{"id":"fizyka-2026-styczen-probna-rozszerzona/zad/2.2","paper_id":"fizyka-2026-styczen-probna-rozszerzona","number":"2.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"probna","year":2026,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.2. (0-4)\nOblicz iloraz\n𝒎𝟐\n𝒎𝟏\nmas tych kul. Zapisz obliczenia. W rozwiązaniu zapisz równania\nwynikające z zasad zachowania odpowiednich wielkości.\n2.2.\n0-1-\n2-3-4\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.2. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nV. Budowanie modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk oraz\nilustracji praw i zależności fizycznych.\nZdający:\nI.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków\nschematycznych lub blokowych informacje\nkluczowe dla opisywanego zjawiska bądź\nproblemu; przedstawia te informacje w różnych\npostaciach.\nII.15) wykorzystuje zasadę zachowania pędu\ndo opisu zachowania się izolowanego układu\nciał;\nII.16) rozróżnia i analizuje zderzenia sprężyste\ni niesprężyste;\n20) […] wykorzystuje […] zasadę zachowania\nenergii mechanicznej do obliczeń.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1. i sposobem 2.)\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek ZZP\nPoprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania pędu (przed zderzeniem\ni po zderzeniu) oraz poprawne zastosowanie wzorów na pędy każdej z kul z uwzględnieniem\nzwrotów prędkości/pędów kul (zwroty wyrażone odpowiednim znakiem przy współrzędnej\nprędkości), np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚1𝑣1 = -𝑚1𝑣2 + 𝑚2𝑣2\nalbo\n𝑝⃗1 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= 𝑝⃗1 𝑝𝑜+ 𝑝⃗2 𝑝𝑜 gdzie 𝑝⃗1 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= [𝑚1𝑣1] 𝑝⃗1 𝑝𝑜= [𝑚1(-𝑣2)] 𝑝⃗2 𝑝𝑜= [𝑚2𝑣2]\nWarunek ZZE\nPoprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii (przed\nzderzeniem i po zderzeniu) oraz poprawne zastosowanie wzorów na energie kinetyczne\nkażdej z kul, np. zapisy równoważne poniższym:\n1\n2 𝑚1𝑣1\n2 = 1\n2 𝑚1𝑣2\n2 + 1\n2 𝑚2𝑣2\n2\nWarunek V1V2\nSpełnienie warunków ZZP oraz ZZE, oraz wyprowadzenie i zapisanie zależności -\nz wyeliminowanymi masami - między wartościami 𝑣2 i 𝑣1 prędkości 𝑣⃗2 i 𝑣⃗1, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\nZZP oraz ZZE → 𝑣1 = 2𝑣2\nPróbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.\nWarunek ZZV\nPowołanie się na zasadę zachowania prędkości względnej przy zderzeniu centralnym\nsprężystym (może być słownie lub z wykorzystaniem ogólnego zapisu symbolicznego).