{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6.3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.3. (0-4)\nOblicz 𝑸𝑨𝑩 - ciepło pobrane przez gaz w opisanej przemianie 𝑨→𝑩.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka: Praca siły parcia w przemianie 𝐴→𝐵 jest równa co do wartości bezwzględnej\npolu pod wykresem zależności 𝑝(𝑉) dla przemiany 𝐴→𝐵.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.3. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n5.1) […] stosuje równanie gazu doskonałego\n(Clapeyrona) do wyznaczenia parametrów\ngazu;\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego;\n5.4) opisuje związek pomiędzy temperaturą\nw skali Kelwina a średnią energią kinetyczną\ncząsteczek;\n5.5) stosuje pierwszą zasadę termodynamiki,\nodróżnia przekaz energii w formie pracy od\nprzekazu energii w formie ciepła;\n5.7) posługuje się pojęciem ciepła molowego\nw przemianach gazowych;\n5.8) analizuje pierwszą zasadę termodynamiki\njako zasadę zachowania energii.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek IZT\nZapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany 𝐴→𝐵 z poprawnym uwzględnieniem\nkonwencji znaków (stosowanej konsekwentnie), np. zapisy równoważne poniższym:\nΔ𝑈𝐴𝐵= |𝑄𝐴𝐵| -|𝑊𝐴𝐵|\nWarunek ΔU1\nZapisanie związku między zmianą energii wewnętrznej w przemianie 𝐴→𝐵 a przyrostem\ntemperatury, ciepłem molowym przy stałej objętości i liczbą moli, np.:\nΔ𝑈𝐴𝐵= 𝑛3\n2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵 (lub zapisy równoważne)\nWarunek ΔU2\nSkorzystanie ze wzoru na energię wewnętrzną wyrażoną przez objętość i ciśnienie oraz\nzapisanie prawidłowej postaci wzoru na przyrost energii wewnętrznej w przemianie 𝐴→𝐵\n(wyrażonej przez objętości i ciśnienia w stanach 𝐴 i 𝐵), np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑈𝐴= 3\n2 𝑝𝐴𝑉𝐴 oraz 𝑈𝐵= 3\n2 𝑝𝐵𝑉𝐵) → Δ𝑈𝐴𝐵= 3\n2 (𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴 )\nWarunek W\nPoprawna metoda obliczenia pracy siły parcia w przemianie 𝐴→𝐵 oraz podanie\nprawidłowego wzoru na tę pracę (wyrażoną przez objętości i ciśnienia w stanach 𝐴 i 𝐵), np.:\n|𝑊𝐴𝐵| = Pole pod 𝑝(𝑉) = 1\n2 (𝑝𝐴+ 𝑝𝐵)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) (lub zapisy równoważne)\nWarunek ΔT\nPoprawna metoda wyznaczenia przyrostu temperatury w przemianie 𝐴→𝐵, tzn.\nwykorzystanie równań Clapeyrona dla stanów 𝐴 i 𝐵, oraz zapisanie prawidłowej postaci\nprzyrostu temperatury (albo przyrostu temperatury z czynnikiem 𝑛𝑅), np. zapisy równoważne\nponiższym:\n(𝑝𝐴𝑉𝐴= 𝑛𝑅𝑇𝐴 oraz 𝑝𝐵𝑉𝐵= 𝑛𝑅𝑇𝐵) → 𝑛𝑅Δ𝑇𝐴𝐵= 𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴\nSchemat punktowania (dla rozwiązania sposobem 1.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia ciepła pobranego w przemianie 𝐴→𝐵 oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑄𝐴𝐵= 2 100 J\n3 pkt - spełnienie warunków: IZT oraz W oraz ΔU1 oraz ΔT\nLUB\n- spełnienie warunków: IZT oraz W oraz ΔU2\n2 pkt - spełnienie warunków: IZT oraz ΔU1\nLUB\n- spełnienie warunków: IZT oraz W\nLUB\n- spełnienie warunków: ΔU1 oraz W\nLUB\n- spełnienie warunków: (ΔU1 oraz ΔT) albo ΔU2\n1 pkt - spełnienie warunku