Zadanie 1.3. (0-3)
Oblicz 𝒉𝟎. Zapisz obliczenia.
EFAP-R0_100
Zadanie 1.3. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów i rysunków.
Zdający:
1.4) wykorzystuje związki pomiędzy
położeniem, prędkością i przyspieszeniem
w ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym
do obliczania parametrów ruchu;
1.5) rysuje i interpretuje wykresy zależności
parametrów ruchu od czasu;
1.6) oblicza parametry ruchu podczas
swobodnego spadku i rzutu pionowego.
Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)
Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych
warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.
Warunek h_max-metoda
Poprawna metoda obliczenia ℎ𝑚𝑎𝑥, tzn. skorzystanie ze związku między drogą a czasem
i przyśpieszeniem grawitacyjnym w spadku swobodnym (od punktu 𝑊 do 𝐵) bez prędkości
początkowej, oraz uwzględnienie, że 𝑡𝑊𝐵= 1 s, np. zapisy równoważne poniższym:
ℎ𝑚𝑎𝑥= 1
2 𝑔𝑡𝑊𝐵
2 oraz 𝑡𝑊𝐵= 1 s
Warunek Δh-metoda
Poprawna metoda 1. obliczenia różnicy wysokości Δℎ𝑊𝐴, tzn. skorzystanie ze związku
między drogą a czasem i przyśpieszeniem grawitacyjnym w spadku swobodnym (od punktu
𝑊 do 𝐴) bez prędkości początkowej, oraz uwzględnienie, że 𝑡𝑊𝐴= 0,8 s, np. zapisy
równoważne poniższym:
Δℎ𝑊𝐴= 1
2 𝑔𝑡𝑊𝐴
2 oraz 𝑡𝑊𝐴= 0,8 s
ALBO
Poprawna metoda 2. (zobacz Uwaga przy kroku 2. w sposobie 1. rozwiązania) obliczenia
różnicy wysokości Δℎ𝐴𝑊, tzn. skorzystanie ze związku między drogą a prędkością
początkową, czasem i przyśpieszeniem grawitacyjnym w rzucie pionowym (od punktu 𝐴 do
punktu 𝑊), oraz uwzględnienie, że 𝑡𝐴𝑊= 0,8 s, np. zapisy równoważne poniższym:
Δℎ𝐴𝑊= v0𝑡𝐴𝑊-1
2 𝑔𝑡𝐴𝑊
2 oraz 𝑡𝐴𝑊= 0,8 s
Warunek h_0-metoda
Zapisanie równania wskazującego na strategię rozwiązania, np. zapisy równoważne
poniższym:
ℎ0 = ℎ𝑚𝑎𝑥-Δℎ𝐴𝑊
Schemat punktowania (dla rozwiązania sposobem 1.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ℎ0, z której wyrzucono pionowo w górę
ciało 𝒞 oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: ℎ0 ≈1,8 m
2 pkt - spełnienie warunków: h_max-metoda oraz Δh-metoda oraz h_0-metoda
LUB
wartości ℎ𝑚𝑎𝑥≈4,9 m
LUB
wartości Δℎ≈3,1 m
LUB
wartości dla Δℎ≈3,1 m lub ℎ𝑚𝑎𝑥≈4,9 m.
