Zadanie 11. (6 pkt)
Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego,
którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem
o
60 .
a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.
b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia
1
2
m potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.
47
OCENIANIE
POZIOM PODSTAWOWY
Przedstawione w tabeli rozwiązania zadań należy traktować jako przykładowe. Odpowiedzi
zdającego mogą przybierać różną formę, ale muszą być poprawne merytorycznie
i rachunkowo.
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Liczba
punktów
1.1 Obliczenie różnicy wydatków: 64 zł.
1
1.2 Obliczenie, ile procent kwoty 3200 zł Kowalscy przeznaczają na
czynsz :
%
5,
12
1
1.3 Obliczenie, ile procent kwoty 3200 zł Kowalscy przeznaczają na
wyżywienie:
%
5,
56
1
1.
1.4 Obliczenie łącznej kwoty, którą państwo Kowalscy przeznaczają
miesięcznie na gaz i energię oraz czynsz: 848 zł.
1
2.1 Obliczenie średniej arytmetycznej:
20
x =
1
2.2 Obliczenie wariancji:
2
19
15
σ
1
2.
2.3 Obliczenie odchylenia standardowego:
1,2(6)
1,125
σ =
≈
1
3.1 Podanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca:
3,0 i 3,6
1
3.2
Podanie zbioru argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości
dodatnie:
)
(
)
(
6
5
1 1
5 6
,
,
,
∪-
∪
1
3.3 Podanie największej wartości funkcji f w przedziale
5 5,
: 1.
1
3.4 Podanie miejsc zerowych funkcji g: 4, 0, 2, 6
1
3.
3.5 Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji h: 2
1
4.1 Wyznaczenie ilorazu ciągu geometrycznego:
3
2
q =
lub
3
2
q = -
i zapisanie odpowiedzi: Są dwa ciągi spełniające warunki zadania.
2
4.
4.2 Obliczenie
6
a :
6
91,125
a =
1
48
5.1
Wykonanie rysunku lub wprowadzenie oznaczeń.
Jeżeli zdający nie wykona rysunku, ale wprowadzi czytelne oznaczenia
przyznajemy punkt.
1
5.2 Obliczenie długości odcinka BC : 120 cm.
1
5.3
Zapisanie zależności sin
BC
CAB
AC
)
i wyznaczenie długości odcinka
AC :
sin 7
BC
AC =
D .
1
5.
5.4 Obliczenie przybliżonej długości podjazdu i podanie odpowiedzi:
980 cm.
1
6.1
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty A i B:
1
8
3
3
y
x
1
6.2 Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB: (
)
1,3 .
1
6.3 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego symetralnej odcinka AB:
3
a = -.
1
6.4 Zapisanie równania symetralnej:
3
6
y
x
1
6.5 Zapisanie układu równań:
3
2
11
0
1
8
0
3
3
x
y
x
y
⎧⎪⎨
⎪⎩
1
6.
6.6 Wyznaczenie współrzędnych punktu C:
(
)
7,5
C =
1
49
7.1
Zauważenie podobieństwa trójkątów ACE i DCB.
Wyznaczenie skali podobieństwa k trójkątów ACE i DCB :
6,5
1
13
2
BC
k
EC
1
7.2
Wyznaczenie zależności między polami trójkątów podobnych
P i
2P :
2
1
4
P
P
1
7.3 Obliczenie długości odcinka AC:
12cm
AC =
1
7.4 Obliczenie pola działki P (na rysunku): P =30 cm2.
1
7.5 Obliczenie pola działki P (w rzeczywistości): P =3000 m2.
1
7.6 Obliczenie pola działki
2P :
2P =750 m2.
1
7.
7.7 Obliczenie kosztu zakupu działki
2P i podanie poprawnej odpowiedzi:
Przeznaczona kwota nie wystarczy na zakup tej działki.
1
8.1
Zapisanie równania opisującego podaną w zadaniu sytuację,
np.:
x
x
x
⋅
2005
)
11
(
)
10
(
, gdzie x oznacza obecny wiek jubilata
(Zapis założenia
0
x
albo
∈N
x
może być pominięty).
1
8.2 Doprowadzenie wyjściowego równania do postaci równania
kwadratowego zupełnego:
0
2115
2
2
x
1
8.3 Rozwiązanie równania:
47
x
oraz
45
x
1
8.
