{"id":"geografia-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"geografia-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":1,"ptype":"open","subject":"geografia","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-1)\nKopalnia porfiru „Zalas” zajmuje w terenie powierzchnię 0,75 km2.\nOblicz powierzchnię, którą kopalnia zajmuje na mapie. Wynik podaj w cm2. Zapisz\nobliczenia.\nObliczenia:\nOdpowiedź: cm2","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nIV etap edukacyjny\nIV. Pozyskiwanie, przetwarzanie oraz\nprezentowanie informacji na podstawie\nróżnych źródeł informacji geograficznej […].\nIV etap edukacyjny\n1.2) Zdający oblicza powierzchnię na\npodstawie map wykonanych w różnych\nskalach.\nSchemat punktowania\n1 p. - za poprawny sposób obliczenia i poprawny wynik.\n0 p. - za odpowiedź, która nie spełnia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nSkala 1 : 25 000\n1 cm - 0,25 km\n1 cm2 - 0,0625 km2\nx cm2 - 0,75 km2\nx = 12 cm2","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nPowierzchnia kopalni na mapie: **12 cm²**\n\n## Sposób 1 - proporcja przez jednostkę mapy\n\nMapa jest w skali **1 : 25 000**, czyli:\n\n\\[ 1 \\text{ cm} = 25\\,000 \\text{ cm} = 250 \\text{ m} = 0{,}25 \\text{ km} \\]\n\nPrzeliczamy powierzchnię:\n\n\\[ 1 \\text{ cm}^2 = 0{,}25 \\text{ km} \\times 0{,}25 \\text{ km} = 0{,}0625 \\text{ km}^2 \\]\n\nUstawiamy proporcję:\n\n\\[ \\frac{x \\text{ cm}^2}{0{,}75 \\text{ km}^2} = \\frac{1 \\text{ cm}^2}{0{,}0625 \\text{ km}^2} \\]\n\n\\[ x = \\frac{0{,}75}{0{,}0625} = \\mathbf{12 \\text{ cm}^2} \\]\n\n## Sposób 2 - wzór ogólny przez \\(M^2\\)\n\nSkala 1 : M, gdzie \\(M = 25\\,000\\).\n\nPowierzchnia na mapie:\n\n\\[ P_\\text{mapa} = \\frac{P_\\text{teren}}{M^2} \\]\n\nZamieniamy jednostki: \\(0{,}75 \\text{ km}^2 = 0{,}75 \\times 10^{10} \\text{ cm}^2 = 7{,}5 \\times 10^9 \\text{ cm}^2\\)\n\n\\[ P_\\text{mapa} = \\frac{7{,}5 \\times 10^9 \\text{ cm}^2}{(25\\,000)^2} = \\frac{7{,}5 \\times 10^9}{6{,}25 \\times 10^8} = \\mathbf{12 \\text{ cm}^2} \\]\n\n## Schemat oceniania CKE - ile punktów za co\n\n> 📋 **Klucz CKE - schemat punktowania (zadanie 14, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - za **poprawny sposób obliczenia** (widoczne działanie / proporcja) **ORAZ** poprawny wynik: **12 cm²**\n> - **0 pkt** - za sam wynik bez zapisu obliczeń, za błędny wynik, za odpowiedź niepełną (np. tylko przeliczenie 1 cm² bez dokończenia)\n>\n> **Akceptowane warianty zapisu obliczeń:** proporcja, wzór \\(P = P_\\text{teren} / M^2\\), podstawienie przez kolejne przeliczenia - każda forma, która pokazuje tok myślenia.\n>\n> **Wykluczone:** odpowiedź „12 cm²\" bez żadnych obliczeń - klucz wymaga **widocznego sposobu**.\n\n## Wzory i referencje\n\n> 📐 **Skala mapy i przeliczanie powierzchni:**\n> \\[ P_\\text{teren} = P_\\text{mapa} \\cdot M^2 \\]\n> Skala 1 : 25 000 → \\(M = 25\\,000\\). Przy powierzchniach skalujemy przez \\(M^2\\), nie przez \\(M\\) - bo wymiar liniowy podniesiony do kwadratu daje wymiar powierzchniowy.