1 pkt - spełnienie warunku h_max-metoda
LUB
LUB
\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ℎ0, z której wyrzucono pionowo w górę
ciało 𝒞, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: ℎ0 ≈1,8 m
2 pkt - poprawne zapisanie kinematycznego równania ruchu dla ciała 𝒞 oraz
zapisanie/uwzględnienie warunków, że ℎ= 0 dla 𝑡𝐴𝐵= 1,8 s, oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊, np.:
0 = ℎ0 + 𝑔𝑡𝐴𝑊𝑡𝐴𝐵-1
2 𝑔𝑡𝐴𝐵
2 (lub zapisy równoważne)
1 pkt - poprawne zapisanie kinematycznego równania ruchu dla ciała 𝒞, np.:
ℎ(𝑡) = ℎ0 + v0𝑡-1
2 𝑔𝑡2 (lub zapisy równoważne)
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ℎ0, z której wyrzucono pionowo w górę
ciało 𝒞, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: ℎ0 ≈1,8 m
2 pkt - spełnienie warunku za 1 pkt oraz zapisanie/uwzględnienie warunków, że ℎ= 0 dla
𝑡𝐴′𝐵= 0,2 s (𝐴’ jest punktem symetrycznym do 𝐴), oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊, np.:
0 = ℎ0 -(𝑔𝑡𝐴𝑊⋅0,2 + 1
2 𝑔⋅0,22) (lub zapisy równoważne)
1 pkt - poprawne zapisanie kinematycznego równania ruchu (jednostajnie przyśpieszonego)
dla ciała 𝒞, licząc czas od momentu gdy osiągnie z powrotem wysokość ℎ0, np.:
ℎ(𝑡) = ℎ0 -𝑠(𝑡) = ℎ0 -(v0𝑡+ 1
2 𝑔𝑡2) (lub zapisy równoważne)
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 4.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ℎ0, z której wyrzucono pionowo w górę
ciało 𝒞, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: ℎ0 ≈1,8 m
2 pkt - spełnienie warunku za 1 pkt oraz zapisanie/uwzględnienie warunku, że v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊,
oraz poprawna metoda obliczenia ℎ𝑚𝑎𝑥, np. zapisy równoważne poniższym:
ℎ0 = ℎ𝑚𝑎𝑥-v0
2
2𝑔 oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊 oraz ℎ𝑚𝑎𝑥= 1
2 𝑔𝑡𝑊𝐵
2
1 pkt - poprawne zapisanie równania zasady zachowania energii mechanicznej (lub z
równań ruchu z wyeliminowanym czasem), np. zapisy równoważne poniższym:
ℎ0 = ℎ𝑚𝑎𝑥-v0
2
2𝑔
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 5.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ℎ0, z której wyrzucono pionowo w górę
ciało 𝒞, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: ℎ0 ≈1,8 m
2 pkt - spełnienie warunku za 1 pkt oraz podstawienie do równania paraboli współrzędnych
punktów 𝐴 i 𝐵 oraz wyznaczenie zależności między ℎ0 i ℎ𝑚𝑎𝑥, np. zapisy
równoważne poniższym:
{ ℎ0 = 𝑘(0 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥
0 = 𝑘(1,8 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥
→ ℎ0 = 0,36ℎ𝑚𝑎𝑥
LUB
punktów 𝐴 i 𝐵 oraz poprawna metoda wyznaczenia ℎ𝑚𝑎𝑥, np. zapisy równoważne
poniższym:
{ ℎ0 = 𝑘(0 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥
0 = 𝑘(1,8 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥
oraz ℎ𝑚𝑎𝑥= 1
2 𝑔𝑡𝑊𝐵
2
1 pkt - zapisanie równania paraboli (której fragment jest wykresem ℎ(𝑡)) w postaci
kanonicznej z podstawionymi współrzędnymi wierzchołka 𝑊, np. zapisy równoważne
poniższym:
ℎ(𝑡) = 𝑘(𝑡-0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Określimy strategię postępowania:
Krok 1. Obliczymy ℎ𝑚𝑎𝑥.
Krok 2. Obliczymy Δℎ𝐴𝑊. Skorzystamy z symetrii w czasie między wznoszeniem
swobodnym w rzucie pionowym a spadkiem swobodnym bez prędkości początkowej
(oba ruchy z przyśpieszeniem grawitacyjnym):
Δℎ𝐴𝑊= Δℎ𝑊𝐴 oraz 𝑡𝑤𝑧𝑛𝑜𝑠𝑧𝑒𝑛𝑖𝑎 𝐴𝑊= 𝑡𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑊𝐴
Krok 3. Obliczymy ℎ0. Skorzystamy z faktu, że ℎ𝑚𝑎𝑥= ℎ0 + Δℎ𝐴𝑊.