\nWarunek ZZV_V1V2\nSpełnienie warunku ZZV oraz i zapisanie zależności między wartościami 𝑣2 i 𝑣1 prędkości\n𝑣⃗2 i 𝑣⃗1, np. zapisy równoważne poniższym:\nZZV → 𝑣1 = 2𝑣2\nSchemat punktowania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu mas oraz podanie prawidłowego wyniku\nliczbowego:\n𝑚2\n𝑚1 = 3\n3 pkt - spełnienie warunku V1V2\nLUB\n- spełnienie warunków: ZZV_V1V2 oraz (ZZP albo ZZE)\n2 pkt - spełnienie warunków: ZZP oraz ZZE\nLUB\n- spełnienie warunku ZZV_V1V2\nLUB\n- spełnienie warunków: ZZV oraz (ZZP albo ZZE)\n1 pkt - spełnienie warunku ZZP\nLUB\n- spełnienie warunku ZZE\nLUB\n- spełnienie warunku ZZV\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZapiszemy równania wynikające z zasady zachowania pędu oraz z zasady zachowania\nenergii. Lewa strona równań będzie oznaczała sytuację przed zderzeniem, a prawa strona\nrównań będzie oznaczała sytuację po zderzeniu. Równanie zasady zachowania pędu\nzapiszemy na początku w postaci wektorowej:\n{\n𝑚1𝑣⃗1 = -𝑚1𝑣⃗2 + 𝑚2𝑣⃗2\n1\n2 𝑚1𝑣1\n2 = 1\n2 𝑚1𝑣2\n2 + 1\n2 𝑚2𝑣2\n2\nRównanie wektorowe zapiszemy skalarnie - na współrzędnych. Niech 𝑣1 oznacza\nwspółrzędną (dodatnią) prędkości 𝑣⃗1 kuli K1 określoną wzdłuż osi przechodzącej przez\nśrodki kul. Wtedy współrzędna prędkości kuli K2 po zderzeniu wynosi 𝑣2, a współrzędna\nprędkości kuli K1 po zderzeniu wynosi -𝑣2. Zapiszemy powyższe równania:\n{\n𝑚1𝑣1 = -𝑚1𝑣2 + 𝑚2𝑣2\n1\n2 𝑚1𝑣1\n2 = 1\n2 𝑚1𝑣2\n2 + 1\n2 𝑚2𝑣2\n2\nWykonamy przekształcenia i wyznaczymy iloraz mas. Uwzględnimy, że 𝑣2 ≠0:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n{𝑚1𝑣1 = -𝑚1𝑣2 + 𝑚2𝑣2\n𝑚1𝑣1\n2 = 𝑚1𝑣2\n2 + 𝑚2𝑣2\n2 → {𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2\n𝑚1(𝑣1\n2 -𝑣2\n2) = 𝑚2𝑣2\n2\n{𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2\n𝑚1(𝑣1 + 𝑣2)(𝑣1 -𝑣2) = 𝑚2𝑣2\n2 → {𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2\n𝑚2𝑣2(𝑣1 -𝑣2) = 𝑚2𝑣2\n2\n{𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2\n𝑚2(𝑣1 -𝑣2) = 𝑚2𝑣2 → {𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2\n𝑣1 -𝑣2 = 𝑣2\n{𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2\n𝑣1 = 2𝑣2 → {𝑚1(2𝑣2 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2\n𝑣1 = 2𝑣2\n{𝑚13𝑣2 = 𝑚2𝑣2\n𝑣1 = 2𝑣2 → {𝑚13 = 𝑚2\n𝑣1 = 2𝑣2\n{\n𝑚2\n𝑚1\n= 3\n𝑣2\n𝑣1\n= 1\n2\nSposób 2.\nPowołamy się na pewną ogólną własność dotyczącą prędkości względnych i zderzeń:\nLEMAT:\nRóżnica prędkości dwóch dowolnych ciał A i B przed zderzeniem sprężystym centralnym ma\ntę samą wartość oraz przeciwny zwrot co różnica prędkości tych ciał po zderzeniu\nsprężystym centralnym.\nTo samo inaczej: Prędkość względna ciał A i B przed zderzeniem centralnym sprężystym ma\ntę samą wartość i przeciwny zwrot co prędkość względna tych ciał po zderzeniu.