IZT\nLUB\n- spełnienie warunku ΔU1\nLUB\n- spełnienie warunku W\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobami 2A i 2B i podobnymi)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia ciepła pobranego w przemianie 𝐴→𝐵 oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑄𝐴𝐵= 2 100 J\n3 pkt - założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się\nz przemian izochorycznej i izobarycznej (jak w obu warunkach za 1 pkt) oraz\npoprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla cyklu oraz poprawna\nmetoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 i ciepła 𝑄𝐶𝐴 oraz poprawna metoda obliczenia pracy\ncałkowitej w cyklu\nLUB\n- zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi\nzwiązek Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 oraz poprawna metoda obliczenia Δ𝑈𝐴𝑋 i Δ𝑈𝑋𝐵 oraz\nzapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany 𝐴→𝐵 z poprawnym\nuwzględnieniem konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie).\n2 pkt - założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się\nz przemian izochorycznej i izobarycznej (jak w obu warunkach za 1 pkt) oraz\npoprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla odpowiedniego\ncyklu, oraz poprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla odpowiedniego\ncyklu oraz poprawna metoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu\nALBO\npoprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴 oraz poprawna\nmetoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu\nALBO\npoprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 oraz ciepła 𝑄𝐶𝐴\nLUB\n- zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi\nzwiązek Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 oraz poprawna metoda obliczenia Δ𝑈𝐴𝑋 albo Δ𝑈𝑋𝐵\nLUB\n- zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi\nzwiązek Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 oraz zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany\n𝐴→𝐵 z poprawnym uwzględnieniem konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie).\n1 pkt - założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się\nz przemiany izochorycznej 𝐵→𝐶 i przemiany izobarycznej 𝐶→𝐴 oraz\npoprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla cyklu, np.:\n0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| -|𝑊𝐴𝐵𝐶|\nALBO\npoprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴, np.:\n|𝑄𝐵𝐶| = 3\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶 albo |𝑄𝐶𝐴| = 5\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴\nALBO\npoprawna metoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu, np.:\n|𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴)\nLUB\n- założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się\nz przemiany izobarycznej 𝐵→𝐶 i przemiany izochorycznej 𝐶→𝐴 oraz\npoprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla cyklu, np.:\n0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| + |𝑊𝐴𝐵𝐶|\nALBO\npoprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴, np.:\n|𝑄𝐵𝐶| = 5\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶 albo |𝑄𝐶𝐴| = 