Krok 1. Obliczymy ℎ𝑚𝑎𝑥. Skorzystamy ze związku między drogą (równą wysokości
maksymalnej) a przyśpieszeniem (równym grawitacyjnemu) i czasem w ruchu jednostajnie
przyśpieszonym. Czas opadania od punktu 𝑊 do 𝐵 określimy na podstawie wykresu:
ℎ𝑚𝑎𝑥= 1
2 𝑔𝑡𝑊𝐵
2 gdzie 𝑡𝑊𝐵= 𝑡𝐵-𝑡𝑊= 1,8 s -0,8 s = 1,0 s
ℎ𝑚𝑎𝑥= 1
2 ⋅9,81
m
s2 ⋅(1 s)2 = 4,905 m
Krok 2. Obliczymy Δℎ𝐴𝑊:
Δℎ𝐴𝑊= Δℎ𝑊𝐴 oraz 𝑡𝑤𝑧𝑛𝑜𝑠𝑧𝑒𝑛𝑖𝑎 𝐴𝑊= 𝑡𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑊𝐴= 0,8 s
Δℎ𝑊𝐴= 1
2 𝑔𝑡𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑊𝐴
2
Δℎ𝑊𝐴= 1
2 ⋅9,81 m
s2 ⋅(0,8 s)2 = 3,1392 m zatem Δℎ𝐴𝑊= 3,1392 m
Uwaga! Krok 2. można zrealizować drugą metodą, z wykorzystaniem równań ruchu dla rzutu
pionowego w górę oraz z obliczonej wcześniej prędkości początkowej:
Δℎ𝐴𝑊= v0𝑡𝐴𝑊-1
2 𝑔𝑡𝐴𝑊
2
= 7,848 m
s ⋅0,8 s - 1
2 ⋅9,81 m
s2 ⋅(0,8 s)2 = 3,1392 m
Krok 3. Obliczymy ℎ0:
ℎ0 = ℎ𝑚𝑎𝑥-Δℎ𝐴𝑊
ℎ0 = 4,905 m -3,1392 m = 1,7658 m ≈1,8 m
Sposób 2.
Skorzystamy z równania ruchu jednostajnie opóźnionego ciała 𝒞, z położeniem
początkowym ℎ0, prędkością początkową v0 i przyśpieszeniem grawitacyjnym 𝑔:
ℎ(𝑡) = ℎ0 + v0𝑡-1
2 𝑔𝑡2
Zauważmy, że dla 𝑡= 𝑡𝐴𝐵 mamy ℎ= 0, ponadto v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊:
0 = ℎ0 + v0𝑡𝐴𝐵-1
2 𝑔𝑡𝐴𝐵
2 oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊
0 = ℎ0 + 𝑔𝑡𝐴𝑊𝑡𝐴𝐵-1
2 𝑔𝑡𝐴𝐵
2
Obliczymy ℎ0. Z wykresu odczytamy czasy 𝑡𝐴𝑊 oraz 𝑡𝐴𝐵 i podstawimy do powyższego
równania:
0 = ℎ0 + 9,81 m
s2 ⋅(0,8 s) ⋅(1,8 s) -1
2 ⋅9,81 m
s2 ⋅(1,8 s)2
ℎ0 = 1
2 ⋅9,81 m
s2 ⋅(1,8 s)2 -9,81 m
s2 ⋅(0,8 s) ⋅(1,8 s)
ℎ0 = 1,7658 m ≈1,8 m
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób 3.
Skorzystamy z równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego ciała 𝒞, licząc czas 𝑡 od
momentu, gdy osiągnie z powrotem wysokość ℎ0 w chwili 𝑡𝐴′ = 1,6 s (na wykresie jest to
punkt 𝐴’ symetryczny do punktu 𝐴). Prędkość początkowa tego ruchu ma wartość v0 i jest
skierowana w dół. Zapiszemy równanie ruchu jednostajnie przyśpieszonego
z przyśpieszeniem o wartości 𝑔:
ℎ(𝑡) = ℎ0 -𝑠(𝑡) = ℎ0 -(v0𝑡+ 1
2 𝑔𝑡2 )
Zauważmy, że dla 𝑡= 𝑡𝐴′𝐵= 0,2 s mamy ℎ= 0, ponadto v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊:
0 = ℎ0 -(v0 ⋅0,2 s + 1
2 𝑔⋅(0,2 s)2) oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊= 7,85 m
s
ℎ0 = 7,85 m
s ⋅0,2 s + 1
2 ⋅9,81 m
s2 ⋅(0,2 s)2
ℎ0 = 1,7662 m ≈1,8 m
Sposób 4.
