{"id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nElektron porusza się po okręgu w zewnętrznym jednorodnym polu magnetycznym.\nWartość wektora indukcji magnetycznej tego pola jest równa 𝐵= 1,70 mT.\nWektor prędkości vሬ⃗ elektronu jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej 𝐵ሬ⃗.\nWartość prędkości elektronu jest dużo mniejsza od wartości prędkości światła w próżni.\nOblicz 𝑻 - okres obiegu tego elektronu po okręgu. Zapisz obliczenia.\nWskazówka: Skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin\nmaturalny z biologii, chemii i fizyki.\n9.\n0-1-\n2-3\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nII.10) identyfikuje siłę wypadkową działającą na\nciało w ruchu jednostajnym po okręgu jako siłę\ndośrodkową;\nII.13) stosuje zasady dynamiki do opisu\nzachowania się ciał.\nIX.2) posługuje się pojęciem wektora indukcji\nmagnetycznej wraz z jego jednostką, analizuje\noddziaływanie pola magnetycznego na\nprzewodnik […] na poruszającą się cząstkę\nnaładowaną ([…] siła Lorentza);\nIX.4) analizuje tor cząstki naładowanej\nw jednorodnym polu magnetycznym.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego\nz jednostką: 𝑇≈2,10 ⋅10-8 s\n2 pkt - zapisanie równania identyfikującego siłę Lorentza działającą na elektron jako siłę\ndośrodkową oraz uwzględnienie w tym równaniu wzorów na te siły (z prędkością albo\nprędkością kątową), oraz uwzględnienie/zapisanie związku między prędkością (lub\nprędkością kątową) a okresem, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑒\n𝑣2\n𝑟= 𝑞𝑣𝐵 oraz 𝑣= 2𝜋𝑟\n𝑇\nalbo\n𝑚𝑒𝜔2𝑟= 𝑞𝑣𝐵 oraz 𝑣= 𝜔𝑟 oraz 𝜔= 2𝜋\n𝑇\nalbo w jednym równaniu\n𝑚𝑒(2𝜋\n𝑇)\n2\n𝑟= 𝑞(2𝜋𝑟\n𝑇) 𝐵\n1 pkt - zapisanie równania identyfikującego siłę Lorentza działającą na elektron jako siłę\ndośrodkową, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑒𝑎𝑑𝑜= 𝐹𝐿 albo 𝐹𝑑𝑜= 𝐹𝐿\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNa elektron poruszający się po okręgu w jednorodnym polu magnetycznym działa siła\nLorentza, która jednocześnie pełni funkcję siły dośrodkowej. Zapiszemy równanie II zasady\ndynamiki identyfikujące siłę Lorentza jako siłę dośrodkową:\n𝑚𝑒𝑎𝑑𝑜= 𝐹𝐿\nZastosujemy wzory na przyśpieszenie dośrodkowe oraz na siłę Lorentza. Wektor prędkości\njest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej, zatem:\n𝑚𝑒\n𝑣2\n𝑟= 𝑞𝑣𝐵 → 𝑚𝑒\n𝑣\n𝑟= 𝑞𝐵\nSkorzystamy ze związku między okresem a prędkością w ruchu jednostajnym po okręgu:\n𝑚𝑒\n(2𝜋𝑟\n𝑇)\n𝑟\n= 𝑞𝐵 → 𝑚𝑒(2𝜋\n𝑇) = 𝑞𝐵\n𝑇= 2𝜋𝑚𝑒\n𝑞𝐵\nDo otrzymanego wzoru podstawimy dane liczbowe i wartości stałych:\n𝑇≈\n2 ⋅3,142 ⋅9,109 ⋅10-31 kg\n1,602 ⋅10-19 C ⋅1,70 ⋅10-3 T ≈21,0 ⋅10-9\nkg\nC ⋅(N ⋅s\nC ⋅m)\n= 2,10 ⋅10-8 s\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: Na elektron działa **siła Lorentza**, która pełni funkcję **siły dośrodkowej**. Ponieważ $\\vec{v} \\perp \\vec{B}$: $$qvB = \\frac{mv^2}{r}$$ Skracamy $v$: $$qB = \\frac{mv}{r} \\quad\\Rightarrow\\quad r = \\frac{mv}{qB}$$ Ze związku między okresem a prędkością w ruchu jednostajnym po okręgu $v = \\dfrac{2\\pi r}{T}$: $$qB = \\frac{m}{r}\\cdot\\frac{2\\pi r}{T} \\quad\\Rightarrow\\quad \\boxed{T = \\frac{2\\pi m}{qB}}$$ Podstawiamy dane: $$T = \\frac{2 \\cdot 3{,}142 \\cdot 9{,}109\\cdot 10^{-31}\\ \\mathrm{kg}}{1{,}602\\cdot 10^{-19}\\ \\mathrm{C} \\cdot 1{,}70\\cdot 10^{-3}\\ \\mathrm{T}}$$ $$\\boxed{T \\approx 2{,}10 \\cdot 10^{-8}\\ \\mathrm{s}}$$\n\nTreść zadania (CKE)\n\nSkąd znika prędkość\n\n$$\\underbrace{qvB}{\\text{siła Lorentza}} = \\underbrace{\\frac{mv^2}{r}}{\\text{siła dośrodkowa}}$$\n\nPo skróceniu $v$ zostaje $r = \\frac{mv}{qB}$ — promień rośnie z prędkością. Ale okres to droga podzielona przez prędkość:\n\n$$T = \\frac{2\\pi r}{v} = \\frac{2\\pi}{v}\\cdot\\frac{mv}{qB} = \\frac{2\\pi m}{qB}$$\n\nSzybsza cząstka zatacza proporcjonalnie większy okrąg i obiega go w tym samym czasie.\n\nCzęstość cyklotronowa\n\nOdwrotność okresu to częstość cyklotronowa:\n\n$$f_c = \\frac{qB}{2\\pi m}$$\n\nNa tej niezależności od prędkości opiera się działanie cyklotronu: napięcie przyspieszające może mieć stałą częstotliwość, bo cząstka wraca do szczeliny zawsze po tym samym czasie, mimo że jej orbita rośnie.\n\nZastrzeżenie w treści — „prędkość dużo mniejsza od prędkości światła\" — jest istotne właśnie dlatego, że przy prędkościach relatywistycznych masa efektywna rośnie i ta niezależność przestaje obowiązywać. Stąd potrzeba synchrocyklotronów.\n\nDane z karty wzorów\n\nWielkość | Wartość\nmasa elektronu $m_e$ | $9{,}109\\cdot 10^{-31}\\ \\mathrm{kg}$\nładunek elementarny $e$ | $1{,}602\\cdot 10^{-19}\\ \\mathrm{C}$\n\nPunktacja CKE\n\n- 3 pkt — poprawna metoda i wynik z jednostką ($\\approx 2{,}10\\cdot 10^{-8}\\ \\mathrm{s}$).\n- 2 pkt — równanie identyfikujące siłę Lorentza jako dośrodkową oraz związek prędkości z okresem.\n- 1 pkt — samo równanie $qvB = ma_d$.\n\nTypowy błąd: **Najważniejsza obserwacja: okres nie zależy od prędkości ani od promienia.** Prędkość skraca się w rachunku, więc $T = \\frac{2\\pi m}{qB}$ zależy tylko od masy, ładunku i indukcji. Uczniowie często zatrzymują się na $r = \\frac{mv}{qB}$ i twierdzą, że bez $v$ nie da się policzyć okresu — a właśnie da się i to jest sedno zadania. **Nie trzeba szukać wartości prędkości w treści** — jej tam nie ma i nie jest potrzebna. **Uwaga na jednostki:** $B$ podano w **milisteslach**, więc $1{,}70\\ \\mathrm{mT} = 1{,}70\\cdot 10^{-3}\\ \\mathrm{T}$. Podstawienie 1,70 zamiast $1{,}70\\cdot 10^{-3}$ zmienia wynik o trzy rzędy wielkości. Masę i ładunek elektronu bierzemy z karty wzorów — zadanie wprost do niej odsyła.","image":"img/fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"sila Lorentza, ruch po okregu, okres obiegu, pole magnetyczne","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
Elektron porusza się po okręgu w zewnętrznym jednorodnym polu magnetycznym.
Wartość wektora indukcji magnetycznej tego pola jest równa 𝐵= 1,70 mT.
Wektor prędkości vሬ⃗ elektronu jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej 𝐵ሬ⃗.