3\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴\nALBO\npoprawna metoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu, np.:\n|𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴)\nLUB\n- zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi\nzwiązek: Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (optymalny, z wykorzystaniem IZT i bezpośrednim obliczeniem Δ𝑈𝐴𝐵)\nZapiszemy I zasadę termodynamiki dla przemiany termodynamicznej 𝐴→𝐵. Zastosujemy\nkonwencję znaków, zgodnie z którą, gdy gaz pobiera energię w formie pracy lub ciepła, to\nwielkości te oznaczamy jako dodatnie, a gdy traci energię w postaci pracy lub ciepła, to\nwielkości te oznaczamy jako ujemne. Gaz się rozpręża, więc traci energię w formie pracy\ni jednocześnie pobiera energię w formie ciepła. Zatem:\n1) Δ𝑈𝐴𝐵= |𝑄𝐴𝐵| -|𝑊𝐴𝐵| → 1a) |𝑄𝐴𝐵| = Δ𝑈𝐴𝐵+ |𝑊𝐴𝐵|\nDo wyznaczenia zmiany energii wewnętrznej wykorzystamy związek między energią\nwewnętrzną a temperaturą:\n2) Δ𝑈𝐴𝐵= 𝑛𝐶𝑉Δ𝑇𝐴𝐵 → 2a) Δ𝑈𝐴𝐵= 𝑛3\n2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵\nPrzyrost temperatury określimy na podstawie równań Clapeyrona dla stanów 𝐴 i 𝐵:\n3) 𝑝𝐴𝑉𝐴= 𝑛𝑅𝑇𝐴 oraz 𝑝𝐵𝑉𝐵= 𝑛𝑅𝑇𝐵 →\n4) 𝑛𝑅Δ𝑇𝐴𝐵= 𝑛𝑅𝑇𝐵-𝑛𝑅𝑇𝐴= 𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴\nRównanie 4) wykorzystamy w równaniu 2a):\n5) Δ𝑈𝐴𝐵= 3\n2 (𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴) = 1 575 J\nDo wyznaczenia pracy w przemianie 𝐴→𝐵 zastosujemy następujący lemat: praca\nw przemianie termodynamicznej jest równa polu pod wykresem zależności 𝑝(𝑉) dla danej\nprzemiany. Zatem:\n6) |𝑊𝐴𝐵| = Pole pod 𝑝(𝑉) = 1\n2 (𝑝𝐴+ 𝑝𝐵)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 525 J\nWzory 5) oraz 6) wykorzystamy we wzorze 1a):\n7) |𝑄𝐴𝐵| = 3\n2 (𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴) + 1\n2 (𝑝𝐴+ 𝑝𝐵)(𝑉𝐵-𝑉𝐴)\nDo powyższego wzoru podstawimy dane liczbowe i wykonamy obliczenia:\n8a) |𝑄𝐴𝐵| = (3\n2 ⋅(5 ⋅25 -2 ⋅10) + 1\n2 ⋅(2 + 5)(25 -10)) ⋅101 N ⋅m\n8b) |𝑄𝐴𝐵| = (157,5 + 52,5) ⋅101 J = 2 100 J\nSposób 2A.\nRozważmy taki cykl przemian 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, w którym:\nprzemiana 𝐴→𝐵 to przemiana opisana w zadaniu\nprzemiana 𝐵→𝐶 jest izochoryczna, gdzie 𝑉𝐶= 𝑉𝐵= 25 ⋅10-3 m3 oraz 𝑝𝐴≤𝑝≤𝑝𝐵\nprzemiana 𝐶→𝐴 jest izobaryczna, gdzie 𝑝𝐶= 𝑝𝐴= 2 ⋅104 Pa oraz 𝑉𝐴≤𝑉≤𝑉𝐵.\nW przemianie 𝐴→𝐵 gaz pobiera ciepło 𝑄𝐴𝐵 z grzejnicy, w przemianie 𝐵→𝐶 gaz oddaje\nciepło 𝑄𝐵𝐶 do chłodnicy, w przemianie 𝐶→𝐴 gaz oddaje ciepło 𝑄𝐶𝐴 do chłodnicy. Pracę\ncałkowitą wykonaną przez siłę parcia w całym cyklu oznaczymy jako 𝑊𝐴𝐵𝐶. Zmiana energii\nwewnętrznej w całym cyklu wynosi zero, zatem na mocy I zasady termodynamiki mamy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1) 0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| -|𝑊𝐴𝐵𝐶| zatem\n2) |𝑄𝐴𝐵| = |𝑊𝐴𝐵𝐶| + |𝑄𝐵𝐶| + |𝑄𝐶𝐴|\nObliczymy pracę jako pole obszaru ograniczonego figurą wykresu:\n3) |𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 1\n2 ⋅(5 -2) ⋅(25 -10) 101 J = 45\n2 ⋅101 J\nObliczymy 𝑄𝐵𝐶, wykorzystamy przy tym równanie Clapeyrona:\n4) |𝑄𝐵𝐶| = 3\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶= 3\n2 Δ𝑝𝐵𝐶𝑉𝐶= 3\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)𝑉𝐵= 3\n2 ⋅(5 -2) ⋅25 ⋅101 J = 225\n2 ⋅101 J\nPodobnie obliczymy 𝑄𝐶𝐴:\n5) |𝑄𝐶𝐴| = 5\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴= 5\n2 𝑝𝐶Δ𝑉𝐶𝐴= 5\n2 𝑝𝐴(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 5\n2 ⋅2 ⋅(25 -10) ⋅101 J = 75 ⋅101 J\nWyniki z równań 3) i 4) i 5) podstawiamy do równania 2):\n6) |𝑄𝐴𝐵| = 45\n2 ⋅101 J + 225\n2 ⋅101 J + 75 ⋅101 J = 210 ⋅101 J = 2 100 J\nSposób 2B.