\n>\n> 📌 **Kluczowe przeliczenie:** 1 km = 100 000 cm → 1 km² = \\(10^{10}\\) cm². Albo krócej: w skali 1 : 25 000 → 1 cm odpowiada 0,25 km, więc 1 cm² odpowiada \\(0{,}25^2 = 0{,}0625\\) km².\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi |\n| **3 cm²** | Podzielono 0,75 przez 0,25 zamiast przez 0,0625 - zastosowano skalę liniową zamiast powierzchniowej |\n| **187 500 cm²** | Pomnożono 0,75 km² × 25 000 zamiast przez \\(M^2\\) |\n| **0,03 cm²** | Pomnożono przez \\(M^2\\) ale nie przeliczono km² na cm² |\n| **18 750 cm²** | Przeliczono 0,75 km = 75 000 cm i pomnożono przez 0,25 - błąd na etapie jednostek |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga 1:** Przy przeliczaniu powierzchni skala działa przez **kwadrat** - jeśli 1 cm = 0,25 km, to 1 cm² = **0,0625 km²**, nie 0,25 km². To najczęstszy błąd prowadzący do wyniku 3 cm².\n\n> ⚠️ **Uwaga 2:** Klucz CKE wymaga **zapisu obliczeń** - sam wynik „12 cm²\" bez pokazanej proporcji lub wzoru daje **0 punktów**. Napisz przynajmniej jedną linię z działaniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga 3:** Skalę mapy (1 : 25 000) należy odczytać z mapy dołączonej do arkusza - upewnij się, że czytasz właściwą legendę, bo w arkuszu może być kilka map o różnych skalach.","image":"img/geografia-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Geografia · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Geografia","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Kopalnia porfiru „Zalas” zajmuje w terenie powierzchnię 0,75 km2.<br>Oblicz powierzchnię, którą kopalnia zajmuje na mapie. Wynik podaj w cm2. Zapisz<br>obliczenia.<br>Obliczenia:<br>Odpowiedź: cm2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>IV etap edukacyjny<br>IV. Pozyskiwanie, przetwarzanie oraz<br>prezentowanie informacji na podstawie<br>różnych źródeł informacji geograficznej […].<br>IV etap edukacyjny<br>1.2) Zdający oblicza powierzchnię na<br>podstawie map wykonanych w różnych<br>skalach.<br>Schemat punktowania<br>1 p. - za poprawny sposób obliczenia i poprawny wynik.<br>0 p. - za odpowiedź, która nie spełnia powyższego kryterium.<br>Poprawna odpowiedź<br>Skala 1 : 25 000<br>1 cm - 0,25 km<br>1 cm2 - 0,0625 km2<br>x cm2 - 0,75 km2<br>x = 12 cm2</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<p>Powierzchnia kopalni na mapie: <strong>12 cm²</strong></p>\n<h4>Sposób 1 - proporcja przez jednostkę mapy</h4>\n<p>Mapa jest w skali <strong>1 : 25 000</strong>, czyli:</p>\n<p>\\[ 1 \\text{ cm} = 25\\,000 \\text{ cm} = 250 \\text{ m} = 0{,}25 \\text{ km} \\]</p>\n<p>Przeliczamy powierzchnię:</p>\n<p>\\[ 1 \\text{ cm}^2 = 0{,}25 \\text{ km} \\times 0{,}25 \\text{ km} = 0{,}0625 \\text{ km}^2 \\]</p>\n<p>Ustawiamy proporcję:</p>\n<p>\\[ \\frac{x \\text{ cm}^2}{0{,}75 \\text{ km}^2} = \\frac{1 \\text{ cm}^2}{0{,}0625 \\text{ km}^2} \\]</p>\n<p>\\[ x = \\frac{0{,}75}{0{,}0625} = \\mathbf{12 \\text{ cm}^2} \\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wzór ogólny przez \\(M^2\\)</h4>\n<p>Skala 1 : M, gdzie \\(M = 25\\,000\\).