{"id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/8.1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"8.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.1. (0-3)\nOblicz 𝝋. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝑆\n𝐵\n𝐷\n𝜑\n8.1.\n0-1-\n2-3\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8.1. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Budowanie modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk oraz\nilustracji praw i zależności fizycznych.\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nI.4) przeprowadza obliczenia liczbowe,\nposługując się kalkulatorem;\nI.7) wyodrębnia z tekstów […], rysunków\nschematycznych lub blokowych informacje\nkluczowe dla opisywanego zjawiska […];\nI.18) wyodrębnia zjawisko z kontekstu, nazywa\nje oraz wskazuje czynniki istotne i nieistotne\ndla jego przebiegu.\nX.6) stosuje prawo odbicia i prawo załamania\nfal na granicy dwóch ośrodków; posługuje się\npojęciem współczynnika załamania ośrodka;\noblicza kąt graniczny.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia 𝜑 oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego\nwyrażonego w stopniach lub w radianach: 𝜑≈83,6° (lub 𝜑≈84° )\n2 pkt - zauważenie i zapisanie, że kąt ∠𝑆𝐵𝐷 lub ∠𝐷𝐴𝑆 jest kątem granicznym dla przejścia\nświatła ze szkła do powietrza, oraz zapisanie równania (z uwzględnieniem\nwspółczynnika załamania światła w szkle), z którego można obliczyć kąt graniczny dla\nprzejścia światła przez granicę szkło - powietrze, np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| oraz sin 𝛼𝑔\nsin 90° = 𝑛𝑝\n𝑛𝑠𝑧\n) albo w jednym równaniu: sin |∠𝑆𝐵𝐷| = 1\n1,5\nLUB\n- zauważenie i zapisanie, że kąt ∠𝑆𝐵𝐷 lub ∠𝐷𝐴𝑆 jest kątem granicznym dla przejścia\nświatła ze szkła do powietrza, oraz wyprowadzenie/zapisanie zależności między\n𝛼𝑔 a 𝜑, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| oraz 𝜑= 2 ⋅|∠𝑆𝐵𝐷| (albo w jednym równaniu: 𝜑= 2 ⋅𝛼𝑔 )\n1 pkt - zauważenie i zapisanie, że kąt ∠𝑆𝐵𝐷 lub ∠𝐷𝐴𝑆 jest kątem granicznym dla przejścia\nświatła ze szkła do powietrza, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| lub 𝛼𝑔= |∠𝐷𝐴𝑆|\nLUB\n- wyprowadzenie/zapisanie zależności: 𝜑= 2 ⋅|∠𝑆𝐵𝐷|\nUwaga! W tym warunku identyfikacja ∠𝑆𝐵𝐷 jako kąta granicznego nie jest wymagana.\nLUB\n- zapisanie równania na kąt graniczny bez identyfikacji lub z błędną identyfikacją tego\nkąta (oznaczeniem lub na rysunku lub wynikającym dalej z kontekstu) oraz\nuwzględnienie w tym równaniu wartości współczynnika załamania światła w szkle, np.:\nsin 𝛼𝑔= 2\n3 (lub zapisy równoważne)\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że skoro światło wysłane z punktu 𝐷 przechodzi przez fragment kuli oznaczony\nłukiem 𝐴𝐵 (na rysunku przekroju kuli), to kąt padania promienia na granicę ośrodków\nw punkcie 𝐵, czyli ∠𝑆𝐵𝐷 (lub ∠𝐷𝐴𝑆), jest kątem granicznym dla szkła:\n𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| (lub 𝛼𝑔= |∠𝐷𝐴𝑆|)\nZastosujemy wzór na kąt graniczny dla przejścia szkło - powietrze:\nsin 𝛼𝑔\nsin 90° = 𝑛𝑝\n𝑛𝑠𝑧\n→ sin 𝛼𝑔= 1\n1,5 = 2\n3 = 0, (6)\nMiarę kąta granicznego obliczymy na kalkulatorze naukowym:\n𝛼𝑔= arcsin (2\n3) ≈41,8° → |∠𝑆𝐵𝐷| = 𝛼𝑔≈41,8°\nNastępnie powiążemy kąt ∠𝐵𝐷𝐴 (o mierze 𝜑) z kątem granicznym ∠𝑆𝐵𝐷 (o mierze 𝛼𝑔) na\npodstawie elementarnych własności geometrycznych.\nNa mocy symetrii zjawiska wiemy, że trójkąty 𝑆𝐵𝐷 i 𝐴𝑆𝐷 są przystające. Dalej, z własności\ntrójkątów równoramiennych 𝑆𝐵𝐷 i 𝐴𝑆𝐷, mamy:\n(|∠𝑆𝐵𝐷| = |∠𝐵𝐷𝑆| = 𝛼𝑔 oraz |∠𝐷𝐴𝑆| = |∠𝑆𝐷𝐴| = 𝛼𝑔) → |∠𝐵𝐷𝐴| = 2𝛼𝑔\nZatem skoro:\n(|∠𝐵𝐷𝐴| = 𝜑 oraz |∠𝐵𝐷𝐴| = 2𝛼𝑔) to 𝜑= 2𝛼𝑔\nObliczymy 𝜑:\n𝜑= 2 ⋅41,8° ≈83,6°\n𝐴\n𝑆\n𝐵\n𝐷\n𝛼𝑔\n𝛼𝑔\n𝛼𝑔\n𝛼𝑔\n𝜑\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Światło wychodzi tylko tam, gdzie kąt padania na wewnętrzną powierzchnię jest **mniejszy od kąta granicznego**. Z prawa załamania dla przejścia szkło → powietrze: $$\\frac{\\sin\\theta_g}{\\sin 90^\\circ} = \\frac{n_p}{n_{sz}} \\quad\\Rightarrow\\quad \\sin\\theta_g = \\frac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}6667$$ $$\\theta_g = \\arcsin(0{,}6667) = 41{,}81^\\circ$$ Kąty $\\angle ODF$ i $\\angle ODG$ są kątami granicznymi, a trójkąty $ODF$ i $ODG$ są równoramienne ($OD = OF = OG = R$), skąd $\\alpha = 2\\theta_g$: $$\\boxed{\\alpha = 2 \\cdot 41{,}81^\\circ \\approx 83{,}6^\\circ}$$ **8.2. B2** $$\\sin\\theta_g' = \\frac{n_w}{n_{sz}} = \\frac{1{,}33}{1{,}50} = 0{,}8867 \\quad\\Rightarrow\\quad \\theta_g' = 62{,}5^\\circ > 41{,}8^\\circ$$ Kąt graniczny **rośnie**, więc stożek wychodzącego światła jest szerszy i pole powierzchni, przez którą światło opuszcza kulę, **się zwiększa**.","image":"img/fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-8.1.webp","solution_image":null,"topics":"kat graniczny, calkowite wewnetrzne odbicie, wspolczynnik zalamania","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8.1. (0-3)
Oblicz 𝝋. Zapisz obliczenia.
𝐴
𝑆
𝐵
𝐷
𝜑
8.1.
0-1-
2-3
MFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 8.1. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.4) przeprowadza obliczenia liczbowe,
posługując się kalkulatorem;
I.7) wyodrębnia z tekstów […], rysunków
schematycznych lub blokowych informacje
kluczowe dla opisywanego zjawiska […];
I.18) wyodrębnia zjawisko z kontekstu, nazywa
je oraz wskazuje czynniki istotne i nieistotne
dla jego przebiegu.
X.6) stosuje prawo odbicia i prawo załamania
fal na granicy dwóch ośrodków; posługuje się
pojęciem współczynnika załamania ośrodka;
oblicza kąt graniczny.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia 𝜑 oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego
wyrażonego w stopniach lub w radianach: 𝜑≈83,6° (lub 𝜑≈84° )
2 pkt - zauważenie i zapisanie, że kąt ∠𝑆𝐵𝐷 lub ∠𝐷𝐴𝑆 jest kątem granicznym dla przejścia
światła ze szkła do powietrza, oraz zapisanie równania (z uwzględnieniem
współczynnika załamania światła w szkle), z którego można obliczyć kąt graniczny dla
przejścia światła przez granicę szkło - powietrze, np. zapisy równoważne poniższym:
(𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| oraz sin 𝛼𝑔
sin 90° = 𝑛𝑝
𝑛𝑠𝑧
) albo w jednym równaniu: sin |∠𝑆𝐵𝐷| = 1
1,5
LUB