\nKomentarz: Niech w pewnym inercjalnym układzie odniesienia 𝑣⃗𝐴 i 𝑣⃗𝐵 będą prędkościami\nciał A i B przed zderzeniem sprężystym, natomiast 𝑣⃗′𝐴 i 𝑣⃗′𝐵 będą prędkościami ciał A i B po\ntym zderzeniu. Zgodnie z lematem mamy:\n𝑣⃗𝐴-𝑣⃗𝐵= -(𝑣⃗′𝐴- 𝑣⃗′𝐵)\nPowyższe wynika z zasady zachowania energii oraz zasady zachowania pędu.\nZgodnie z lematem, w odniesieniu do zderzenia opisanego w zadaniu mamy:\n𝑣⃗𝐾1 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑-𝑣⃗𝐾2 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= -(𝑣⃗𝐾1 𝑝𝑜-𝑣⃗𝐾2 𝑝𝑜)\nZgodnie z oznaczeniami w zadaniu mamy:\n𝑣⃗1 -0 = -(-𝑣⃗2 -𝑣⃗2) → 𝑣⃗1 = 2𝑣⃗2\nZatem:\n𝑣1 = 2𝑣2\nPróbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.\nSposób A kontynuacji rozwiązania sposobem 2.\nZapiszemy równanie wynikające z zasady zachowania pędu. Lewa strona równania będzie\noznaczała sytuację przed zderzeniem, a prawa strona równań będzie oznaczała sytuację po\nzderzeniu. Niech 𝑣1 oznacza współrzędną (dodatnią) prędkości 𝑣⃗1 kuli K1 określoną wzdłuż\nosi przechodzącej przez środki kul. Wtedy współrzędna prędkości kuli K2 po zderzeniu\nwynosi 𝑣2, a współrzędna prędkości kuli K1 po zderzeniu wynosi -𝑣2:\n𝑚1𝑣1 = -𝑚1𝑣2 + 𝑚2𝑣2\nDo powyższego równania podstawimy związek między 𝑣1 a 𝑣2:\n𝑚12𝑣2 = -𝑚1𝑣2 + 𝑚2𝑣2 → 3𝑚1𝑣2 = 𝑚2𝑣2\n𝑚2\n𝑚1\n= 3\nSposób B kontynuacji rozwiązania sposobem 2.\nZapiszemy równanie wynikające z zasady zachowania energii. Lewa strona równania będzie\noznaczała sytuację przed zderzeniem, a prawa strona równań będzie oznaczała sytuację po\nzderzeniu. Następnie do równania podstawimy związek między 𝑣1 a 𝑣2:\n1\n2 𝑚1𝑣1\n2 = 1\n2 𝑚1𝑣2\n2 + 1\n2 𝑚2𝑣2\n2 → 𝑚1(2𝑣2)2 = 𝑚1𝑣2\n2 + 𝑚2𝑣2\n2\n4𝑚1𝑣2\n2 = 𝑚1𝑣2\n2 + 𝑚2𝑣2\n2 → 3𝑚1𝑣2\n2 = 𝑚2𝑣2\n2 → 𝑚2\n𝑚1\n= 3\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-styczen-probna-rozszerzona/zad-2.2.webp","solution_image":null,"topics":"Pęd, energia mechaniczna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura próbna · styczeń 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 2.2. (0-4)
Oblicz iloraz
𝒎𝟐
𝒎𝟏
mas tych kul. Zapisz obliczenia. W rozwiązaniu zapisz równania
wynikające z zasad zachowania odpowiednich wielkości.
2.2.
0-1-
2-3-4
MFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 2.2. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
Zdający:
I.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków
schematycznych lub blokowych informacje
kluczowe dla opisywanego zjawiska bądź
problemu; przedstawia te informacje w różnych
postaciach.
II.15) wykorzystuje zasadę zachowania pędu
do opisu zachowania się izolowanego układu
ciał;
II.16) rozróżnia i analizuje zderzenia sprężyste
i niesprężyste;