</p>\n<p>Powierzchnia na mapie:</p>\n<p>\\[ P_\\text{mapa} = \\frac{P_\\text{teren}}{M^2} \\]</p>\n<p>Zamieniamy jednostki: \\(0{,}75 \\text{ km}^2 = 0{,}75 \\times 10^{10} \\text{ cm}^2 = 7{,}5 \\times 10^9 \\text{ cm}^2\\)</p>\n<p>\\[ P_\\text{mapa} = \\frac{7{,}5 \\times 10^9 \\text{ cm}^2}{(25\\,000)^2} = \\frac{7{,}5 \\times 10^9}{6{,}25 \\times 10^8} = \\mathbf{12 \\text{ cm}^2} \\]</p>\n<h4>Schemat oceniania CKE - ile punktów za co</h4>\n<blockquote>📋 <strong>Klucz CKE - schemat punktowania (zadanie 14, max 1 pkt):</strong><br>- <strong>1 pkt</strong> - za <strong>poprawny sposób obliczenia</strong> (widoczne działanie / proporcja) <strong>ORAZ</strong> poprawny wynik: <strong>12 cm²</strong><br>- <strong>0 pkt</strong> - za sam wynik bez zapisu obliczeń, za błędny wynik, za odpowiedź niepełną (np. tylko przeliczenie 1 cm² bez dokończenia)<br><br><strong>Akceptowane warianty zapisu obliczeń:</strong> proporcja, wzór \\(P = P_\\text{teren} / M^2\\), podstawienie przez kolejne przeliczenia - każda forma, która pokazuje tok myślenia.<br><br><strong>Wykluczone:</strong> odpowiedź „12 cm²&quot; bez żadnych obliczeń - klucz wymaga <strong>widocznego sposobu</strong>.</blockquote>\n<h4>Wzory i referencje</h4>\n<blockquote>📐 <strong>Skala mapy i przeliczanie powierzchni:</strong><br>\\[ P_\\text{teren} = P_\\text{mapa} \\cdot M^2 \\]<br>Skala 1 : 25 000 → \\(M = 25\\,000\\). Przy powierzchniach skalujemy przez \\(M^2\\), nie przez \\(M\\) - bo wymiar liniowy podniesiony do kwadratu daje wymiar powierzchniowy.<br><br>📌 <strong>Kluczowe przeliczenie:</strong> 1 km = 100 000 cm → 1 km² = \\(10^{10}\\) cm². Albo krócej: w skali 1 : 25 000 → 1 cm odpowiada 0,25 km, więc 1 cm² odpowiada \\(0{,}25^2 = 0{,}0625\\) km².</blockquote>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Błędny wynik | Skąd pochodzi |<br>| <strong>3 cm²</strong> | Podzielono 0,75 przez 0,25 zamiast przez 0,0625 - zastosowano skalę liniową zamiast powierzchniowej |<br>| <strong>187 500 cm²</strong> | Pomnożono 0,75 km² × 25 000 zamiast przez \\(M^2\\) |<br>| <strong>0,03 cm²</strong> | Pomnożono przez \\(M^2\\) ale nie przeliczono km² na cm² |<br>| <strong>18 750 cm²</strong> | Przeliczono 0,75 km = 75 000 cm i pomnożono przez 0,25 - błąd na etapie jednostek |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga 1:</strong> Przy przeliczaniu powierzchni skala działa przez <strong>kwadrat</strong> - jeśli 1 cm = 0,25 km, to 1 cm² = <strong>0,0625 km²</strong>, nie 0,25 km². To najczęstszy błąd prowadzący do wyniku 3 cm².</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga 2:</strong> Klucz CKE wymaga <strong>zapisu obliczeń</strong> - sam wynik „12 cm²&quot; bez pokazanej proporcji lub wzoru daje <strong>0 punktów</strong>. Napisz przynajmniej jedną linię z działaniem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga 3:</strong> Skalę mapy (1 : 25 000) należy odczytać z mapy dołączonej do arkusza - upewnij się, że czytasz właściwą legendę, bo w arkuszu może być kilka map o różnych skalach.</blockquote>"}]}