{"id":"fizyka-2026-styczen-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"fizyka-2026-styczen-probna-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"probna","year":2026,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-4)\nPewna sonda 𝒜 krąży wokół Słońca po orbicie kołowej jedynie pod wpływem siły grawitacji\nSłońca (zobacz rysunek 1.).\nNa krótki czas włączono silniki sondy, w wyniku czego wartość prędkości sondy zwiększyła\nsię o Δv𝐴 (w kierunku stycznym do orbity) do takiej wartości v𝐴, że po wyłączeniu silników\nmogła ona uciec z pola grawitacyjnego Słońca i nieskończenie daleko od Słońca poruszać\nsię z prędkością o wartości v∞𝐴 (zobacz rysunek 2.).\nPrzyjmij następujące dane, oznaczenia i założenia:\nwartość prędkości sondy 𝒜 w ruchu po orbicie kołowej jedynie pod wpływem siły\ngrawitacji oznaczymy jako v𝑜𝑟𝐴\nodległość sondy od środka 𝑆 Słońca oznaczymy jako 𝑟𝐴\npomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch sondy\ngdy włączono na krótki czas silniki sondy, to była ona jeszcze na orbicie kołowej.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nWyznacz 𝚫v𝑨 w zależności tylko od v𝒐𝒓𝑨 oraz v∞𝑨.\nZapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝚫v𝑨.\nvሬԦ𝑜𝑟𝐴\n𝑟𝐴\n𝒜\n𝑆\nvሬԦ𝐴\n𝑟𝐴\n𝒜\n𝑆\nvሬԦ𝑜𝑟𝐴\nΔvሬԦ𝐴\nvሬԦ∞𝐴\n5.\n0-1-\n2-3-4\nMFAP-R0_100\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Budowanie modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk oraz\nilustracji praw i zależności fizycznych.\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nIV.4) wskazuje siłę grawitacji jako siłę\ndośrodkową w ruchu po orbicie kołowej, oblicza\nwartość prędkości na orbicie kołowej\no dowolnym promieniu […];\nIV.7) oblicza zmiany energii potencjalnej\ngrawitacji i stosuje zasadę zachowania energii\ndo ruchu pod wpływem siły grawitacji;\nposługuje się pojęciem drugiej prędkości\nkosmicznej (prędkości ucieczki).\nZasady oceniania\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek RÓŻNICA\nZapisanie różnicy:\nΔ𝑣𝐴= 𝑣𝐴-𝑣𝑜𝑟 𝐴\nWarunek ZZE\nZapisanie zasady zachowania energii mechanicznej (symbolicznie lub słownie)\nz uwzględnieniem (poprzez oznaczenie) energii mechanicznej sondy na orbicie po\nzwiększeniu prędkości i energii mechanicznej sondy poza sferą oddziaływania ze Słońcem,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝐴= 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ ∞ 𝐴\n𝑥, m\n0\n𝐴\nG1\nG2\n4\n1\n2\n3\n5\n6\n-1\n-2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWarunek ZZE_kin_pot\nZapisanie równania zasady zachowania energii mechanicznej z uwzględnieniem (wystarczy\npoprzez oznaczenie) energii kinetycznej sondy na orbicie po zwiększeniu prędkości, energii\npotencjalnej sondy na orbicie i energii kinetycznej sondy poza sferą oddziaływania ze\nSłońcem, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑟𝐴+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑟𝐴= 𝐸𝑘𝑖𝑛 ∞ 𝐴\nWarunek ZZE_wzory\nZapisanie równania zasady zachowania energii mechanicznej oraz uwzględnienie w nim\nwzorów na energię kinetyczną sondy na orbicie po zwiększeniu prędkości, wzorów na\nenergię potencjalną sondy na orbicie i wzorów na energię kinetyczną sondy poza sferą\noddziaływania ze Słońcem, np. zapisy równoważne poniższym:\n1\n2 𝑚𝐴𝑣𝐴\n2 -𝐺𝑀𝑆𝑚𝐴\n𝑟𝐴\n= 1\n2 𝑚𝐴𝑣∞ 𝐴\n2\nWarunek Fdo=Fg\nZapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na sondę poruszającą się\nswobodnie po orbicie kołowej jako siłę dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie\ndośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne), np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜 𝐴= 𝐹𝑔\nWarunek Fdo=Fg_wzory\nZapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na sondę poruszającą się\nswobodnie po orbicie kołowej jako siłę dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie\ndośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub\nprzyśpieszenia), np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝐴\n𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n𝑟𝐴\n= 𝐺𝑀𝑆𝑚𝐴\n𝑟𝐴\n2\nalbo 𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n𝑟𝐴\n= 𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\n2\nalbo\nzapisanie wzoru na prędkość (lub jej kwadrat) orbitalną wynikającego z powyższej relacji, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n= 𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\nalbo 𝑣𝑜𝑟 𝐴= √𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\nWarunek VA\nSpełnienie warunków ZZE_wzory oraz Fdo=Fg_wzory, oraz wyprowadzenie i zapisanie\nrównania, z którego można wyznaczyć v𝐴 w zależności tylko od v𝑜𝑟𝐴 i v∞𝐴, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\nZZE_wzory oraz Fdo=Fg_wzory → 1\n2 𝑣𝐴\n2 -𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n= 1\n2𝑣∞ 𝐴\n2\nPróbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.\nSchemat punktowania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia Δv𝐴 w zależności tylko od v𝑜𝑟𝐴 i v∞𝐴 oraz zapisanie\nprawidłowej postaci wzoru na Δv𝐴:\nmetoda → Δ𝑣𝐴= √2 ⋅𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n+ 𝑣∞ 𝐴\n2\n-𝑣𝑜𝑟 𝐴\n3 pkt - spełnienie warunku VA\nLUB\n- spełnienie warunków: ZZE_wzory oraz Fdo=Fg_wzory oraz RÓŻNICA\n2 pkt - spełnienie warunków: ZZE_wzory oraz RÓŻNICA\nLUB\n- spełnienie warunków: ZZE_kin_pot oraz Fdo=Fg\nLUB\n- spełnienie warunków: Fdo=Fg_wzory oraz RÓŻNICA\n1 pkt - spełnienie warunków: ZZE oraz RÓŻNICA\nLUB\n- spełnienie warunku ZZE_kin_pot\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapiszemy wzór na zmianę wartości prędkości sondy o Δv𝐴 (w kierunku stycznym do orbity):\n1) Δ𝑣𝐴= 𝑣𝐴-𝑣𝑜𝑟 𝐴\nWyznaczymy v𝐴 - wartość prędkości, jaką musi mieć sonda (po wyłączeniu silników), aby\nz punktu orbity odległego od środka Słońca o 𝑟𝐴 mogła uciec z pola grawitacyjnego Słońca\ni nieskończenie daleko od Słońca poruszać się z prędkością o wartości v∞𝐴.\nWykorzystamy zasadę zachowania energii mechanicznej dla sondy. Energia mechaniczna\n𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝐴 sondy w punkcie orbity, ale po zwiększeniu prędkości i wyłączeniu silników, jest\nrówna energii mechanicznej 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ ∞ 𝐴 sondy poza sferą oddziaływania Słońca:\n2) 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝐴= 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ ∞ 𝐴\nEnergia 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝐴 sondy jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej, natomiast\nenergia 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ ∞ 𝐴 jest równa tylko energii kinetycznej, jaką uzyska sonda poza sferą\noddziaływania ze Słońcem:\n3) 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑟𝐴+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑟𝐴= 𝐸𝑘𝑖𝑛 ∞ 𝐴\nWykorzystamy wzór na energię kinetyczną oraz wzór na energię potencjalną:\n4a) 1\n2 𝑚𝐴𝑣𝐴\n2 -𝐺𝑀𝑆𝑚𝐴\n𝑟𝐴\n= 1\n2 𝑚𝐴𝑣∞ 𝐴\n2\ngdzie 𝑚𝐴 jest masą sondy, 𝑀𝑆 jest masą Słońca. Po przekształceniu równania 4a)\notrzymamy:\n4b) 𝑣𝐴\n2 -2 ⋅𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\n= 𝑣∞ 𝐴\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nGdy sonda porusza się swobodnie po orbicie kołowej z prędkością 𝑣𝑜𝑟 𝐴, to siła grawitacji\npełni funkcję siły dośrodkowej:\n5a) 𝑚𝐴𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n𝑟𝐴\n= 𝐺𝑀𝑆𝑚𝐴\n𝑟𝐴\n2\n→ 5b) 𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n= 𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\nRównanie 5b) wykorzystamy w równaniu 4b):\n6) 𝑣𝐴\n2 -2 ⋅𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n= 𝑣∞ 𝐴\n2\nZatem:\n7a) 𝑣𝐴\n2 = 2 ⋅𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n+ 𝑣∞ 𝐴\n2\n→ 7b) 𝑣𝐴= √2 ⋅𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n+ 𝑣∞ 𝐴\n2\nWynik z 7b) wykorzystamy w równaniu 1):\n8) Δ𝑣𝐴= √2 ⋅𝑣𝑜𝑟 𝐴\n2\n+ 𝑣∞ 𝐴\n2\n-𝑣𝑜𝑟 𝐴\nPróbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-styczen-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura próbna · styczeń 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 5. (0-4)
Pewna sonda 𝒜 krąży wokół Słońca po orbicie kołowej jedynie pod wpływem siły grawitacji
Słońca (zobacz rysunek 1.).
