{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2.3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.3. (0-4)\nSiła 𝐹⃗𝑛, z jaką nić działa na ciało ℬ podczas jego ruchu po okręgu, zmienia swoją wartość.\nNajwiększą wartość tej siły oznaczymy jako 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥, a najmniejszą - jako 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛.\nDany jest iloraz największej i najmniejszej wartości prędkości ciała ℬ podczas jego ruchu po\nokręgu:\nv𝑚𝑎𝑥\nv𝑚𝑖𝑛\n= √3\nOblicz iloraz\n𝑭𝒏 𝒎𝒂𝒙\n𝑭𝒏 𝒎𝒊𝒏\n. Zapisz obliczenia.\nEFAP-R0_100\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.3. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n1.3) (G) podaje przykłady sił i rozpoznaje je\nw różnych sytuacjach praktycznych;\n1.9) (G) posługuje się pojęciem siły ciężkości.\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona;\n1.13) składa i rozkłada siły działające wzdłuż\nprostych nierównoległych;\n1.14) […] opisuje wektory prędkości\ni przyspieszenia dośrodkowego.\n3.2) oblicza wartość energii kinetycznej\ni potencjalnej ciał w jednorodnym polu\ngrawitacyjnym;\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nZasady oceniania\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek SIŁY_MAX\nZapisanie związku między wartością siły wypadkowej (dośrodkowej) działającej na ciało ℬ\nw najniższym położeniu a maksymalną wartością siły reakcji nici i wartością siły grawitacji,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nWarunek SIŁY_MIN\nZapisanie związku między wartością siły wypadkowej (dośrodkowej) działającej na ciało ℬ\nw najwyższym położeniu a minimalną wartością siły reakcji nici i wartością siły grawitacji, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝐹𝑔\nUwaga! W przypadku rozwiązania zadania w układzie nieinercjalnym wszystkie warunki\ni wzory pozostają analogiczne z tą różnicą, że zamiast siły wypadkowej pełniącej rolę\ndośrodkowej rozważa się „siłę” odśrodkową (bezwładności) i zamiast II zasady dynamiki\nrozważa się równowagę sił (łącznie z „siłą” odśrodkową).\nWarunek SIŁY_MAX+WZORY\nSpełnienie warunku SIŁY_MAX oraz zastosowanie wzoru na wartość siły dośrodkowej\n(zastosowanie II zasady dynamiki) z uwzględnieniem prędkości maksymalnej 𝑣𝑚𝑎𝑥\ni zastosowanie wzoru na wartość siły grawitacji: np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWarunek SIŁY_MIN+WZORY\nSpełnienie warunku SIŁY_MIN oraz zastosowanie wzoru na wartość siły dośrodkowej\n(zastosowanie II zasady dynamiki) z uwzględnieniem prędkości minimalnej 𝑣𝑚𝑖𝑛\ni zastosowanie wzoru na wartość siły grawitacji: np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝑚𝑔\nWarunek ZZE\nZapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii mechanicznej w najniższym\ni najwyższym położeniu ciała ℬ oraz uwzględnienie w tym równaniu prędkości 𝑣𝑚𝑖𝑛, 𝑣𝑚𝑎𝑥\nwe wzorach na energie kinetyczne i uwzględnienie różnicy wysokości 2𝑙 we wzorze na\nenergię potencjalną, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙\nWarunek ZZE+ZALEŻNOŚĆ\nSpełnienie warunku ZZE oraz wykorzystanie związku\n𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛= √3, oraz wyprowadzenie\nzależności między 𝑣𝑚𝑎𝑥 albo 𝑣𝑚𝑖𝑛 a iloczynem 𝑔𝑙, np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛\n= √3) → (𝑣𝑚𝑖𝑛= √2𝑔𝑙 albo 𝑣𝑚𝑎𝑥= √6𝑔𝑙)\nSchemat punktowania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu sił reakcji nici oraz podanie prawidłowego\nwyniku liczbowego:\n𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 7\n3 pkt - spełnienie warunków:\nSIŁY_MAX+WZORY oraz SIŁY_MIN+WZORY oraz ZZE+ZALEŻNOŚĆ\n2 pkt - spełnienie warunków: SIŁY_MAX+WZORY oraz SIŁY_MIN+WZORY\nLUB\n- spełnienie warunku ZZE+ZALEŻNOŚĆ\nLUB\n- spełnienie warunków: SIŁY_MAX oraz SIŁY_MIN oraz ZZE\nLUB\n- spełnienie warunków: (SIŁY_MAX+WZORY albo SIŁY_MIN+WZORY) oraz ZZE\n1 pkt - spełnienie warunku SIŁY_MAX\nLUB\n- spełnienie warunku SIŁY_MIN\nLUB\n- spełnienie warunku ZZE\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZagadnienie rozwiążemy w inercjalnym układzie odniesienia. Siła reakcji nici działająca na\nciało ℬ podczas ruchu po okręgu ma największą wartość, gdy przechodzi ono przez\nnajniższe położenie (gdzie ma największą prędkość), a najmniejszą wartość - gdy\nprzechodzi ono przez najwyższe położenie (gdzie ma najmniejszą prędkość).