\nRozważmy taki cykl przemian 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, w którym:\nprzemiana 𝐴→𝐵 to przemiana opisana w zadaniu\nprzemiana 𝐵→𝐶 jest izobaryczna, gdzie 𝑝𝐶= 𝑝𝐵= 5 ⋅104 Pa oraz 𝑉𝐴≤𝑉≤𝑉𝐵\nprzemiana 𝐶→𝐴 jest izochoryczna, gdzie 𝑉𝐶= 𝑉𝐴= 10 ⋅10-3 m3 oraz 𝑝𝐴≤𝑝≤𝑝𝐵.\nW przemianie 𝐴→𝐵 gaz pobiera ciepło 𝑄𝐴𝐵 z grzejnicy, w przemianie 𝐵→𝐶 gaz oddaje\nciepło 𝑄𝐵𝐶 do chłodnicy, w przemianie 𝐶→𝐴 gaz oddaje ciepło 𝑄𝐶𝐴 do chłodnicy. Kierunek\ncyklu odpowiada pompie cieplnej. Pracę całkowitą przeciwko sile parcia w całym cyklu\noznaczymy jako 𝑊𝐴𝐵𝐶. Zmiana energii wewnętrznej w całym cyklu wynosi zero, zatem na\nmocy I zasady termodynamiki mamy:\n1) 0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| + |𝑊𝐴𝐵𝐶|\nzatem:\n2) |𝑄𝐴𝐵| = |𝑄𝐵𝐶| + |𝑄𝐶𝐴| -|𝑊𝐴𝐵𝐶|\nObliczymy pracę jako pole obszaru ograniczonego figurą wykresu:\n3) |𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 1\n2 ⋅(5 -2) ⋅(25 -10) 101 J = 45\n2 ⋅101 J\nObliczymy 𝑄𝐵𝐶, wykorzystamy przy tym równanie Clapeyrona:\n4) |𝑄𝐵𝐶| = 5\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶= 5\n2 𝑝𝐶Δ𝑉𝐵𝐶= 5\n2 𝑝𝐵(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 5\n2 ⋅5 ⋅(25 -10) ⋅101 J = 375\n2 ⋅101 J\nPodobnie obliczymy 𝑄𝐶𝐴:\n5) |𝑄𝐶𝐴| = 3\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴= 3\n2 Δ𝑝𝐶𝐴𝑉𝐴= 3\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)𝑉𝐴= 3\n2 ⋅(5 -2) ⋅10 ⋅101 J = 45 ⋅101 J\nWyniki z równań 3) i 4) i 5) podstawiamy do równania 2):\n6) |𝑄𝐴𝐵| = 375\n2 ⋅101 J + 45 ⋅101 J -45\n2 ⋅101 J = 210 ⋅101 J = 2 100 J\nInne, podobne sposoby rozwiązania\nZadanie można rozwiązać sposobem, w którym zmianę energii wewnętrznej Δ𝑈𝐴𝐵 oblicza się\njako sumę zmian energii wewnętrznych Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 w przemianach 𝐴→𝑋 (izobarycznej lub\nizochorycznej) oraz 𝑋→𝐵 (izochorycznej lub izobarycznej). Ten sposób niepotrzebnie\nwydłuża obliczenie zmiany energii wewnętrznej Δ𝑈𝐴𝐵 (porównaj ze sposobem 1.)","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6.3. (0-4)<br>Oblicz 𝑸𝑨𝑩 - ciepło pobrane przez gaz w opisanej przemianie 𝑨→𝑩.<br>Zapisz obliczenia.<br>Wskazówka: Praca siły parcia w przemianie 𝐴→𝐵 jest równa co do wartości bezwzględnej<br>polu pod wykresem zależności 𝑝(𝑉) dla przemiany 𝐴→𝐵.<br>EFAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6.3. (0-4)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i przetwarzanie<br>informacji zapisanych w postaci tekstu,<br>tabel, wykresów, schematów i rysunków.<br>IV. Budowa prostych modeli fizycznych<br>i matematycznych do opisu zjawisk.