Zadanie 8.1. (0-3)
Promień światła P1 biegnie równolegle do osi symetrii zwierciadła sferycznego Z i pada na
jego powierzchnię w punkcie 𝐷 pod kątem 𝛼. Następnie promień światła odbity od
zwierciadła Z w punkcie 𝐷 biegnie dalej i przecina oś symetrii zwierciadła w punkcie 𝑃.
Sytuację ilustruje rysunek (na rysunku nie oznaczono punktu 𝑃 ani promienia odbitego).
Punkt przecięcia osi symetrii zwierciadła z jego powierzchnią oznaczymy jako 𝑂.
Odległość punktu 𝑃 od punktu 𝑂 oznaczymy jako 𝑥= |𝑂𝑃|.
Promień krzywizny zwierciadła wynosi 𝑅.
Punkt 𝑆 jest środkiem sfery zawierającej powierzchnię zwierciadła.
Kreską przerywaną oznaczono linię pomocniczą do konstrukcji, prostopadłą do odcinka 𝑆𝐷.
Rysunek
Na rysunku wyznacz konstrukcyjnie i oznacz punkt 𝑷.
Następnie wyprowadź wzór na 𝒙 w zależności tylko od 𝑹 oraz od 𝜶.
Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝒙.
Wskazówka: Zauważ, że |∠𝐷𝑆𝑂| = 𝛼.
8.1.
0-1-
2-3
Z
P1
oś symetrii
𝑆
𝛼
𝐷
𝑂
MFAP-R0_100
MFAP-R0_100
Zadanie 8.1. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.6) tworzy [ ] rysunki schematyczne lub
blokowe dla zilustrowania zjawisk […];
I.7) wyodrębnia z tekstów […], rysunków
schematycznych lub blokowych informacje
kluczowe dla opisywanego zjawiska […];
I.19) tworzy modele fizyczne lub matematyczne
wybranych zjawisk i opisuje ich założenia;
ilustruje prawa i zależności fizyczne
z wykorzystaniem tych założeń.
IX.2) (SP) opisuje zjawisko odbicia od
powierzchni płaskiej i od powierzchni
sferycznej;
IX.4) (SP) analizuje bieg promieni
wychodzących z punktu w różnych kierunkach,
a następnie odbitych […] od zwierciadeł
sferycznych; opisuje skupianie promieni
w zwierciadle wklęsłym.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawne wyznaczenie konstrukcyjne położenia punktu 𝑃 oraz poprawna metoda
wyprowadzenia wzoru na 𝑥 w zależności tylko od 𝑅 i od 𝛼, oraz podanie prawidłowej
postaci wzoru:
𝑥= 𝑅-
𝑅
2 cos 𝛼
2 pkt - poprawne wyznaczenie konstrukcyjne i narysowanie promienia odbitego od punktu
𝐷 pod kątem odbicia równym kątowi padania oraz poprawne wyznaczenie
i oznaczenie punktu 𝑃, oraz zauważenie, że |𝑆𝑃| = |𝑃𝐷|.
1 pkt - poprawne wyznaczenie konstrukcyjne i narysowanie promienia odbitego od punktu 𝐷
pod kątem odbicia równym kątowi padania.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
W celu wyznaczenia konstrukcyjnego punktu 𝑃, skonstruujemy promień odbity od
zwierciadła w punkcie 𝐷. Zastosujemy prawo odbicia: kąt padania jest równy kątowi odbicia.
Wykorzystamy linię pomocniczą do odmierzenia równych odcinków, które umożliwią
konstrukcję równych kątów. Wprowadzimy punkty pomocnicze 𝐴, 𝐵, 𝐶. Wtedy:
|∠𝑆𝐷𝐴| = |∠𝐶𝐷𝑆| = 𝛼 gdy |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|
Punkt przecięcia promienia odbitego z osią symetrii zwierciadła oznaczamy jako 𝑃.
Zgodnie z powyższymi warunkami wyznaczymy konstrukcyjnie na rysunku punkt 𝑃.
Próbny egzamin maturalny z fizyki - styczeń 2026 r.
Poniżej konstrukcja:
Następnie wyprowadzimy wzór na 𝑥= |𝑂𝑃|.
Zauważamy, że |∠𝐷𝑆𝑂| = 𝛼 ponieważ ∠𝐷𝑆𝑂 i kąt padania ∠𝐴𝐷𝑆 są naprzemianległe.
Z tego wynika, że trójkąt 𝑆𝑃𝐷 jest równoramienny. Zatem wysokość opuszczona
z wierzchołka 𝑃 na bok 𝑆𝐷 dzieli go na dwie równe części, równe połowie promienia
krzywizny zwierciadła:
|𝑆𝐺| = |𝐺𝐷| = 𝑅
2
Wyznaczymy długość odcinka 𝑆𝑃:
cos 𝛼=
|𝑆𝐺|
|𝑆𝑃| =
𝑅
2
|𝑆𝑃| → |𝑆𝑃| =
𝑅
2 cos 𝛼
Zauważmy, że:
|𝑂𝑃| = |𝑆𝑂| -|𝑆𝑃|
Zgodnie z oznaczeniami wielkości w zadaniu otrzymujemy ostatecznie:
𝑥= 𝑅-
𝑅
2 cos 𝛼
Z
P1
oś symetrii
𝑆
𝛼
𝐷
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝛼
𝑃
𝛼
𝐺
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Komentarz do uzyskanego wzoru
Zauważmy, że dla małych kątów padania dla wzoru na 𝑥 możemy stosować przybliżenie:
𝑥≈𝑅
2
Dowód:
𝑥= lim
𝛼→0 (𝑅-
𝑅
2 cos 𝛼) = 𝑅-
𝑅
2 lim
𝛼→0 cos 𝛼= 𝑅-𝑅
2 ⋅1 = 𝑅-𝑅
2 = 𝑅
2
Przykłady:
Rozważmy kąty padania 30°, 20°, 10°, 5°. Dla każdego z nich obliczymy położenie punktu 𝑃:
𝑥(30°) = 𝑅-
𝑅
2 cos 30° ≈0,423𝑅
𝑥(20°) = 𝑅-
𝑅
2 cos 20° ≈0,468𝑅
𝑥(10°) = 𝑅-
𝑅
2 cos 10° ≈0,492𝑅
𝑥(5°) = 𝑅-
𝑅
2 cos 5° ≈0,498𝑅
Widzimy, że coraz lepsze przybliżenie ogniskowej zwierciadła sferycznego (𝑓=
𝑅
2)
uzyskujemy dla coraz mniejszych kątów padania.
Podsumowanie:
Ognisko zwierciadła sferycznego jest punktem granicznym dla ciągu punktów 𝑃𝑛,
odpowiadających ciągowi kątów padania 𝛼𝑛 zbieżnemu do zera.
$x = R - \\dfrac{R}{2 \\cos \\alpha}$
"}]}