Zadanie 11. (0-4)
Podczas przejścia elektronu w atomie wodoru ze stanu energetycznego o numerze 𝑛= 6
do stanu energetycznego o numerze 𝑘= 2 jest emitowany foton. Energię tego fotonu
oznaczymy jako 𝐸𝑓 62. Na skutek emisji fotonu atom wodoru doznaje odrzutu.
Energię kinetyczną atomu wodoru uzyskaną w wyniku odrzutu oznaczymy jako 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡.
Przyjmij do obliczeń, że:
przed emisją fotonu atom wodoru spoczywał
wartość prędkości odrzutu atomu wodoru jest dużo mniejsza od wartości prędkości
światła w próżni
masa atomu wodoru wynosi 𝑚𝑎𝑡= 1,6735 ⋅10-27 kg.
Oblicz iloraz
𝑬𝒌𝒊𝒏 𝒂𝒕
𝑬𝒇 𝟔𝟐
. Zapisz obliczenia.
Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących i w notacji wykładniczej.
Wskazówka: W obliczeniach możesz wykorzystać fakt, że 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡≪𝐸𝑓62 i wykonać pewne
uproszczenia. Szukany ułamek jest większy od zera, ale znacznie mniejszy od jedności.
11.
0-1-
2-3-4
MFAP-R0_100
Zadanie 11. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.15) przeprowadza obliczenia i zapisuje wynik
zaokrąglony do zadanej liczby cyfr znaczących.
XI.4) […] oblicza różnice energii między
poziomami energetycznymi w atomie wodoru;
XI.5) posługuje się pojęciem pędu fotonu;
stosuje zasadę zachowania energii i zasadę
zachowania pędu do opisu emisji i absorpcji
przez swobodne atomy; opisuje odrzut atomu
emitującego kwant światła.
Zasady oceniania
Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych
warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.
Warunek ZZP
Zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania pędu układu atom - foton, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝑝𝑎𝑡-𝑝𝑓 62 = 0
Warunek ENERGIE_PEDY
Wyrażenie energii kinetycznej atomu poprzez pęd atomu (bezpośrednio albo pośrednio
poprzez prędkość i związek prędkości z pędem) oraz wyrażenie energii fotonu za pomocą
pędu fotonu, np. zapisy równoważne poniższym:
(𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡= 𝑝𝑎𝑡
2
2𝑚𝑎𝑡
albo (𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡= 1
2 𝑚𝑣𝑎𝑡
2 oraz 𝑝𝑎𝑡= 𝑚𝑣𝑎𝑡 )) oraz 𝐸𝑓 62 = 𝑝𝑓 62𝑐
Warunek E62
Zapisanie/wykorzystanie zasady zachowania energii układu atom - foton podczas emisji
fotonu, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸6 -𝐸2 = 𝐸𝑓 62
Warunek E62_wzory
Zapisanie wzoru na energię emitowanego fotonu wynikającego z zasady zachowania energii
układu atom - foton podczas emisji fotonu oraz wykorzystanie wzorów na energie atomu
wodoru w 𝑛-tym stanie energetycznym i podstawienie wartości liczbowych do wzoru na
energię fotonu, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝑓 62 = (-13,606 eV
62
--13,606 eV
22
)
Próbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.
Warunek ILORAZ_ENERGII_WZÓR
Spełnienie warunków: ZZP oraz ENERGIE_PEDY, oraz E62, oraz wyprowadzenie
i zapisanie wzoru - wyrażonego w funkcji masy atomu i stanów energetycznych atomu - na
iloraz energii kinetycznej odrzutu atomu i energii emitowanego fotonu, np. zapisy
równoważne poniższym:
ZZP oraz ENERGIE_PEDY oraz E62 → 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡
𝐸𝑓 62
= 𝐸6 -𝐸2
2𝑚𝑎𝑡𝑐2
Schemat punktowania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu energii kinetycznej odrzutu atomu i energii