Zapiszemy równanie wynikające z zasady zachowania energii mechanicznej:
𝑔ℎ𝑚𝑎𝑥= v0
2
2 + 𝑔ℎ0 → ℎ0 = ℎ𝑚𝑎𝑥-v0
2
2𝑔
Wyznaczymy ℎ𝑚𝑎𝑥 oraz v0:
ℎ𝑚𝑎𝑥= 1
2 𝑔𝑡𝑊𝐵
2 oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊
Z powyższych równań wynika:
ℎ0 = 1
2 𝑔𝑡𝑊𝐵
2
-1
2 𝑔𝑡𝐴𝑊
2
= 1
2 ⋅9,81 ⋅(12 -0,82) m = 1,7658 m ≈1,8 m
Sposób 5.
Wyznaczymy równanie paraboli, której fragment jest wykresem zależności ℎ(𝑡). Skorzystamy
z postaci kanonicznej równania paraboli. Współczynnik wiodący równania paraboli oznaczymy
jako 𝑘. Współrzędne wierzchołka to 𝑊= (𝑡𝑊; ℎ𝑊) = (0,8 ; ℎ𝑚𝑎𝑥) zatem:
Uwaga! W równaniach podstawiamy wartości liczbowe lub symbole odpowiednich wielkości
bez wypisywania jednostek, przy czym zakładamy, że są to jednostki podstawowe układu SI.
Do równania 2) podstawimy współrzędne punktów 𝐴 i 𝐵:
{𝐴= (0; ℎ0) →ℎ(𝑡)
𝐵= (1,8 ; 0) →ℎ(𝑡) → { ℎ0 = 𝑘(0 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥
0 = 𝑘(1,8 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥
{ℎ0 = 0,64𝑘+ ℎ𝑚𝑎𝑥
0 = 𝑘⋅12 + ℎ𝑚𝑎𝑥
→ {ℎ0 = 0,64 ⋅(-ℎ𝑚𝑎𝑥 ) + ℎ𝑚𝑎𝑥
𝑘= -ℎ𝑚𝑎𝑥
Zatem:
{ℎ0 = 0,36ℎ𝑚𝑎𝑥
𝑘= -ℎ𝑚𝑎𝑥
Przykładowy sposób 1. prowadzenia dalszego rachunku
Na podstawie równania ruchu jednostajnego opóźnionego: ℎ(𝑡) = ℎ0 + v0𝑡-
𝑎𝑡2
2 ,
zauważamy, że współczynnik wiodący równania paraboli wynosi 𝑘= -
𝑎
{
ℎ0 = 0,36ℎ𝑚𝑎𝑥
-𝑔
2 = -ℎ𝑚𝑎𝑥 → {
ℎ0 = 0,36 ⋅𝑔
2
ℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑔
2
→ {ℎ0 = 1,7685 m ≈1,77 m
ℎ𝑚𝑎𝑥= 4,905 m
Przykładowy sposób 2. prowadzenia dalszego rachunku
Obliczymy ℎ𝑚𝑎𝑥 ze wzoru na wysokość w spadku swobodnym:
ℎ𝑚𝑎𝑥= 1
2 𝑔𝑡𝑊𝐵
2
→ ℎ𝑚𝑎𝑥= 1
2 ⋅9,81
m
s2 ⋅(1 s)2 = 4,905 m
Zatem:
ℎ0 = 0,36ℎ𝑚𝑎𝑥 = 0,36 ⋅4,905 m ≈1,77 m