Na krótki czas włączono silniki sondy, w wyniku czego wartość prędkości sondy zwiększyła
się o Δv𝐴 (w kierunku stycznym do orbity) do takiej wartości v𝐴, że po wyłączeniu silników
mogła ona uciec z pola grawitacyjnego Słońca i nieskończenie daleko od Słońca poruszać
się z prędkością o wartości v∞𝐴 (zobacz rysunek 2.).
Przyjmij następujące dane, oznaczenia i założenia:
wartość prędkości sondy 𝒜 w ruchu po orbicie kołowej jedynie pod wpływem siły
grawitacji oznaczymy jako v𝑜𝑟𝐴
odległość sondy od środka 𝑆 Słońca oznaczymy jako 𝑟𝐴
pomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch sondy
gdy włączono na krótki czas silniki sondy, to była ona jeszcze na orbicie kołowej.
Rysunek 1.
Rysunek 2.
Wyznacz 𝚫v𝑨 w zależności tylko od v𝒐𝒓𝑨 oraz v∞𝑨.
Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝚫v𝑨.
vሬԦ𝑜𝑟𝐴
𝑟𝐴
𝒜
𝑆
vሬԦ𝐴
𝑟𝐴
𝒜
𝑆
vሬԦ𝑜𝑟𝐴
ΔvሬԦ𝐴
vሬԦ∞𝐴
5.
0-1-
2-3-4
MFAP-R0_100
MFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
IV.4) wskazuje siłę grawitacji jako siłę
dośrodkową w ruchu po orbicie kołowej, oblicza
wartość prędkości na orbicie kołowej
o dowolnym promieniu […];
IV.7) oblicza zmiany energii potencjalnej
grawitacji i stosuje zasadę zachowania energii
do ruchu pod wpływem siły grawitacji;
posługuje się pojęciem drugiej prędkości
kosmicznej (prędkości ucieczki).
Zasady oceniania
Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych
warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.
Warunek RÓŻNICA
Zapisanie różnicy:
Δ𝑣𝐴= 𝑣𝐴-𝑣𝑜𝑟 𝐴
Warunek ZZE
Zapisanie zasady zachowania energii mechanicznej (symbolicznie lub słownie)
z uwzględnieniem (poprzez oznaczenie) energii mechanicznej sondy na orbicie po
zwiększeniu prędkości i energii mechanicznej sondy poza sferą oddziaływania ze Słońcem,
np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝐴= 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ ∞ 𝐴
𝑥, m
0
𝐴
G1
G2
4
1
2
3
5
6
-1
-2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Warunek ZZE_kin_pot
Zapisanie równania zasady zachowania energii mechanicznej z uwzględnieniem (wystarczy
poprzez oznaczenie) energii kinetycznej sondy na orbicie po zwiększeniu prędkości, energii
potencjalnej sondy na orbicie i energii kinetycznej sondy poza sferą oddziaływania ze
Słońcem, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑟𝐴+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑟𝐴= 𝐸𝑘𝑖𝑛 ∞ 𝐴
Warunek ZZE_wzory
Zapisanie równania zasady zachowania energii mechanicznej oraz uwzględnienie w nim
wzorów na energię kinetyczną sondy na orbicie po zwiększeniu prędkości, wzorów na
energię potencjalną sondy na orbicie i wzorów na energię kinetyczną sondy poza sferą
oddziaływania ze Słońcem, np. zapisy równoważne poniższym:
1
2 𝑚𝐴𝑣𝐴
2 -𝐺𝑀𝑆𝑚𝐴
𝑟𝐴
= 1
2 𝑚𝐴𝑣∞ 𝐴
2
Warunek Fdo=Fg
Zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na sondę poruszającą się
swobodnie po orbicie kołowej jako siłę dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie
dośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne), np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑑𝑜 𝐴= 𝐹𝑔
Warunek Fdo=Fg_wzory
Zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na sondę poruszającą się
swobodnie po orbicie kołowej jako siłę dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie
dośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub
przyśpieszenia), np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝐴
𝑣𝑜𝑟 𝐴
2
𝑟𝐴
= 𝐺𝑀𝑆𝑚𝐴
𝑟𝐴
2
albo 𝑣𝑜𝑟 𝐴
2
𝑟𝐴
= 𝐺𝑀𝑆
𝑟𝐴
2
albo
zapisanie wzoru na prędkość (lub jej kwadrat) orbitalną wynikającego z powyższej relacji, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝑣𝑜𝑟 𝐴
2
= 𝐺𝑀𝑆
𝑟𝐴
albo 𝑣𝑜𝑟 𝐴= √𝐺𝑀𝑆
𝑟𝐴
Warunek VA
Spełnienie warunków ZZE_wzory oraz Fdo=Fg_wzory, oraz wyprowadzenie i zapisanie
równania, z którego można wyznaczyć v𝐴 w zależności tylko od v𝑜𝑟𝐴 i v∞𝐴, np. zapisy
równoważne poniższym:
ZZE_wzory oraz Fdo=Fg_wzory → 1
2 𝑣𝐴
2 -𝑣𝑜𝑟 𝐴
2
= 1
2𝑣∞ 𝐴
2
Próbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.
Schemat punktowania
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia Δv𝐴 w zależności tylko od v𝑜𝑟𝐴 i v∞𝐴 oraz zapisanie
prawidłowej postaci wzoru na Δv𝐴:
metoda → Δ𝑣𝐴= √2 ⋅𝑣𝑜𝑟 𝐴
2