emitowanego fotonu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego zaokrąglonego
do dwóch cyfr znaczących i zapisanego w notacji wykładniczej:
metoda → 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡
𝐸𝑓 62
≈1,6 ⋅10-9
3 pkt - spełnienie warunku ILORAZ_ENERGII_WZÓR
LUB
2 pkt - spełnienie warunków: ZZP oraz ENERGIE_PEDY
LUB
LUB
\nLUB
\n1 pkt - spełnienie warunku ZZP
LUB
LUB
\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1a). (z wykorzystaniem faktu, że 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡≪𝐸𝑓 62)
Zastosujemy zasadę zachowania pędu: pęd układu atom - foton jest taki sam przed emisją
i po emisji fotonu i ponadto wynosi zero. To oznacza, że po emisji atom i foton poruszają się
w przeciwne strony i mają te same wartości pędu. Zgodnie z oznaczeniami w zadaniu mamy:
1a) 𝑝𝑎𝑡-𝑝𝑓 62 = 0 → 1b) 𝑝𝑎𝑡= 𝑝𝑓 62
Energię kinetyczną atomu i energię fotonu wyrazimy za pomocą ich pędów:
2
2𝑚𝑎𝑡
Z równań 2), 3) i 1b) wynika:
\n𝐸𝑓 62
𝑝𝑎𝑡
2
2𝑚𝑎𝑡
𝑝𝑓 62𝑐= 𝑝𝑓 62
2𝑚𝑎𝑡𝑐=
𝐸𝑓 62
2𝑚𝑎𝑡𝑐2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Obliczymy energię emitowanego fotonu. Zastosujemy zasadę zachowania energii: energia
całkowita układu atom - foton jest taka sama przed emisją i po emisji fotonu. Energię atomu
wodoru w 𝑛-tym stanie energetycznym oznaczymy jako 𝐸𝑛. Zatem:
5a) 𝐸6 -𝐸2 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡+ 𝐸𝑓 62 →
Wiemy, że w zjawisku emisji fotonu z atomu wodoru foton unosi prawie całą energię, która
wydziela się podczas przejścia elektronu na niższe stany energetyczne. Zatem w równaniu
5a) pominiemy energię kinetyczną atomu (zgodnie ze wskazówką w zadaniu):
5b) 𝐸6 -𝐸2 = 𝐸𝑓 62
Wynik podstawimy do równania 4)
𝐸𝑓 62
𝐸6 -𝐸2
2𝑚𝑎𝑡𝑐2
Obliczymy wartość liczbową z jednostką różnicy 𝐸6 -𝐸2:
62 -1
\nObliczymy wartość liczbową z jednostką energii spoczynkowej atomu 𝑚𝑎𝑡𝑐2:
\nWartości otrzymane w 7) i 8) podstawimy do 6):
\n𝐸𝑓 62
4,8443 ⋅10-19 J
2 ⋅1,5040 ⋅10-10 J ≈1,6 ⋅10-9
Sposób 1b). (bez założenia, że 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡≪𝐸𝑓 62)
Uwaga! To rozwiązanie podajemy w celach dydaktycznych do analizy na zajęciach.
Rekomendujemy je jako dowód własności, że foton unosi prawie całą energię, która wydziela
się podczas przejścia elektronu na niższy stan energetyczny atomu wodoru.
Zastosujemy zasadę zachowania pędu: pęd układu atom - foton jest taki sam przed emisją
i po emisji fotonu i ponadto wynosi zero. To oznacza, że po emisji atom i foton poruszają się
w przeciwne strony i mają te same wartości pędu. Zgodnie z oznaczeniami w zadaniu mamy:
1a) 𝑝𝑎𝑡-𝑝𝑓 62 = 0 → 1b) 𝑝𝑎𝑡= 𝑝𝑓 62
Energię kinetyczną atomu i energię fotonu wyrazimy za pomocą ich pędów:
2
2𝑚𝑎𝑡
Z równań 2), 3) i 1b) wynika:
\n𝐸𝑓 62
𝑝𝑎𝑡
2
2𝑚𝑎𝑡
𝑝𝑓 62𝑐= 𝑝𝑓 62
2𝑚𝑎𝑡𝑐=
𝐸𝑓 62
2𝑚𝑎𝑡𝑐2
Próbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.
Obliczymy energię fotonu. Zastosujemy zasadę zachowania energii: energia całkowita
układu atom - foton jest taka sama przed emisją i po emisji fotonu. Energię atomu wodoru
w 𝑛-tym stanie energetycznym oznaczymy jako 𝐸𝑛. Zatem:
5a) 𝐸6 -𝐸2 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡+ 𝐸𝑓 62 →
W powyższym równaniu uwzględnimy równanie 4):
Uwaga! Zauważ, że w tej metodzie nie pomijamy 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑎𝑡 w obliczeniach energii fotonu.
