{"id":"geografia-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/3.3","paper_id":"geografia-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"3.3","points":2,"ptype":"open","subject":"geografia","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.3. (0-2)\nOblicz średni spadek terenu wzdłuż wyciągu narciarskiego na Wielką Sowę. Przyjmij,\nże długość w terenie tego wyciągu wynosi 1465 m, a górna stacja jest położona na\nwysokości 1010 m n.p.m. Wynik podaj w %. Zapisz obliczenia.\nObliczenia:\nŚredni spadek terenu %","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.3. (0-2)\nIV etap edukacyjny\nIV. Pozyskiwanie, przetwarzanie oraz\nprezentowanie informacji na podstawie\nróżnych źródeł informacji geograficznej\n[…].\nIV etap edukacyjny\n1.3) Zdający odczytuje i opisuje cechy\nśrodowiska przyrodniczego\n(np. ukształtowanie i rzeźbę terenu […]\nna podstawie mapy topograficznej […].\nSchemat punktowania\n2 p. - za poprawny sposób obliczenia spadku terenu i poprawny wynik.\n1 p. - za poprawny sposób obliczenia spadku terenu.\n0 p. - za odpowiedź, która nie spełnia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe odpowiedzi\nRozwiązanie I\nDolna stacja znajduje się na wysokości 700 m n.p.m.\n1010 m n.p.m.  700 m n.p.m. = 310 m\na2 + b2 = c2 gdzie b = 310 m, c = 1465 m\na2 = (1465 m)2 - (310 m)2\na2 = 2050125 m2\na ≈ 1431,8 m\nx =\n310 m\n∙ 100%\n1431,8 m\nx = 21,65%\nRozwiązanie II\nDolna stacja znajduje się na wysokości 700 m n.p.m.\n1010 m n.p.m.  700 m n.p.m. = 310 m\nx =\n310 m ∙ 100%\n1465 m\nx = 21,16%","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nŚredni spadek terenu wzdłuż wyciągu narciarskiego na Wielką Sowę wynosi **≈ 21,65%** (dokładnie, metodą trygonometryczną) lub **≈ 21,16%** (w przybliżeniu, metodą uproszczoną).\n\n## Sposób 1 - przez odległość poziomą (metoda dokładna, Pitagoras)\n\n**Krok 1. Odczytaj wysokość dolnej stacji z mapy topograficznej.**\n\nZ mapy barwnej arkusza odczytujemy, że dolna stacja wyciągu na Wielką Sowę leży na wysokości **700 m n.p.m.**\n\n**Krok 2. Oblicz różnicę wysokości (deniwelację).**\n\n\\[\n\\Delta h = 1010 \\text{ m} - 700 \\text{ m} = 310 \\text{ m}\n\\]\n\n**Krok 3. Wyznacz odległość poziomą (rzut poziomy wyciągu).**\n\nWyciąg o długości \\(c = 1465 \\text{ m}\\) w terenie to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, gdzie jedna przyprostokątna to deniwelacja \\(b = 310 \\text{ m}\\), a szukana przyprostokątna \\(a\\) to odległość pozioma.\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[\na^2 = c^2 - b^2 = (1465)^2 - (310)^2 = 2\\,145\\,225 - 96\\,100 = 2\\,049\\,125\n\\]\n\n\\[\na = \\sqrt{2\\,049\\,125} \\approx 1431{,}8 \\text{ m}\n\\]\n\n**Krok 4. Oblicz spadek terenu.**\n\nSpadek terenu w % to stosunek deniwelacji do odległości **poziomej**, pomnożony przez 100:\n\n\\[\ns = \\frac{\\Delta h}{a} \\cdot 100\\% = \\frac{310}{1431{,}8} \\cdot 100\\% \\approx \\mathbf{21{,}65\\%}\n\\]\n\n## Sposób 2 - przez długość w terenie (metoda uproszczona)\n\nJeśli zamiast odległości poziomej użyjemy długości wyciągu w terenie (1465 m) jako mianownika, unikamy obliczania Pitagorasa. To uproszczenie - zawyżamy mianownik, więc wynik będzie nieco mniejszy niż dokładny.\n\n\\[\ns = \\frac{\\Delta h}{c} \\cdot 100\\% = \\frac{310}{1465} \\cdot 100\\% \\approx \\mathbf{21{,}16\\%}\n\\]\n\nKlucz CKE akceptuje obie metody jako poprawne.\n\n## Schemat oceniania CKE - ile punktów za co\n\n> 📋 **Klucz CKE - schemat punktowania (zadanie 3.3, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - za **poprawny sposób obliczenia** spadku terenu ORAZ **poprawny wynik** (≈ 21,65% lub ≈ 21,16% w zależności od metody). Obliczenia muszą być zapisane.