\nSiła reakcji nici ma kierunek wzdłuż nici i zwrot do środka okręgu. Zatem siła wypadkowa\ndziałająca na ciało ℬ w górnym i dolnym położeniu ma charakter siły dośrodkowej i wiąże się\nz siłą reakcji nici i siłą grawitacji działającą na ℬ następująco:\n1) {𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\n𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝐹𝑔\nZastosujemy wzór na siłę dośrodkową (równoważnie: II zasadę dynamiki i wzór na\nprzyśpieszenie dośrodkowe):\n2)\n{\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔\n𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝑚𝑔\n→ 2a)\n{\n𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑙\n+ 𝑚𝑔\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n𝑙\n-𝑚𝑔\nOkreślimy związek między maksymalną a minimalną wartością prędkości na podstawie\nzasady zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna w najwyższym położeniu\njest równa energii mechanicznej w najniższym położeniu. Ponadto wykorzystamy związek\nmiędzy tymi prędkościami podany w treści zadania. Z tych zależności wyznaczymy prędkości\nmaksymalną i minimalną w funkcji 𝑔 oraz 𝑙:\n3) {\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙\n𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛\n= √3\n→\n3a) {\n𝑚(3𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n)\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙\n𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛\n= √3\n→ 3b) { 𝑣𝑚𝑖𝑛= √2𝑔𝑙\n𝑣𝑚𝑎𝑥= √6𝑔𝑙\nWartości prędkości otrzymane w pkt 3b) podstawimy do pkt 2a):\n4) {\n𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(6𝑔𝑙)\n𝑙\n+ 𝑚𝑔\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚(2𝑔𝑙)\n𝑙\n-𝑚𝑔\n→ 4a) {𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 7𝑚𝑔\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑔\nZapiszemy rozwiązanie:\n5) 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛\n= 7\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2.3. (0-4)
Siła 𝐹⃗𝑛, z jaką nić działa na ciało ℬ podczas jego ruchu po okręgu, zmienia swoją wartość.
Największą wartość tej siły oznaczymy jako 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥, a najmniejszą - jako 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛.
Dany jest iloraz największej i najmniejszej wartości prędkości ciała ℬ podczas jego ruchu po
okręgu:
v𝑚𝑎𝑥
v𝑚𝑖𝑛
= √3
Oblicz iloraz
𝑭𝒏 𝒎𝒂𝒙
𝑭𝒏 𝒎𝒊𝒏
. Zapisz obliczenia.
EFAP-R0_100
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 2.3. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów i rysunków.
Zdający:
1.3) (G) podaje przykłady sił i rozpoznaje je
w różnych sytuacjach praktycznych;
1.9) (G) posługuje się pojęciem siły ciężkości.
1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej
zasady dynamiki Newtona;
1.13) składa i rozkłada siły działające wzdłuż
prostych nierównoległych;
1.14) […] opisuje wektory prędkości
i przyspieszenia dośrodkowego.
3.2) oblicza wartość energii kinetycznej
i potencjalnej ciał w jednorodnym polu
grawitacyjnym;
3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii
mechanicznej do obliczania parametrów ruchu.
Zasady oceniania
Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych
warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.
Warunek SIŁY_MAX
Zapisanie związku między wartością siły wypadkowej (dośrodkowej) działającej na ciało ℬ
w najniższym położeniu a maksymalną wartością siły reakcji nici i wartością siły grawitacji,
np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
Warunek SIŁY_MIN
Zapisanie związku między wartością siły wypadkowej (dośrodkowej) działającej na ciało ℬ
w najwyższym położeniu a minimalną wartością siły reakcji nici i wartością siły grawitacji, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝐹𝑔
Uwaga! W przypadku rozwiązania zadania w układzie nieinercjalnym wszystkie warunki
i wzory pozostają analogiczne z tą różnicą, że zamiast siły wypadkowej pełniącej rolę
dośrodkowej rozważa się „siłę” odśrodkową (bezwładności) i zamiast II zasady dynamiki
rozważa się równowagę sił (łącznie z „siłą” odśrodkową).
Warunek SIŁY_MAX+WZORY
Spełnienie warunku SIŁY_MAX oraz zastosowanie wzoru na wartość siły dośrodkowej
(zastosowanie II zasady dynamiki) z uwzględnieniem prędkości maksymalnej 𝑣𝑚𝑎𝑥
i zastosowanie wzoru na wartość siły grawitacji: np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
𝑙
= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Warunek SIŁY_MIN+WZORY
Spełnienie warunku SIŁY_MIN oraz zastosowanie wzoru na wartość siły dośrodkowej
(zastosowanie II zasady dynamiki) z uwzględnieniem prędkości minimalnej 𝑣𝑚𝑖𝑛
i zastosowanie wzoru na wartość siły grawitacji: np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
𝑙
= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝑚𝑔
Warunek ZZE
Zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii mechanicznej w najniższym
i najwyższym położeniu ciała ℬ oraz uwzględnienie w tym równaniu prędkości 𝑣𝑚𝑖𝑛, 𝑣𝑚𝑎𝑥
we wzorach na energie kinetyczne i uwzględnienie różnicy wysokości 2𝑙 we wzorze na
energię potencjalną, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
2
= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
2