\n\n

światła ze szkła do powietrza, oraz wyprowadzenie/zapisanie zależności między
𝛼𝑔 a 𝜑, np. zapisy równoważne poniższym:
𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| oraz 𝜑= 2 ⋅|∠𝑆𝐵𝐷| (albo w jednym równaniu: 𝜑= 2 ⋅𝛼𝑔 )
1 pkt - zauważenie i zapisanie, że kąt ∠𝑆𝐵𝐷 lub ∠𝐷𝐴𝑆 jest kątem granicznym dla przejścia
światła ze szkła do powietrza, np. zapisy równoważne poniższym:
𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| lub 𝛼𝑔= |∠𝐷𝐴𝑆|
LUB

\n\n

Uwaga! W tym warunku identyfikacja ∠𝑆𝐵𝐷 jako kąta granicznego nie jest wymagana.
LUB

\n\n

kąta (oznaczeniem lub na rysunku lub wynikającym dalej z kontekstu) oraz
uwzględnienie w tym równaniu wartości współczynnika załamania światła w szkle, np.:
sin 𝛼𝑔= 2
3 (lub zapisy równoważne)
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zauważmy, że skoro światło wysłane z punktu 𝐷 przechodzi przez fragment kuli oznaczony
łukiem 𝐴𝐵 (na rysunku przekroju kuli), to kąt padania promienia na granicę ośrodków
w punkcie 𝐵, czyli ∠𝑆𝐵𝐷 (lub ∠𝐷𝐴𝑆), jest kątem granicznym dla szkła:
𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| (lub 𝛼𝑔= |∠𝐷𝐴𝑆|)
Zastosujemy wzór na kąt graniczny dla przejścia szkło - powietrze:
sin 𝛼𝑔
sin 90° = 𝑛𝑝
𝑛𝑠𝑧
→ sin 𝛼𝑔= 1
1,5 = 2
3 = 0, (6)
Miarę kąta granicznego obliczymy na kalkulatorze naukowym:
𝛼𝑔= arcsin (2