<br>Zdający:<br>5.1) […] stosuje równanie gazu doskonałego<br>(Clapeyrona) do wyznaczenia parametrów<br>gazu;<br>5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany<br>gazu doskonałego;<br>5.4) opisuje związek pomiędzy temperaturą<br>w skali Kelwina a średnią energią kinetyczną<br>cząsteczek;<br>5.5) stosuje pierwszą zasadę termodynamiki,<br>odróżnia przekaz energii w formie pracy od<br>przekazu energii w formie ciepła;<br>5.7) posługuje się pojęciem ciepła molowego<br>w przemianach gazowych;<br>5.8) analizuje pierwszą zasadę termodynamiki<br>jako zasadę zachowania energii.<br>Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)<br>Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych<br>warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.<br>Warunek IZT<br>Zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany 𝐴→𝐵 z poprawnym uwzględnieniem<br>konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie), np. zapisy równoważne poniższym:<br>Δ𝑈𝐴𝐵= |𝑄𝐴𝐵| -|𝑊𝐴𝐵|<br>Warunek ΔU1<br>Zapisanie związku między zmianą energii wewnętrznej w przemianie 𝐴→𝐵 a przyrostem<br>temperatury, ciepłem molowym przy stałej objętości i liczbą moli, np.:<br>Δ𝑈𝐴𝐵= 𝑛3<br>2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵 (lub zapisy równoważne)<br>Warunek ΔU2<br>Skorzystanie ze wzoru na energię wewnętrzną wyrażoną przez objętość i ciśnienie oraz<br>zapisanie prawidłowej postaci wzoru na przyrost energii wewnętrznej w przemianie 𝐴→𝐵<br>(wyrażonej przez objętości i ciśnienia w stanach 𝐴 i 𝐵), np. zapisy równoważne poniższym:<br>(𝑈𝐴= 3<br>2 𝑝𝐴𝑉𝐴 oraz 𝑈𝐵= 3<br>2 𝑝𝐵𝑉𝐵) → Δ𝑈𝐴𝐵= 3<br>2 (𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴 )<br>Warunek W<br>Poprawna metoda obliczenia pracy siły parcia w przemianie 𝐴→𝐵 oraz podanie<br>prawidłowego wzoru na tę pracę (wyrażoną przez objętości i ciśnienia w stanach 𝐴 i 𝐵), np.:<br>|𝑊𝐴𝐵| = Pole pod 𝑝(𝑉) = 1<br>2 (𝑝𝐴+ 𝑝𝐵)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) (lub zapisy równoważne)<br>Warunek ΔT<br>Poprawna metoda wyznaczenia przyrostu temperatury w przemianie 𝐴→𝐵, tzn.<br>wykorzystanie równań Clapeyrona dla stanów 𝐴 i 𝐵, oraz zapisanie prawidłowej postaci<br>przyrostu temperatury (albo przyrostu temperatury z czynnikiem 𝑛𝑅), np. zapisy równoważne<br>poniższym:<br>(𝑝𝐴𝑉𝐴= 𝑛𝑅𝑇𝐴 oraz 𝑝𝐵𝑉𝐵= 𝑛𝑅𝑇𝐵) → 𝑛𝑅Δ𝑇𝐴𝐵= 𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴<br>Schemat punktowania (dla rozwiązania sposobem 1.)<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia ciepła pobranego w przemianie 𝐴→𝐵 oraz podanie<br>prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑄𝐴𝐵= 2 100 J<br>3 pkt - spełnienie warunków: IZT oraz W oraz ΔU1 oraz ΔT<br>LUB</p>\n<ul><li>spełnienie warunków: IZT oraz W oraz ΔU2</li></ul>\n<p>2 pkt - spełnienie warunków: IZT oraz ΔU1<br>LUB</p>\n<ul><li>spełnienie warunków: IZT oraz W</li></ul>\n<p>LUB</p>\n<ul><li>spełnienie warunków: ΔU1 oraz W</li></ul>\n<p>LUB</p>\n<ul><li>spełnienie warunków: (ΔU1 oraz ΔT) albo ΔU2</li></ul>\n<p>1 pkt - spełnienie warunku IZT<br>LUB</p>\n<ul><li>spełnienie warunku ΔU1</li></ul>\n<p>LUB</p>\n<ul><li>spełnienie warunku W</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobami 2A i 2B i podobnymi)<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia ciepła pobranego w przemianie 𝐴→𝐵 oraz