Wartość prędkości elektronu jest dużo mniejsza od wartości prędkości światła w próżni.
Oblicz 𝑻 - okres obiegu tego elektronu po okręgu. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: Skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin
maturalny z biologii, chemii i fizyki.
9.
0-1-
2-3
MFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
II.10) identyfikuje siłę wypadkową działającą na
ciało w ruchu jednostajnym po okręgu jako siłę
dośrodkową;
II.13) stosuje zasady dynamiki do opisu
zachowania się ciał.
IX.2) posługuje się pojęciem wektora indukcji
magnetycznej wraz z jego jednostką, analizuje
oddziaływanie pola magnetycznego na
przewodnik […] na poruszającą się cząstkę
naładowaną ([…] siła Lorentza);
IX.4) analizuje tor cząstki naładowanej
w jednorodnym polu magnetycznym.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego
z jednostką: 𝑇≈2,10 ⋅10-8 s
2 pkt - zapisanie równania identyfikującego siłę Lorentza działającą na elektron jako siłę
dośrodkową oraz uwzględnienie w tym równaniu wzorów na te siły (z prędkością albo
prędkością kątową), oraz uwzględnienie/zapisanie związku między prędkością (lub
prędkością kątową) a okresem, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑒
𝑣2
𝑟= 𝑞𝑣𝐵 oraz 𝑣= 2𝜋𝑟
𝑇
albo
𝑚𝑒𝜔2𝑟= 𝑞𝑣𝐵 oraz 𝑣= 𝜔𝑟 oraz 𝜔= 2𝜋
𝑇
albo w jednym równaniu
𝑚𝑒(2𝜋
𝑇)
2
𝑟= 𝑞(2𝜋𝑟
𝑇) 𝐵
1 pkt - zapisanie równania identyfikującego siłę Lorentza działającą na elektron jako siłę
dośrodkową, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑒𝑎𝑑𝑜= 𝐹𝐿 albo 𝐹𝑑𝑜= 𝐹𝐿
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Na elektron poruszający się po okręgu w jednorodnym polu magnetycznym działa siła
Lorentza, która jednocześnie pełni funkcję siły dośrodkowej. Zapiszemy równanie II zasady
dynamiki identyfikujące siłę Lorentza jako siłę dośrodkową:
𝑚𝑒𝑎𝑑𝑜= 𝐹𝐿
Zastosujemy wzory na przyśpieszenie dośrodkowe oraz na siłę Lorentza. Wektor prędkości
jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej, zatem:
𝑚𝑒
𝑣2
𝑟= 𝑞𝑣𝐵 → 𝑚𝑒
𝑣
𝑟= 𝑞𝐵
Skorzystamy ze związku między okresem a prędkością w ruchu jednostajnym po okręgu:
𝑚𝑒
(2𝜋𝑟
𝑇)
𝑟
= 𝑞𝐵 → 𝑚𝑒(2𝜋
𝑇) = 𝑞𝐵
𝑇= 2𝜋𝑚𝑒
𝑞𝐵
Do otrzymanego wzoru podstawimy dane liczbowe i wartości stałych:
𝑇≈
2 ⋅3,142 ⋅9,109 ⋅10-31 kg
1,602 ⋅10-19 C ⋅1,70 ⋅10-3 T ≈21,0 ⋅10-9
kg
C ⋅(N ⋅s
C ⋅m)
= 2,10 ⋅10-8 s
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: Na elektron działa siła Lorentza, która pełni funkcję siły dośrodkowej. Ponieważ $\\vec{v} \\perp \\vec{B}$: $$qvB = \\frac{mv^2}{r}$$ Skracamy $v$: $$qB = \\frac{mv}{r} \\quad\\Rightarrow\\quad r = \\frac{mv}{qB}$$ Ze związku między okresem a prędkością w ruchu jednostajnym po okręgu $v = \\dfrac{2\\pi r}{T}$: $$qB = \\frac{m}{r}\\cdot\\frac{2\\pi r}{T} \\quad\\Rightarrow\\quad \\boxed{T = \\frac{2\\pi m}{qB}}$$ Podstawiamy dane: $$T = \\frac{2 \\cdot 3{,}142 \\cdot 9{,}109\\cdot 10^{-31}\\ \\mathrm{kg}}{1{,}602\\cdot 10^{-19}\\ \\mathrm{C} \\cdot 1{,}70\\cdot 10^{-3}\\ \\mathrm{T}}$$ $$\\boxed{T \\approx 2{,}10 \\cdot 10^{-8}\\ \\mathrm{s}}$$