5b) 𝐸6 -𝐸2 =
𝐸𝑓 62
2
2𝑚𝑎𝑡𝑐2 + 𝐸𝑓 62 ⟺ 𝐸𝑓 62
2
Rozwiążemy równanie kwadratowe względem 𝐸𝑓 62. Wybierzemy rozwiązanie dodatnie,
ponieważ energia fotonu jest dodatnia:
2𝑎
= -2𝑚𝑎𝑡𝑐2 + √(2𝑚𝑎𝑡𝑐2)2 + 4 ⋅2𝑚𝑎𝑡𝑐2 ⋅(𝐸6 -𝐸2)
2
→
6a) 𝐸𝑓 62 = √(𝑚𝑎𝑡𝑐2)2 + 2𝑚𝑎𝑡𝑐2 ⋅(𝐸6 -𝐸2) -𝑚𝑎𝑡𝑐2 →
6b) 𝐸𝑓 62 = 𝑚𝑎𝑡𝑐2√1 + 2(𝐸6 -𝐸2)
𝑚𝑎𝑡𝑐2
-𝑚𝑎𝑡𝑐2 = 𝑚𝑎𝑡𝑐2 (√1 + 2(𝐸6 -𝐸2)
𝑚𝑎𝑡𝑐2
-1)
Otrzymany wynik wstawimy do równania 4). Po przekształceniu otrzymujemy:
𝐸𝑓 62
(√1 + 2(𝐸6 -𝐸2)
𝑚𝑎𝑡𝑐2
-1)
2
Sposób A kontynuowania obliczeń od równania 7):
Obliczymy wartość liczbową z jednostką różnicy 𝐸6 -𝐸2:
62 -1
\nObliczymy wartość liczbową z jednostką energii spoczynkowej atomu 𝑚𝑎𝑡𝑐2:
\nWartości otrzymane w 8) i 9) podstawimy do 7). Do obliczeń użyjemy kalkulatora
naukowego:
𝐸𝑓 62
(√1 + 2 ⋅4,8443 ⋅10-19
1,5040 ⋅10-10
-1)
2
≈1,6 ⋅10-9
Sposób B kontynuowania obliczeń od równania 7):
Skorzystamy z przybliżenia funkcji 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥 dla 𝑥≪1: 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥≈1 +
1
2 𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zauważmy (po analizie rzędów wielkości), że:
𝑚𝑎𝑡𝑐2
≪1
Zatem możemy zastosować wspomniane powyżej przybliżenie:
𝐸𝑓 62
(√1 + 2(𝐸6 -𝐸2)
𝑚𝑎𝑡𝑐2
-1)
2
≈
(1 + 1
2 ⋅2(𝐸6 -𝐸2)
𝑚𝑎𝑡𝑐2
-1)
2
= (𝐸6 -𝐸2)
2𝑚𝑎𝑡𝑐2
Obliczymy wartość liczbową z jednostką różnicy 𝐸6 -𝐸2:
62 -1
\nObliczymy wartość liczbową z jednostką energii spoczynkowej atomu 𝑚𝑎𝑡𝑐2:
\nWartości otrzymane w 10) i 11) podstawimy do 9).
\n𝐸𝑓 62
4,8443 ⋅10-19 J
2 ⋅1,5040 ⋅10-10 J ≈1,6 ⋅10-9
Sposób 2.
Obliczymy energię emitowanego fotonu. Zastosujemy zasadę zachowania energii: różnica
energii całkowitych układu atom - foton przed emisją i po emisji fotonu jest równa energii
wydzielonej podczas emisji. Energię atomu wodoru w 𝑛-tym stanie energetycznym
oznaczymy jako 𝐸𝑛. Uwzględnimy fakt, że foton unosi praktycznie całą energię wydzieloną
podczas przejścia elektronu na niższy stan energetyczny:
Wykorzystamy wzory na energie 𝑛-tego stanu atomu wodoru
\n62
--13,606 eV
22
) ≈3,0236 eV ≈4,8443 ⋅10-19 J
Obliczymy energię kinetyczną, jaką uzyskał atom wodoru w wyniku odrzutu:
2
2
= 𝑝𝑎𝑡
2
2𝑚𝑎𝑡
gdzie 𝑝𝑎𝑡 jest wartością pędu atomu wodoru. Zatem pozostaje wyznaczyć pęd atomu.
Zastosujemy zasadę zachowania pędu: pęd układu atom - foton jest taki sam przed emisją
i po emisji fotonu i ponadto wynosi zero. To oznacza, że po emisji atom i foton poruszają się
w przeciwne strony i mają te same wartości pędu. Zgodnie z oznaczeniami w zadaniu mamy:
4a) 𝑝𝑎𝑡-𝑝𝑓 62 = 0 → 4b) 𝑝𝑎𝑡= 𝑝𝑓 62
W równaniu 4b) zastosujemy związek 𝐸𝑓= 𝑝𝑓𝑐 między pędem fotonu a jego energią:
5a) 𝑝𝑎𝑡= 𝑝𝑓 62 = 𝐸𝑓 62
𝑐
→
Próbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.
5b) 𝑝𝑎𝑡= 4,8443 ⋅10-19 J
2,9979 ⋅108 m
s
≈1,6159 ⋅10-27 kg ⋅m
s
Otrzymany wynik podstawimy do równania 3):
(1,6159 ⋅10-27 kg ⋅m
s )
2
2 ⋅1,6735 ⋅10-27 kg
≈7,8014 ⋅10-28 J
Zatem szukany iloraz energii wynosi
𝐸𝑓 62
= 7,8014 ⋅10-28 J
4,8443 ⋅10-19 J ≈1,6 ⋅10-9
Zasady oceniania rozwiązań zadań
$\\dfrac{E_{kin \\ at}}{E_{f \\ 62}} \\approx 1,6 \\cdot 10^{-9}$
"}]}