podanie<br>prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑄𝐴𝐵= 2 100 J<br>3 pkt - założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się<br>z przemian izochorycznej i izobarycznej (jak w obu warunkach za 1 pkt) oraz<br>poprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla cyklu oraz poprawna<br>metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 i ciepła 𝑄𝐶𝐴 oraz poprawna metoda obliczenia pracy<br>całkowitej w cyklu<br>LUB</p>\n<ul><li>zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi</li></ul>\n<p>związek Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 oraz poprawna metoda obliczenia Δ𝑈𝐴𝑋 i Δ𝑈𝑋𝐵 oraz<br>zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany 𝐴→𝐵 z poprawnym<br>uwzględnieniem konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie).<br>2 pkt - założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się<br>z przemian izochorycznej i izobarycznej (jak w obu warunkach za 1 pkt) oraz<br>poprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla odpowiedniego<br>cyklu, oraz poprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>poprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla odpowiedniego<br>cyklu oraz poprawna metoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu<br>ALBO<br>poprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴 oraz poprawna<br>metoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu<br>ALBO<br>poprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 oraz ciepła 𝑄𝐶𝐴<br>LUB</p>\n<ul><li>zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi</li></ul>\n<p>związek Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 oraz poprawna metoda obliczenia Δ𝑈𝐴𝑋 albo Δ𝑈𝑋𝐵<br>LUB</p>\n<ul><li>zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi</li></ul>\n<p>związek Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 oraz zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany<br>𝐴→𝐵 z poprawnym uwzględnieniem konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie).<br>1 pkt - założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się<br>z przemiany izochorycznej 𝐵→𝐶 i przemiany izobarycznej 𝐶→𝐴 oraz<br>poprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla cyklu, np.:<br>0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| -|𝑊𝐴𝐵𝐶|<br>ALBO<br>poprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴, np.:<br>|𝑄𝐵𝐶| = 3<br>2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶 albo |𝑄𝐶𝐴| = 5<br>2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴<br>ALBO<br>poprawna metoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu, np.:<br>|𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1<br>2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴)<br>LUB</p>\n<ul><li>założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się</li></ul>\n<p>z przemiany izobarycznej 𝐵→𝐶 i przemiany izochorycznej 𝐶→𝐴 oraz<br>poprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla cyklu, np.:<br>0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| + |𝑊𝐴𝐵𝐶|<br>ALBO<br>poprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴, np.:<br>|𝑄𝐵𝐶| = 