8.4 Zapisanie odpowiedzi: Jubilat urodził się w 1960 roku.
1
9.1 Wyznaczenie wierzchołka paraboli:
(3,4)
W =
1
9.2 Naszkicowanie wykresu funkcji f.
1
9.3 Podanie zbioru wartości funkcji: (
,4
-∞
1
9.4 Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji:
1
1
x = ,
2
5
x =
1
9.
9.5 Podanie zbioru rozwiązań nierówności:
1,5
x∈
1
A
C
E
C
B
D
P
P2
50
10.1 Uzupełnienie tabeli (punkt przyznajemy również w przypadku jednego
błędu nieuwagi).
1
10.2 Podanie liczby wyników sprzyjających wygranej gracza: 16.
1
10.
10.3 Obliczenie prawdopodobieństwa wygranej: 4
9 .
1
11.1 Sporządzenie rysunku i wprowadzenie oznaczeń.
1
11.2 Wyznaczenie wysokości ściany bocznej:
4m
h =
1
11.3 Obliczenie pola powierzchni dachu:
2
32m
P =
1
11.4
Obliczenie liczby dachówek, które należy kupić.
Liczba dachówek bez zapasu - 768.
Liczba dachówek z zapasem - 108
768
829 44
⋅
%
,
2
11.
11.5 Podanie prawidłowej odpowiedzi: 830.
1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie
przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
51
dysleksja
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut
Instrukcja dla zdającego
czy
arkusz
egzaminacyjny
zawiera
14 stron
(zadania 1 - 12). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
przeznaczonym przy każdym zadaniu.
\nrozwiązaniach
zadań
przedstaw
tok
rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
tuszem/atramentem.
\nlinijki oraz kalkulatora.
\nNie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
egzaminatora.
Zamaluj
pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne
zaznaczenie otocz kółkiem
i zaznacz właściwe.
Życzymy powodzenia!
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie
50 punktów
Wypełnia zdający przed
rozpoczęciem pracy
PESEL ZDAJĄCEGO
KOD
ZDAJĄCEGO
Miejsce
na naklejkę
z kodem szkoły
52
Zadanie 1. (6 pkt)
Dany jest ciąg (
)
na
o wyrazie ogólnym
5
3
7
n
n
a
1,2,3,
n =
a) Sprawdź, czy ciąg (
)
na
jest arytmetyczny.
b) Oblicz, dla jakiej wartości x liczby
2
4
11
,
2,
a
x
a
są kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego.
53
Zadanie 2. (3 pkt)
Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich
kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa
400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając
go do jednego metra.
54
Zadanie 3. (3 pkt)
Dana jest funkcja kwadratowa ( )
2
2
1
2 -
x
x
f
a) Narysuj wykres funkcji f w przedziale
)
4 3,
b) Narysuj
wykres
funkcji
)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
x
g
,
której
dziedziną
jest
zbiór
(
)
(
)
(
)
5,
2
2,2
2,5
∪-
∪
c) Zapisz zbiór rozwiązań nierówności
0
)
(
<
x
g
55
Zadanie 4. (4 pkt)
W prostokącie ABCD wierzchołek D połączono odcinkami ze środkami E i F boków AB i BC,
zaś M i N to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną AC (patrz rysunek).
a) Uzasadnij, że odcinki AM, MN i NC są jednakowej długości.
b) Uzasadnij, że trójkąty AEM i CNF mają równe pola.
A
B
C
D
E
F
M
N
56
Zadanie 5. (4 pkt)
Dane są punkty
(
)
32
,4
A
i
(
)
16
,
36
B
. Wykaż, że koło o średnicy AB jest zawarte
w II ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych.
57
Zadanie 6. (6 pkt)
Dany jest wielomian
( )
d
x
cx
x
x
W
7
2
3
a) Wyznacz wartości współczynników c i d wielomianu W, gdy jest podzielny przez
dwumian (
)
2
x
, zaś przy dzieleniu przez dwumian (
)1
x
otrzymujemy resztę 3.
b) Dla
5
c
i
3
d
rozwiąż nierówność
( )
0
W x ≤
58
Zadanie 7. (3 pkt)
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania
2
2cos
cos
x
x
należące do przedziału 0,2π .
