\circ$$ Kąty $\\angle ODF$ i $\\angle ODG$ są kątami granicznymi, a trójkąty $ODF$ i $ODG$ są równoramienne ($OD = OF = OG = R$), skąd $\\alpha = 2\\theta_g$: $$\\boxed{\\alpha = 2 \\cdot 41{,}81^\\circ \\approx 83{,}6^\\circ}$$ 8.2. B2 $$\\sin\\theta_g' = \\frac{n_w}{n_{sz}} = \\frac{1{,}33}{1{,}50} = 0{,}8867 \\quad\\Rightarrow\\quad \\theta_g' = 62{,}5^\\circ > 41{,}8^\\circ$$ Kąt graniczny rośnie, więc stożek wychodzącego światła jest szerszy i pole powierzchni, przez którą światło opuszcza kulę, się zwiększa.
\nTreść zadania (CKE)
\nKąt graniczny — kiedy w ogóle istnieje
\n$$\\sin\\theta_g = \\frac{n_2}{n_1}$$
\nWarunek: $n_1 > n_2$, czyli światło musi biec z ośrodka gęstszego optycznie do rzadszego. Gdy $n_2 \\geq n_1$, równanie nie ma rozwiązania — całkowite wewnętrzne odbicie nie występuje.
\nPrzejście | $n_2/n_1$ | $\\theta_g$
szkło → powietrze | 1,00 / 1,50 | 41,8°
szkło → woda | 1,33 / 1,50 | 62,5°
woda → powietrze | 1,00 / 1,33 | 48,8°
diament → powietrze | 1,00 / 2,42 | 24,4°
Małe $\\theta_g$ diamentu to powód jego „ognia" — światło wielokrotnie odbija się wewnątrz, zanim wyjdzie.
\nSkąd $\\alpha = 2\\theta_g$
\nDioda w punkcie $D$ leży na powierzchni kuli. Promień biegnący do punktu $F$ pada na powierzchnię pod kątem, który mierzymy od normalnej, a normalną w każdym punkcie kuli jest promień $OF$.
\nTrójkąt $ODF$ ma dwa boki równe promieniowi ($OD = OF = R$), więc jest równoramienny, a kąty przy podstawie są równe. Ten sam argument dla $ODG$ po drugiej stronie daje:
\n$$\\alpha = \\angle FOG = 2\\theta_g$$
\nGdzie to działa w praktyce
\nPunktacja CKE
\nTypowy błąd: Najdroższy błąd w 8.1 to podanie samego kąta granicznego (41,8°) zamiast $\\alpha$. Zadanie pyta o kąt $\\angle FOG$ ze środka kuli, a ten jest dwa razy większy od kąta granicznego. Zależność $\\alpha = 2\\theta_g$ wynika z tego, że trójkąty $ODF$ i $ODG$ są równoramienne — dwa boki to promienie. W 8.2 odruch podpowiada, że w gęstszym ośrodku będzie „trudniej". Jest odwrotnie: im bliższe są współczynniki załamania obu ośrodków, tym większy kąt graniczny. Woda ($n = 1{,}33$) jest bliżej szkła ($1{,}50$) niż powietrze ($1{,}00$), więc kąt graniczny rośnie z 41,8° do 62,5°, a razem z nim pole wyjścia światła. W skrajnym przypadku, gdyby ośrodek na zewnątrz miał $n \\geq n_{sz}$, całkowite wewnętrzne odbicie w ogóle by nie zachodziło i światło wychodziłoby całą powierzchnią.
"}]}