\n
  1. ≈41,8° → |∠𝑆𝐵𝐷| = 𝛼𝑔≈41,8°
\n

Następnie powiążemy kąt ∠𝐵𝐷𝐴 (o mierze 𝜑) z kątem granicznym ∠𝑆𝐵𝐷 (o mierze 𝛼𝑔) na
podstawie elementarnych własności geometrycznych.
Na mocy symetrii zjawiska wiemy, że trójkąty 𝑆𝐵𝐷 i 𝐴𝑆𝐷 są przystające. Dalej, z własności
trójkątów równoramiennych 𝑆𝐵𝐷 i 𝐴𝑆𝐷, mamy:
(|∠𝑆𝐵𝐷| = |∠𝐵𝐷𝑆| = 𝛼𝑔 oraz |∠𝐷𝐴𝑆| = |∠𝑆𝐷𝐴| = 𝛼𝑔) → |∠𝐵𝐷𝐴| = 2𝛼𝑔
Zatem skoro:
(|∠𝐵𝐷𝐴| = 𝜑 oraz |∠𝐵𝐷𝐴| = 2𝛼𝑔) to 𝜑= 2𝛼𝑔
Obliczymy 𝜑:
𝜑= 2 ⋅41,8° ≈83,6°
𝐴
𝑆
𝐵
𝐷
𝛼𝑔
𝛼𝑔
𝛼𝑔
𝛼𝑔
𝜑
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Światło wychodzi tylko tam, gdzie kąt padania na wewnętrzną powierzchnię jest mniejszy od kąta granicznego. Z prawa załamania dla przejścia szkło → powietrze: $$\\frac{\\sin\\theta_g}{\\sin 90^\\circ} = \\frac{n_p}{n_{sz}} \\quad\\Rightarrow\\quad \\sin\\theta_g = \\frac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}6667$$ $$\\theta_g = \\arcsin(0{,}6667) = 41{,}81^\\circ$$ Kąty $\\angle ODF$ i $\\angle ODG$ są kątami granicznymi, a trójkąty $ODF$ i $ODG$ są równoramienne ($OD = OF = OG = R$), skąd $\\alpha = 2\\theta_g$: $$\\boxed{\\alpha = 2 \\cdot 41{,}81^\\circ \\approx 83{,}6^\\circ}$$ 8.2. B2 $$\\sin\\theta_g' = \\frac{n_w}{n_{sz}} = \\frac{1{,}33}{1{,}50} = 0{,}8867 \\quad\\Rightarrow\\quad \\theta_g' = 62{,}5^\\circ > 41{,}8^\\circ$$ Kąt graniczny rośnie, więc stożek wychodzącego światła jest szerszy i pole powierzchni, przez którą światło opuszcza kulę, się zwiększa.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: $\\varphi \\approx 83{,}6^\\circ$ (w przybliżeniu $\\approx 84^\\circ$)

\n

Światło z diody $D$ (tuż pod powierzchnią kuli) wychodzi na zewnątrz tylko tam, gdzie kąt padania na wewnętrzną powierzchnię jest mniejszy od kąta granicznego całkowitego wewnętrznego odbicia. Poza tym obszarem następuje całkowite wewnętrzne odbicie i światło nie wychodzi. Krawędzie łuku $AB$ odpowiadają promieniom padającym dokładnie pod kątem granicznym.

\n

Krok 1. Kąt graniczny. Dla przejścia szkło → powietrze:

\n

$$\\sin\\theta_{gr} = \\frac{n_p}{n_{sz}} = \\frac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}6\\overline{6}.$$

\n

$$\\theta_{gr} = \\arcsin(0{,}667) \\approx 41{,}8^\\circ.$$

\n

Krok 2. Geometria kąta $\\varphi=\\angle BDA$. Dioda $D$ leży tuż przy powierzchni, a normalna do powierzchni kuli w punkcie $D$ pokrywa się z promieniem kuli. Promienie graniczne biegnące od $D$ do punktów $A$ i $B$ tworzą z tą normalną kąt równy kątowi granicznemu $\\theta_{gr}$ po obu stronach. Kąt między tymi dwoma promieniami granicznymi:

\n

$$\\varphi = 2\\,\\theta_{gr}.$$

\n

Krok 3. Obliczenie:

\n

$$\\varphi = 2 \\cdot 41{,}8^\\circ \\approx 83{,}6^\\circ \\;(\\approx 84^\\circ).$$

\n

Odpowiedź: $\\varphi \\approx 83{,}6^\\circ$.

\n

(Uwaga: kąt należy podwoić względem kąta granicznego $41{,}8^\\circ$, a nie względem $\\approx 84^\\circ$ - stąd wynik $83{,}6^\\circ$, a nie $168^\\circ$.)

\n

Zasady oceniania CKE

\n"}]}