5<br>2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶 albo |𝑄𝐶𝐴| = 3<br>2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴<br>ALBO<br>poprawna metoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu, np.:<br>|𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1<br>2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴)<br>LUB</p>\n<ul><li>zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi</li></ul>\n<p>związek: Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1. (optymalny, z wykorzystaniem IZT i bezpośrednim obliczeniem Δ𝑈𝐴𝐵)<br>Zapiszemy I zasadę termodynamiki dla przemiany termodynamicznej 𝐴→𝐵. Zastosujemy<br>konwencję znaków, zgodnie z którą, gdy gaz pobiera energię w formie pracy lub ciepła, to<br>wielkości te oznaczamy jako dodatnie, a gdy traci energię w postaci pracy lub ciepła, to<br>wielkości te oznaczamy jako ujemne. Gaz się rozpręża, więc traci energię w formie pracy<br>i jednocześnie pobiera energię w formie ciepła. Zatem:</p>\n<ol><li>Δ𝑈𝐴𝐵= |𝑄𝐴𝐵| -|𝑊𝐴𝐵| → 1a) |𝑄𝐴𝐵| = Δ𝑈𝐴𝐵+ |𝑊𝐴𝐵|</li></ol>\n<p>Do wyznaczenia zmiany energii wewnętrznej wykorzystamy związek między energią<br>wewnętrzną a temperaturą:</p>\n<ol><li>Δ𝑈𝐴𝐵= 𝑛𝐶𝑉Δ𝑇𝐴𝐵 → 2a) Δ𝑈𝐴𝐵= 𝑛3</li></ol>\n<p>2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵<br>Przyrost temperatury określimy na podstawie równań Clapeyrona dla stanów 𝐴 i 𝐵:</p>\n<ol><li>𝑝𝐴𝑉𝐴= 𝑛𝑅𝑇𝐴 oraz 𝑝𝐵𝑉𝐵= 𝑛𝑅𝑇𝐵 →</li><li>𝑛𝑅Δ𝑇𝐴𝐵= 𝑛𝑅𝑇𝐵-𝑛𝑅𝑇𝐴= 𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴</li></ol>\n<p>Równanie 4) wykorzystamy w równaniu 2a):</p>\n<ol><li>Δ𝑈𝐴𝐵= 3</li></ol>\n<p>2 (𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴) = 1 575 J<br>Do wyznaczenia pracy w przemianie 𝐴→𝐵 zastosujemy następujący lemat: praca<br>w przemianie termodynamicznej jest równa polu pod wykresem zależności 𝑝(𝑉) dla danej<br>przemiany. Zatem:</p>\n<ol><li>|𝑊𝐴𝐵| = Pole pod 𝑝(𝑉) = 1</li></ol>\n<p>2 (𝑝𝐴+ 𝑝𝐵)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 525 J<br>Wzory 5) oraz 6) wykorzystamy we wzorze 1a):</p>\n<ol><li>|𝑄𝐴𝐵| = 3</li></ol>\n<p>2 (𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴) + 1<br>2 (𝑝𝐴+ 𝑝𝐵)(𝑉𝐵-𝑉𝐴)<br>Do powyższego wzoru podstawimy dane liczbowe i wykonamy obliczenia:<br>8a) |𝑄𝐴𝐵| = (3<br>2 ⋅(5 ⋅25 -2 ⋅10) + 1<br>2 ⋅(2 + 5)(25 -10)) ⋅101 N ⋅m<br>8b) |𝑄𝐴𝐵| = (157,5 + 52,5) ⋅101 J = 2 100 J<br>Sposób 2A.<br>Rozważmy taki cykl przemian 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, w którym:<br>przemiana 𝐴→𝐵 to przemiana opisana w zadaniu<br>przemiana 𝐵→𝐶 jest izochoryczna, gdzie 𝑉𝐶= 𝑉𝐵= 25 ⋅10-3 m3 oraz 𝑝𝐴≤𝑝≤𝑝𝐵<br>przemiana 𝐶→𝐴 jest izobaryczna, gdzie 𝑝𝐶= 𝑝𝐴= 2 ⋅104 Pa oraz 𝑉𝐴≤𝑉≤𝑉𝐵.<br>W przemianie 𝐴→𝐵 gaz pobiera ciepło 𝑄𝐴𝐵 z grzejnicy, w przemianie 𝐵→𝐶 gaz oddaje<br>ciepło 𝑄𝐵𝐶 do chłodnicy, w przemianie 𝐶→𝐴 gaz oddaje ciepło 𝑄𝐶𝐴 do chłodnicy. Pracę<br>całkowitą wykonaną przez siłę parcia w całym cyklu oznaczymy jako 𝑊𝐴𝐵𝐶. Zmiana energii<br>wewnętrznej w całym cyklu wynosi zero, zatem na mocy I zasady termodynamiki mamy:<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| -|𝑊𝐴𝐵𝐶| zatem</li><li>|𝑄𝐴𝐵| = |𝑊𝐴𝐵𝐶| + |𝑄𝐵𝐶| + |𝑄𝐶𝐴|</li></ol>\n<p>Obliczymy pracę jako pole obszaru