\n> - **1 pkt** - za **poprawny sposób obliczenia** (poprawna formuła i tok rozumowania), ale wynik błędny (np. błąd arytmetyczny lub błędne odczytanie wysokości z mapy - np. 710 m zamiast 700 m, ale wzór zastosowany prawidłowo).\n> - **0 pkt** - za odpowiedź niespełniającą powyższych kryteriów (brak obliczeń, samo wpisanie wyniku bez toku, błędna formuła).\n> - **Akceptowane warianty:** zarówno metoda z Pitagorasem (wynik ~21,65%), jak i uproszczona z długością w terenie (wynik ~21,16%) są w pełni poprawne.\n> - **Wykluczone:** podanie samego wyniku bez obliczenia (treść wymaga: \"Zapisz obliczenia\").\n\n⚠️ Warunek konieczny do zdobycia punktu: **wysokość dolnej stacji musi być odczytana z mapy** - zadanie nie podaje jej wprost.\n\n## Wzory i referencje\n\n> 📐 **Spadek terenu (nachylenie)**:\n> \\[\n> s = \\frac{\\Delta h}{d_\\text{pozioma}} \\cdot 100\\%\n> \\]\n> gdzie \\(\\Delta h\\) - deniwelacja (różnica wysokości), \\(d_\\text{pozioma}\\) - odległość pozioma między punktami.\n\n> 📐 **Twierdzenie Pitagorasa** (gdy znana jest długość trasy w terenie):\n> \\[\n> d_\\text{pozioma} = \\sqrt{d_\\text{teren}^2 - \\Delta h^2}\n> \\]\n> Długość trasy w terenie to przeciwprostokątna; deniwelacja to jedna z przyprostokątnych.\n\n> 🗺️ **Mapa topograficzna**: wysokość stacji odczytujemy z poziomic lub sygnatur punktów wysokościowych (liczby przy szczytach / obiektach). W tym zadaniu dolna stacja wyciągu na Wielką Sowę: **700 m n.p.m.**\n\n## Dlaczego inne podejścia są błędne\n\n| Błędne podejście | Dlaczego niedopuszczalne |\n| Pominięcie obliczenia \\(\\Delta h\\) i użycie 1010 m jako deniwelacji | Myli się wysokość bezwzględną górnej stacji z różnicą wysokości - brak odczytu dolnej stacji z mapy |\n| Użycie 1465 m jako odległości poziomej bez korekty | Metoda uproszczona - ale akceptowana przez CKE; błędem byłoby twierdzenie, że to odległość pozioma, bez świadomości uproszczenia |\n| Wynik w promilach (‰) zamiast w % | Polecenie wprost wymaga wyniku w %, nie ‰ |\n| Brak zapisu obliczeń (samo wpisanie wyniku) | Polecenie: \"Zapisz obliczenia\" - brak toku = 0 pkt nawet przy dobrym wyniku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka 1:** Zadanie **nie podaje** wysokości dolnej stacji wyciągu - trzeba ją **odczytać z mapy topograficznej** dołączonej do arkusza. Bez tego kroku nie da się obliczyć deniwelacji. Dolna stacja = 700 m n.p.m.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2:** Nie mylić **długości w terenie** (= wzdłuż stoku, po powierzchni, 1465 m) z **odległością poziomą** (= rzut na mapę, krótszy). Spadek liczymy przez odległość poziomą. Klucz dopuszcza uproszczenie z 1465 m jako mianownikiem, ale dokładna metoda wymaga Pitagorasa.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3:** Wynik musi być w **%** - nie w °, nie w ‰. Dla porównania: 21,65% to nachylenie ok. 12°, co odpowiada trudnemu stokowi narciarskiemu (stok czerwony/czarny).","image":"img/geografia-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-3.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Geografia · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Geografia","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.3. (0-2)
Oblicz średni spadek terenu wzdłuż wyciągu narciarskiego na Wielką Sowę. Przyjmij,
że długość w terenie tego wyciągu wynosi 1465 m, a górna stacja jest położona na
wysokości 1010 m n.p.m. Wynik podaj w %. Zapisz obliczenia.
Obliczenia:
Średni spadek terenu %