\n

Treść zadania (CKE)

\n

Skąd znika prędkość

\n

$$\\underbrace{qvB}{\\text{siła Lorentza}} = \\underbrace{\\frac{mv^2}{r}}{\\text{siła dośrodkowa}}$$

\n

Po skróceniu $v$ zostaje $r = \\frac{mv}{qB}$ — promień rośnie z prędkością. Ale okres to droga podzielona przez prędkość:

\n

$$T = \\frac{2\\pi r}{v} = \\frac{2\\pi}{v}\\cdot\\frac{mv}{qB} = \\frac{2\\pi m}{qB}$$

\n

Szybsza cząstka zatacza proporcjonalnie większy okrąg i obiega go w tym samym czasie.

\n

Częstość cyklotronowa

\n

Odwrotność okresu to częstość cyklotronowa:

\n

$$f_c = \\frac{qB}{2\\pi m}$$

\n

Na tej niezależności od prędkości opiera się działanie cyklotronu: napięcie przyspieszające może mieć stałą częstotliwość, bo cząstka wraca do szczeliny zawsze po tym samym czasie, mimo że jej orbita rośnie.

\n

Zastrzeżenie w treści — „prędkość dużo mniejsza od prędkości światła" — jest istotne właśnie dlatego, że przy prędkościach relatywistycznych masa efektywna rośnie i ta niezależność przestaje obowiązywać. Stąd potrzeba synchrocyklotronów.

\n

Dane z karty wzorów

\n

Wielkość | Wartość
masa elektronu $m_e$ | $9{,}109\\cdot 10^{-31}\\ \\mathrm{kg}$
ładunek elementarny $e$ | $1{,}602\\cdot 10^{-19}\\ \\mathrm{C}$

\n

Punktacja CKE

\n\n

Typowy błąd: Najważniejsza obserwacja: okres nie zależy od prędkości ani od promienia. Prędkość skraca się w rachunku, więc $T = \\frac{2\\pi m}{qB}$ zależy tylko od masy, ładunku i indukcji. Uczniowie często zatrzymują się na $r = \\frac{mv}{qB}$ i twierdzą, że bez $v$ nie da się policzyć okresu — a właśnie da się i to jest sedno zadania. Nie trzeba szukać wartości prędkości w treści — jej tam nie ma i nie jest potrzebna. Uwaga na jednostki: $B$ podano w milisteslach, więc $1{,}70\\ \\mathrm{mT} = 1{,}70\\cdot 10^{-3}\\ \\mathrm{T}$. Podstawienie 1,70 zamiast $1{,}70\\cdot 10^{-3}$ zmienia wynik o trzy rzędy wielkości. Masę i ładunek elektronu bierzemy z karty wzorów — zadanie wprost do niej odsyła.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: $T \\approx 2{,}10\\cdot 10^{-8}$ s

\n

Krok 1. Siła Lorentza jako siła dośrodkowa. Elektron porusza się po okręgu, gdyż siła magnetyczna (Lorentza) pełni rolę siły dośrodkowej:

\n

$$q v B = \\frac{m v^2}{r} \\quad\\Rightarrow\\quad r = \\frac{m v}{q B}.$$

\n

Krok 2. Związek okresu z prędkością. Okres obiegu:

\n

$$T = \\frac{2\\pi r}{v} = \\frac{2\\pi}{v}\\cdot\\frac{m v}{q B} = \\frac{2\\pi m}{q B}.$$

\n

Okres nie zależy od prędkości (charakterystyczne dla ruchu cyklotronowego).

\n

Krok 3. Dane (z karty wzorów i stałych):

\n\n

Krok 4. Obliczenia:

\n

$$T = \\frac{2\\pi\\cdot 9{,}109\\cdot 10^{-31}}{1{,}602\\cdot 10^{-19}\\cdot 1{,}70\\cdot 10^{-3}} = \\frac{5{,}723\\cdot 10^{-30}}{2{,}723\\cdot 10^{-22}} \\approx 2{,}10\\cdot 10^{-8}\\ \\text{s}.$$

\n

Odpowiedź: $T \\approx 2{,}10\\cdot 10^{-8}$ s.

\n

Zasady oceniania CKE

\n

3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu oraz wynik z jednostką $T \\approx 2{,}10\\cdot 10^{-8}$ s. 2 pkt - identyfikacja siły Lorentza jako siły dośrodkowej, poprawne wzory oraz związek prędkości z okresem ($T = 2\\pi r/v$). 1 pkt - zapisanie równania siła Lorentza = siła dośrodkowa. 0 pkt - brak.

"}]}