\n
  1. […] wykorzystuje […] zasadę zachowania
\n

energii mechanicznej do obliczeń.
Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1. i sposobem 2.)
Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych
warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.
Warunek ZZP
Poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania pędu (przed zderzeniem
i po zderzeniu) oraz poprawne zastosowanie wzorów na pędy każdej z kul z uwzględnieniem
zwrotów prędkości/pędów kul (zwroty wyrażone odpowiednim znakiem przy współrzędnej
prędkości), np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚1𝑣1 = -𝑚1𝑣2 + 𝑚2𝑣2
albo
𝑝⃗1 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= 𝑝⃗1 𝑝𝑜+ 𝑝⃗2 𝑝𝑜 gdzie 𝑝⃗1 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= [𝑚1𝑣1] 𝑝⃗1 𝑝𝑜= [𝑚1(-𝑣2)] 𝑝⃗2 𝑝𝑜= [𝑚2𝑣2]
Warunek ZZE
Poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii (przed
zderzeniem i po zderzeniu) oraz poprawne zastosowanie wzorów na energie kinetyczne
każdej z kul, np. zapisy równoważne poniższym:
1
2 𝑚1𝑣1
2 = 1
2 𝑚1𝑣2
2 + 1
2 𝑚2𝑣2
2
Warunek V1V2
Spełnienie warunków ZZP oraz ZZE, oraz wyprowadzenie i zapisanie zależności -
z wyeliminowanymi masami - między wartościami 𝑣2 i 𝑣1 prędkości 𝑣⃗2 i 𝑣⃗1, np. zapisy
równoważne poniższym:
ZZP oraz ZZE → 𝑣1 = 2𝑣2
Próbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.
Warunek ZZV
Powołanie się na zasadę zachowania prędkości względnej przy zderzeniu centralnym
sprężystym (może być słownie lub z wykorzystaniem ogólnego zapisu symbolicznego).
Warunek ZZV_V1V2
Spełnienie warunku ZZV oraz i zapisanie zależności między wartościami 𝑣2 i 𝑣1 prędkości
𝑣⃗2 i 𝑣⃗1, np. zapisy równoważne poniższym:
ZZV → 𝑣1 = 2𝑣2
Schemat punktowania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu mas oraz podanie prawidłowego wyniku
liczbowego:
𝑚2
𝑚1 = 3
3 pkt - spełnienie warunku V1V2
LUB

\n\n

2 pkt - spełnienie warunków: ZZP oraz ZZE
LUB

\n\n

LUB

\n\n

1 pkt - spełnienie warunku ZZP
LUB

\n\n

LUB

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Zapiszemy równania wynikające z zasady zachowania pędu oraz z zasady zachowania
energii. Lewa strona równań będzie oznaczała sytuację przed zderzeniem, a prawa strona
równań będzie oznaczała sytuację po zderzeniu. Równanie zasady zachowania pędu
zapiszemy na początku w postaci wektorowej:
{
𝑚1𝑣⃗1 = -𝑚1𝑣⃗2 + 𝑚2𝑣⃗2
1
2 𝑚1𝑣1
2 = 1
2 𝑚1𝑣2
2 + 1
2 𝑚2𝑣2
2
Równanie wektorowe zapiszemy skalarnie - na współrzędnych. Niech 𝑣1 oznacza
współrzędną (dodatnią) prędkości 𝑣⃗1 kuli K1 określoną wzdłuż osi przechodzącej przez
środki kul. Wtedy współrzędna prędkości kuli K2 po zderzeniu wynosi 𝑣2, a współrzędna
prędkości kuli K1 po zderzeniu wynosi -𝑣2. Zapiszemy powyższe równania:
{
𝑚1𝑣1 = -𝑚1𝑣2 + 𝑚2𝑣2
1
2 𝑚1𝑣1
2 = 1
2 𝑚1𝑣2
2 + 1
2 𝑚2𝑣2
2
Wykonamy przekształcenia i wyznaczymy iloraz mas. Uwzględnimy, że 𝑣2 ≠0:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
{𝑚1𝑣1 = -𝑚1𝑣2 + 𝑚2𝑣2
𝑚1𝑣1
2 = 𝑚1𝑣2
2 + 𝑚2𝑣2
2 → {𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2
𝑚1(𝑣1
2 -𝑣2