","answer_text_html":"

Zadanie 3.3. (0-2)
IV etap edukacyjny
IV. Pozyskiwanie, przetwarzanie oraz
prezentowanie informacji na podstawie
różnych źródeł informacji geograficznej
[…].
IV etap edukacyjny
1.3) Zdający odczytuje i opisuje cechy
środowiska przyrodniczego
(np. ukształtowanie i rzeźbę terenu […]
na podstawie mapy topograficznej […].
Schemat punktowania
2 p. - za poprawny sposób obliczenia spadku terenu i poprawny wynik.
1 p. - za poprawny sposób obliczenia spadku terenu.
0 p. - za odpowiedź, która nie spełnia powyższych kryteriów.
Przykładowe odpowiedzi
Rozwiązanie I
Dolna stacja znajduje się na wysokości 700 m n.p.m.
1010 m n.p.m.  700 m n.p.m. = 310 m
a2 + b2 = c2 gdzie b = 310 m, c = 1465 m
a2 = (1465 m)2 - (310 m)2
a2 = 2050125 m2
a ≈ 1431,8 m
x =
310 m
∙ 100%
1431,8 m
x = 21,65%
Rozwiązanie II
Dolna stacja znajduje się na wysokości 700 m n.p.m.
1010 m n.p.m.  700 m n.p.m. = 310 m
x =
310 m ∙ 100%
1465 m
x = 21,16%

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Średni spadek terenu wzdłuż wyciągu narciarskiego na Wielką Sowę wynosi ≈ 21,65% (dokładnie, metodą trygonometryczną) lub ≈ 21,16% (w przybliżeniu, metodą uproszczoną).

\n

Sposób 1 - przez odległość poziomą (metoda dokładna, Pitagoras)

\n

Krok 1. Odczytaj wysokość dolnej stacji z mapy topograficznej.

\n

Z mapy barwnej arkusza odczytujemy, że dolna stacja wyciągu na Wielką Sowę leży na wysokości 700 m n.p.m.

\n

Krok 2. Oblicz różnicę wysokości (deniwelację).

\n
Δh=1010 m−700 m=310 m
\n

Krok 3. Wyznacz odległość poziomą (rzut poziomy wyciągu).

\n

Wyciąg o długości c=1465 m w terenie to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, gdzie jedna przyprostokątna to deniwelacja b=310 m, a szukana przyprostokątna a to odległość pozioma.

\n

Z twierdzenia Pitagorasa:

\n
a2=c2−b2=(1465)2−(310)2=2145225−96100=2049125
\n
a=2049125≈1431,8 m
\n

Krok 4. Oblicz spadek terenu.

\n

Spadek terenu w % to stosunek deniwelacji do odległości poziomej, pomnożony przez 100:

\n
s=Δha·100%=3101431,8·100%≈21,65%
\n

Sposób 2 - przez długość w terenie (metoda uproszczona)

\n

Jeśli zamiast odległości poziomej użyjemy długości wyciągu w terenie (1465 m) jako mianownika, unikamy obliczania Pitagorasa. To uproszczenie - zawyżamy mianownik, więc wynik będzie nieco mniejszy niż dokładny.