ograniczonego figurą wykresu:</p>\n<ol><li>|𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1</li></ol>\n<p>2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 1<br>2 ⋅(5 -2) ⋅(25 -10) 101 J = 45<br>2 ⋅101 J<br>Obliczymy 𝑄𝐵𝐶, wykorzystamy przy tym równanie Clapeyrona:</p>\n<ol><li>|𝑄𝐵𝐶| = 3</li></ol>\n<p>2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶= 3<br>2 Δ𝑝𝐵𝐶𝑉𝐶= 3<br>2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)𝑉𝐵= 3<br>2 ⋅(5 -2) ⋅25 ⋅101 J = 225<br>2 ⋅101 J<br>Podobnie obliczymy 𝑄𝐶𝐴:</p>\n<ol><li>|𝑄𝐶𝐴| = 5</li></ol>\n<p>2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴= 5<br>2 𝑝𝐶Δ𝑉𝐶𝐴= 5<br>2 𝑝𝐴(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 5<br>2 ⋅2 ⋅(25 -10) ⋅101 J = 75 ⋅101 J<br>Wyniki z równań 3) i 4) i 5) podstawiamy do równania 2):</p>\n<ol><li>|𝑄𝐴𝐵| = 45</li></ol>\n<p>2 ⋅101 J + 225<br>2 ⋅101 J + 75 ⋅101 J = 210 ⋅101 J = 2 100 J<br>Sposób 2B.<br>Rozważmy taki cykl przemian 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, w którym:<br>przemiana 𝐴→𝐵 to przemiana opisana w zadaniu<br>przemiana 𝐵→𝐶 jest izobaryczna, gdzie 𝑝𝐶= 𝑝𝐵= 5 ⋅104 Pa oraz 𝑉𝐴≤𝑉≤𝑉𝐵<br>przemiana 𝐶→𝐴 jest izochoryczna, gdzie 𝑉𝐶= 𝑉𝐴= 10 ⋅10-3 m3 oraz 𝑝𝐴≤𝑝≤𝑝𝐵.<br>W przemianie 𝐴→𝐵 gaz pobiera ciepło 𝑄𝐴𝐵 z grzejnicy, w przemianie 𝐵→𝐶 gaz oddaje<br>ciepło 𝑄𝐵𝐶 do chłodnicy, w przemianie 𝐶→𝐴 gaz oddaje ciepło 𝑄𝐶𝐴 do chłodnicy. Kierunek<br>cyklu odpowiada pompie cieplnej. Pracę całkowitą przeciwko sile parcia w całym cyklu<br>oznaczymy jako 𝑊𝐴𝐵𝐶. Zmiana energii wewnętrznej w całym cyklu wynosi zero, zatem na<br>mocy I zasady termodynamiki mamy:</p>\n<ol><li>0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| + |𝑊𝐴𝐵𝐶|</li></ol>\n<p>zatem:</p>\n<ol><li>|𝑄𝐴𝐵| = |𝑄𝐵𝐶| + |𝑄𝐶𝐴| -|𝑊𝐴𝐵𝐶|</li></ol>\n<p>Obliczymy pracę jako pole obszaru ograniczonego figurą wykresu:</p>\n<ol><li>|𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1</li></ol>\n<p>2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 1<br>2 ⋅(5 -2) ⋅(25 -10) 101 J = 45<br>2 ⋅101 J<br>Obliczymy 𝑄𝐵𝐶, wykorzystamy przy tym równanie Clapeyrona:</p>\n<ol><li>|𝑄𝐵𝐶| = 5</li></ol>\n<p>2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶= 5<br>2 𝑝𝐶Δ𝑉𝐵𝐶= 5<br>2 𝑝𝐵(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 5<br>2 ⋅5 ⋅(25 -10) ⋅101 J = 375<br>2 ⋅101 J<br>Podobnie obliczymy 𝑄𝐶𝐴:</p>\n<ol><li>|𝑄𝐶𝐴| = 3</li></ol>\n<p>2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴= 3<br>2 Δ𝑝𝐶𝐴𝑉𝐴= 3<br>2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)𝑉𝐴= 3<br>2 ⋅(5 -2) ⋅10 ⋅101 J = 45 ⋅101 J<br>Wyniki z równań 3) i 4) i 5) podstawiamy do równania 2):</p>\n<ol><li>|𝑄𝐴𝐵| = 375</li></ol>\n<p>2 ⋅101 J + 45 ⋅101 J -45<br>2 ⋅101 J = 210 ⋅101 J = 2 100 J<br>Inne, podobne sposoby rozwiązania<br>Zadanie można rozwiązać sposobem, w którym zmianę energii wewnętrznej Δ𝑈𝐴𝐵 oblicza się<br>jako sumę zmian energii wewnętrznych Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 w przemianach 𝐴→𝑋 (izobarycznej lub<br>izochorycznej) oraz 𝑋→𝐵 (izochorycznej lub izobarycznej). Ten sposób niepotrzebnie<br>wydłuża obliczenie zmiany energii wewnętrznej Δ𝑈𝐴𝐵 (porównaj ze sposobem 1.)</p>","solutions":[]}