\n\n

2
-𝑣𝑜𝑟 𝐴
3 pkt - spełnienie warunku VA
LUB

\n\n

2 pkt - spełnienie warunków: ZZE_wzory oraz RÓŻNICA
LUB

\n\n

LUB

\n\n

1 pkt - spełnienie warunków: ZZE oraz RÓŻNICA
LUB

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zapiszemy wzór na zmianę wartości prędkości sondy o Δv𝐴 (w kierunku stycznym do orbity):

\n
  1. Δ𝑣𝐴= 𝑣𝐴-𝑣𝑜𝑟 𝐴
\n

Wyznaczymy v𝐴 - wartość prędkości, jaką musi mieć sonda (po wyłączeniu silników), aby
z punktu orbity odległego od środka Słońca o 𝑟𝐴 mogła uciec z pola grawitacyjnego Słońca
i nieskończenie daleko od Słońca poruszać się z prędkością o wartości v∞𝐴.
Wykorzystamy zasadę zachowania energii mechanicznej dla sondy. Energia mechaniczna
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝐴 sondy w punkcie orbity, ale po zwiększeniu prędkości i wyłączeniu silników, jest
równa energii mechanicznej 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ ∞ 𝐴 sondy poza sferą oddziaływania Słońca:

\n
  1. 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝐴= 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ ∞ 𝐴
\n

Energia 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝐴 sondy jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej, natomiast
energia 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ ∞ 𝐴 jest równa tylko energii kinetycznej, jaką uzyska sonda poza sferą
oddziaływania ze Słońcem:

\n
  1. 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑟𝐴+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑟𝐴= 𝐸𝑘𝑖𝑛 ∞ 𝐴
\n

Wykorzystamy wzór na energię kinetyczną oraz wzór na energię potencjalną:
4a) 1
2 𝑚𝐴𝑣𝐴
2 -𝐺𝑀𝑆𝑚𝐴
𝑟𝐴
= 1
2 𝑚𝐴𝑣∞ 𝐴
2
gdzie 𝑚𝐴 jest masą sondy, 𝑀𝑆 jest masą Słońca. Po przekształceniu równania 4a)
otrzymamy:
4b) 𝑣𝐴
2 -2 ⋅𝐺𝑀𝑆
𝑟𝐴
= 𝑣∞ 𝐴
2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Gdy sonda porusza się swobodnie po orbicie kołowej z prędkością 𝑣𝑜𝑟 𝐴, to siła grawitacji
pełni funkcję siły dośrodkowej:
5a) 𝑚𝐴𝑣𝑜𝑟 𝐴
2
𝑟𝐴
= 𝐺𝑀𝑆𝑚𝐴
𝑟𝐴
2
→ 5b) 𝑣𝑜𝑟 𝐴
2
= 𝐺𝑀𝑆
𝑟𝐴
Równanie 5b) wykorzystamy w równaniu 4b):

\n
  1. 𝑣𝐴
\n

2 -2 ⋅𝑣𝑜𝑟 𝐴
2
= 𝑣∞ 𝐴
2
Zatem:
7a) 𝑣𝐴
2 = 2 ⋅𝑣𝑜𝑟 𝐴
2

\n\n

2
→ 7b) 𝑣𝐴= √2 ⋅𝑣𝑜𝑟 𝐴
2

\n\n

2
Wynik z 7b) wykorzystamy w równaniu 1):

\n
  1. Δ𝑣𝐴= √2 ⋅𝑣𝑜𝑟 𝐴
\n

2

\n\n

2
-𝑣𝑜𝑟 𝐴
Próbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.

","solutions":[]}