59
Zadanie 8. (4 pkt)
Dany jest ciąg
)
(
n
a
o wyrazie ogólnym
1
120
= n
an
dla każdej liczby naturalnej
1
n ≥.
Ze zbioru liczb {
}
1
2
3
11
,
,
,
,
a a a
a
losujemy kolejno, trzy razy po jednej liczbie
ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A - wylosujemy trzy liczby całkowite,
które będą kolejnymi wyrazami ciągu malejącego.
60
Zadanie 9. (6 pkt)
Na okręgu o danym promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie
AB i krótszej CD. Punkt styczności K dzieli ramię BC tak, że
3
2
KB
CK
a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b) Oblicz cosinus kąta CBD .
61
Zadanie 10. (6 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a.
Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 45D . Ostrosłup przecięto
płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi
bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego
przekroju.
62
Zadanie 11. (5 pkt)
Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o równaniu
2
2
25
x
y
. Punkty A i B leżą na prostej o równaniu
5
y
x
a) Oblicz współrzędne punktów: A, B, C.
b) Oblicz kąty trójkąta ABC.
63
OCENIANIE
POZIOM ROZSZERZONY
Przedstawione w tabeli rozwiązania zadań należy traktować jako przykładowe. Odpowiedzi
zdającego mogą przybierać różną formę, ale muszą być poprawne merytorycznie
i rachunkowo.
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Liczba
punktów
1.1 Zapisanie wyrazu
1
na + :
1
2
3
7
n
n
a +
lub
(
)
1
5
3
1
7
n
n
a +
1
1.2
Wyznaczenie różnicy ciągu:
1
3
7
n
n
a
a
oraz zapisanie wniosku: ciąg
(
)
na
jest ciągiem arytmetycznym.
1
1.3 Wyznaczenie wyrazów ciągu (
)
na
:
4
1
a = -;
11
4
a = -.
1
1.4 Wykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego do zapisania
warunków zadania.
1
1.5 Zapisanie równania (alternatywy równań ) z jedną niewiadomą x.
1
1.
1.6 Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi:
0
x =
1
2.1
Zastosowanie twierdzenia sinusów do wyznaczenia szukanej odległości:
np.
400
sin 20
sin30
AB
D
D .
1
2.2 Obliczenie odległości obiektu A od obiektu B:
200
sin 20
AB =
D .
1
2.
2.3 Podanie odpowiedzi: 585 metrów.
1
3.1 Narysowanie wykresu funkcji
2
( )
0,5
2
f x
x
w przedziale
)
4 3,
1
3.2 Narysowanie wykresu funkcji
( )
( )
( )
f x
g x
f x
w podanej dziedzinie.
1
3.
3.3 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:
(
)
2,2
x∈-
1
A
C
B
130D
30D
64
4.1
Wyznaczenie skali podobieństwa par trójkątów podobnych:
CNF
Δ
∼AND
Δ
i AEM
Δ
∼MDC
Δ
:
1
2
k =
1
4.2 Sformułowanie wniosku dotyczącego długości odcinków
,
,
AM MN NC .
1
4.3 Wyznaczenie długości odcinków, które są potrzebne do obliczenia pól
trójkątów AEM i CNF.
1
4.
4.4 Wykazanie równości pól trójkątów.
1
5.1 Wyznaczenie współrzędnych środka koła:
(
)
20,24
S = -
1
5.2 Wyznaczenie długości promienia koła:
8 5
r =
1
5.
5.3 Uzasadnienie odpowiedzi.
2
6.1 Obliczenie wartości
(
)
2
W
oraz
( )1
W
:
(
)
22
4
2
d
c
W
,
( )
8
1
d
c
W
1
6.2 Ułożenie układu równań:
⎩
⎨
⎧
5
22
4
d
c
d
c
1
6.3 Rozwiązanie układu równań:
9,
14
c
d
1
6.5 Wyznaczenie pierwiastków wielomianu:
1
2
1,
3
x
x
2
6.
6.6 Rozwiązanie nierówności:
(
,3
x∈-∞
1
7.1 Wyznaczenie
x
cos z danego równania:
0
cos
x
lub
2
1
cos
x
1
7.
7.2
Wybranie i zapisanie rozwiązań należących do przedziału 0,2π :
1
2
3
3
,
,
3
2
2
x
x
x
π
π
π
,
4
5
3
x =
π .