\n
  1. = 𝑚2𝑣2
\n

2
{𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2
𝑚1(𝑣1 + 𝑣2)(𝑣1 -𝑣2) = 𝑚2𝑣2
2 → {𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2
𝑚2𝑣2(𝑣1 -𝑣2) = 𝑚2𝑣2
2
{𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2
𝑚2(𝑣1 -𝑣2) = 𝑚2𝑣2 → {𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2
𝑣1 -𝑣2 = 𝑣2
{𝑚1(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2
𝑣1 = 2𝑣2 → {𝑚1(2𝑣2 + 𝑣2) = 𝑚2𝑣2
𝑣1 = 2𝑣2
{𝑚13𝑣2 = 𝑚2𝑣2
𝑣1 = 2𝑣2 → {𝑚13 = 𝑚2
𝑣1 = 2𝑣2
{
𝑚2
𝑚1
= 3
𝑣2
𝑣1
= 1
2
Sposób 2.
Powołamy się na pewną ogólną własność dotyczącą prędkości względnych i zderzeń:
LEMAT:
Różnica prędkości dwóch dowolnych ciał A i B przed zderzeniem sprężystym centralnym ma
tę samą wartość oraz przeciwny zwrot co różnica prędkości tych ciał po zderzeniu
sprężystym centralnym.
To samo inaczej: Prędkość względna ciał A i B przed zderzeniem centralnym sprężystym ma
tę samą wartość i przeciwny zwrot co prędkość względna tych ciał po zderzeniu.
Komentarz: Niech w pewnym inercjalnym układzie odniesienia 𝑣⃗𝐴 i 𝑣⃗𝐵 będą prędkościami
ciał A i B przed zderzeniem sprężystym, natomiast 𝑣⃗′𝐴 i 𝑣⃗′𝐵 będą prędkościami ciał A i B po
tym zderzeniu. Zgodnie z lematem mamy:
𝑣⃗𝐴-𝑣⃗𝐵= -(𝑣⃗′𝐴- 𝑣⃗′𝐵)
Powyższe wynika z zasady zachowania energii oraz zasady zachowania pędu.
Zgodnie z lematem, w odniesieniu do zderzenia opisanego w zadaniu mamy:
𝑣⃗𝐾1 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑-𝑣⃗𝐾2 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= -(𝑣⃗𝐾1 𝑝𝑜-𝑣⃗𝐾2 𝑝𝑜)
Zgodnie z oznaczeniami w zadaniu mamy:
𝑣⃗1 -0 = -(-𝑣⃗2 -𝑣⃗2) → 𝑣⃗1 = 2𝑣⃗2
Zatem:
𝑣1 = 2𝑣2
Próbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.
Sposób A kontynuacji rozwiązania sposobem 2.
Zapiszemy równanie wynikające z zasady zachowania pędu. Lewa strona równania będzie
oznaczała sytuację przed zderzeniem, a prawa strona równań będzie oznaczała sytuację po
zderzeniu. Niech 𝑣1 oznacza współrzędną (dodatnią) prędkości 𝑣⃗1 kuli K1 określoną wzdłuż
osi przechodzącej przez środki kul. Wtedy współrzędna prędkości kuli K2 po zderzeniu
wynosi 𝑣2, a współrzędna prędkości kuli K1 po zderzeniu wynosi -𝑣2:
𝑚1𝑣1 = -𝑚1𝑣2 + 𝑚2𝑣2
Do powyższego równania podstawimy związek między 𝑣1 a 𝑣2:
𝑚12𝑣2 = -𝑚1𝑣2 + 𝑚2𝑣2 → 3𝑚1𝑣2 = 𝑚2𝑣2
𝑚2
𝑚1
= 3
Sposób B kontynuacji rozwiązania sposobem 2.
Zapiszemy równanie wynikające z zasady zachowania energii. Lewa strona równania będzie
oznaczała sytuację przed zderzeniem, a prawa strona równań będzie oznaczała sytuację po
zderzeniu. Następnie do równania podstawimy związek między 𝑣1 a 𝑣2:
1
2 𝑚1𝑣1
2 = 1
2 𝑚1𝑣2
2 + 1
2 𝑚2𝑣2
2 → 𝑚1(2𝑣2)2 = 𝑚1𝑣2
2 + 𝑚2𝑣2
2
4𝑚1𝑣2
2 = 𝑚1𝑣2
2 + 𝑚2𝑣2
2 → 3𝑚1𝑣2
2 = 𝑚2𝑣2
2 → 𝑚2
𝑚1
= 3
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}