\n\n

Warunek ZZE+ZALEŻNOŚĆ
Spełnienie warunku ZZE oraz wykorzystanie związku
𝑣𝑚𝑎𝑥
𝑣𝑚𝑖𝑛= √3, oraz wyprowadzenie
zależności między 𝑣𝑚𝑎𝑥 albo 𝑣𝑚𝑖𝑛 a iloczynem 𝑔𝑙, np. zapisy równoważne poniższym:
(𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
2
= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
2

\n\n

𝑣𝑚𝑖𝑛
= √3) → (𝑣𝑚𝑖𝑛= √2𝑔𝑙 albo 𝑣𝑚𝑎𝑥= √6𝑔𝑙)
Schemat punktowania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu sił reakcji nici oraz podanie prawidłowego
wyniku liczbowego:
𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 7
3 pkt - spełnienie warunków:
SIŁY_MAX+WZORY oraz SIŁY_MIN+WZORY oraz ZZE+ZALEŻNOŚĆ
2 pkt - spełnienie warunków: SIŁY_MAX+WZORY oraz SIŁY_MIN+WZORY
LUB

\n\n

LUB

\n\n

LUB

\n\n

1 pkt - spełnienie warunku SIŁY_MAX
LUB

\n\n

LUB

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zagadnienie rozwiążemy w inercjalnym układzie odniesienia. Siła reakcji nici działająca na
ciało ℬ podczas ruchu po okręgu ma największą wartość, gdy przechodzi ono przez
najniższe położenie (gdzie ma największą prędkość), a najmniejszą wartość - gdy
przechodzi ono przez najwyższe położenie (gdzie ma najmniejszą prędkość).
Siła reakcji nici ma kierunek wzdłuż nici i zwrot do środka okręgu. Zatem siła wypadkowa
działająca na ciało ℬ w górnym i dolnym położeniu ma charakter siły dośrodkowej i wiąże się
z siłą reakcji nici i siłą grawitacji działającą na ℬ następująco:

\n
  1. {𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
\n

𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝐹𝑔
Zastosujemy wzór na siłę dośrodkową (równoważnie: II zasadę dynamiki i wzór na
przyśpieszenie dośrodkowe):
2)
{
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
𝑙
= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔
𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
𝑙
= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝑚𝑔
→ 2a)
{
𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
𝑙

\n\n

𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
𝑙
-𝑚𝑔
Określimy związek między maksymalną a minimalną wartością prędkości na podstawie
zasady zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna w najwyższym położeniu
jest równa energii mechanicznej w najniższym położeniu. Ponadto wykorzystamy związek
między tymi prędkościami podany w treści zadania. Z tych zależności wyznaczymy prędkości
maksymalną i minimalną w funkcji 𝑔 oraz 𝑙:

\n
  1. {
\n

𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
2
= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
2

\n\n

𝑣𝑚𝑎𝑥
𝑣𝑚𝑖𝑛
= √3
→
3a) {
𝑚(3𝑣𝑚𝑖𝑛
2
)
2
= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
2

\n\n

𝑣𝑚𝑎𝑥
𝑣𝑚𝑖𝑛
= √3
→ 3b) { 𝑣𝑚𝑖𝑛= √2𝑔𝑙
𝑣𝑚𝑎𝑥= √6𝑔𝑙
Wartości prędkości otrzymane w pkt 3b) podstawimy do pkt 2a):

\n
  1. {
\n

𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(6𝑔𝑙)
𝑙

\n\n

𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚(2𝑔𝑙)
𝑙
-𝑚𝑔
→ 4a) {𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 7𝑚𝑔
𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑔
Zapiszemy rozwiązanie:

\n
  1. 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥
\n

𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛
= 7
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}