\n
s=Δhc·100%=3101465·100%≈21,16%
\n

Klucz CKE akceptuje obie metody jako poprawne.

\n

Schemat oceniania CKE - ile punktów za co

\n
📋 Klucz CKE - schemat punktowania (zadanie 3.3, max 2 pkt):
- 2 pkt - za poprawny sposób obliczenia spadku terenu ORAZ poprawny wynik (≈ 21,65% lub ≈ 21,16% w zależności od metody). Obliczenia muszą być zapisane.
- 1 pkt - za poprawny sposób obliczenia (poprawna formuła i tok rozumowania), ale wynik błędny (np. błąd arytmetyczny lub błędne odczytanie wysokości z mapy - np. 710 m zamiast 700 m, ale wzór zastosowany prawidłowo).
- 0 pkt - za odpowiedź niespełniającą powyższych kryteriów (brak obliczeń, samo wpisanie wyniku bez toku, błędna formuła).
- Akceptowane warianty: zarówno metoda z Pitagorasem (wynik ~21,65%), jak i uproszczona z długością w terenie (wynik ~21,16%) są w pełni poprawne.
- Wykluczone: podanie samego wyniku bez obliczenia (treść wymaga: "Zapisz obliczenia").
\n

⚠️ Warunek konieczny do zdobycia punktu: wysokość dolnej stacji musi być odczytana z mapy - zadanie nie podaje jej wprost.

\n

Wzory i referencje

\n
📐 Spadek terenu (nachylenie):
>s=Δhdpozioma·100%>
gdzie Δh - deniwelacja (różnica wysokości), dpozioma - odległość pozioma między punktami.
\n
📐 Twierdzenie Pitagorasa (gdy znana jest długość trasy w terenie):
>dpozioma=dteren2−Δh2>
Długość trasy w terenie to przeciwprostokątna; deniwelacja to jedna z przyprostokątnych.
\n
🗺️ Mapa topograficzna: wysokość stacji odczytujemy z poziomic lub sygnatur punktów wysokościowych (liczby przy szczytach / obiektach). W tym zadaniu dolna stacja wyciągu na Wielką Sowę: 700 m n.p.m.
\n

Dlaczego inne podejścia są błędne

\n

| Błędne podejście | Dlaczego niedopuszczalne |
| Pominięcie obliczenia Δh i użycie 1010 m jako deniwelacji | Myli się wysokość bezwzględną górnej stacji z różnicą wysokości - brak odczytu dolnej stacji z mapy |
| Użycie 1465 m jako odległości poziomej bez korekty | Metoda uproszczona - ale akceptowana przez CKE; błędem byłoby twierdzenie, że to odległość pozioma, bez świadomości uproszczenia |
| Wynik w promilach (‰) zamiast w % | Polecenie wprost wymaga wyniku w %, nie ‰ |
| Brak zapisu obliczeń (samo wpisanie wyniku) | Polecenie: "Zapisz obliczenia" - brak toku = 0 pkt nawet przy dobrym wyniku |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Pułapka 1: Zadanie nie podaje wysokości dolnej stacji wyciągu - trzeba ją odczytać z mapy topograficznej dołączonej do arkusza. Bez tego kroku nie da się obliczyć deniwelacji. Dolna stacja = 700 m n.p.m.
\n
⚠️ Pułapka 2: Nie mylić długości w terenie (= wzdłuż stoku, po powierzchni, 1465 m) z odległością poziomą (= rzut na mapę, krótszy). Spadek liczymy przez odległość poziomą. Klucz dopuszcza uproszczenie z 1465 m jako mianownikiem, ale dokładna metoda wymaga Pitagorasa.
\n
⚠️ Pułapka 3: Wynik musi być w % - nie w °, nie w ‰. Dla porównania: 21,65% to nachylenie ok. 12°, co odpowiada trudnemu stokowi narciarskiemu (stok czerwony/czarny).
"}]}