2
8.1
Zapisanie jedenastu początkowych wyrazów ciągu:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
10
,
11
10
10
,
12
,
3
1
13
,
15
,
7
1
17
,
20
,
24
,
30
,
40
,
60
1
8.2 Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych:
1331
113 =
1
8.3 Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających:
56
3
8 =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
8.
8.4 Obliczenie prawdopodobieństwa: 1331
56 .
1
65
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie
przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
9.1
Wykorzystanie własności czworokąta opisanego na okręgu i stosunku podziału
ramienia BC przez punkt styczności K do wprowadzenia oznaczeń np. długość
ramienia trapezu
x
x
BC
3
2 +
, długości podstaw
x
AB
6
,
x
CD
4
1
9.2 Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i wyznaczenie x:
r
x
6
6
1
9.3 Wyznaczenie długości ramienia:
r
BC
6
6
5
1
9.4 Wyznaczenie długości przekątnej trapezu:
r
BD
6
6
7
1
9.5
Zastosowanie twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD:
2
2
2
2 6
5 6
7 6
5 6
7 6
2
cos
3
6
6
6
6
r
r
r
r
r
CBD
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
-⋅
⋅
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
)
1
9.
9.6 Wykonanie obliczeń i podanie odpowiedzi:
29
cos
35
CBD =
)
1
10.1 Sporządzenie rysunku ostrosłupa z zaznaczonym przekrojem.
1
10.2 Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa:
2
2
a
1
10.3
Wyznaczenie cosinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do
płaszczyzny jego podstawy:
6
cos
3
α
1
10.4 Obliczenie długości wysokości przekroju:
6
4
a
2
10.
10.5 Obliczenie pola przekroju:
2
6
8
S
a .
1
11.1 Wyznaczenie współrzędnych punktów A, B:
(
)
0, 5
A =
,
(
)
5,0
B =
1
11.2 Wyznaczenie równania symetralnej odcinka AB: y
x
1
11.3 Obliczenie współrzędnych punktu C:
5 2 5 2
,
2
2
C
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
2
11.
11.4 Obliczenie miar kątów trójkąta ABC: 45D , 67,5D, 67,5D.
1
Centralna Komisja Egzaminacyjna
ul Łucka 11, 00-842 Warszawa
tel. 022 656 38 00, fax 022 656 37 57
www.cke.edu.pl ckesekr@cke.edu.pl
OKE Gdańsk
ul. Na Stoku 49, 80-874 Gdańsk,
tel. (0-58) 320 55 90, fax.320 55 91
www.oke.gda.pl komisia@oke.gda.pl
OKE Łódź
ul. Praussa 4, 94-203 Łódź
tel. (0-42) 634 91 33 s: 664 80 50/51/52
fax. 634 91 54
www.komisia.pl komisja@komisja.pl
OKE Jaworzno
ul. Mickiewicza 4, 43-600 Jaworzno
tel.(0-32) 616 33 99 w.101
fax.616 33 99 w.108, www.oke.jaw.pl
oke@oke.jaw.pl
OKE Poznań
ul. Gronowa 22, 61-655 Poznań
tel.(0-61) 852 13 07, 852 13 12, fax. 852 14 41
www.oke.poznan.pl
sekretariat@oke.poznan.pl
OKE Kraków
al. F. Focha 39, 30-119 Kraków
tel.(0-12) 618 12 01/02/03, fax.427 28 45
www.oke.krakow.pl oke@oke.krakow.pl
OKE Warszawa
ul. Grzybowska 77, 00-844 Warszawa
tel. (0-22) 457 03 35, fax. 457 03 45
www.oke.waw.pl info@oke.waw.pl
OKE Łomża
ul. Nowa 2, 18-400 Łomża
Tel/fax. (0-86) 216 44 95
www.okelomza.com
sekretariat@oke.lomza.com
OKE Wrocław
ul. Zielińskiego 57, 53-533 Wrocław
tel. sek. (0-71) 785 18 52, fax. 785 18 73
www.oke.wroc.pl sekret@oke.wroc.pl
OKE
GDAŃSK
OKE
ŁOMŻA
OKE
WARSZAWA
OKE
KRAKÓW
OKE
JAWORZNO
OKE
ŁÓDŹ
OKE
WROCŁAW
OKE
POZNAŃ