{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/67","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"67","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 67. (2 pkt)\nPunkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym\nBC\nAC =\n. Odcinek\nAD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że\nCD\nAD\nAB\n(patrz rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech kąt przy podstawie AB: |∢BAC|=|∢ABC|=β (bo AC=BC), wtedy |∢ACB|=180°-2β.\nTrójkąt ABD: AB=AD, więc |∢ABD|=|∢ADB|=β (∢ABD=∢ABC=β), stąd |∢BAD|=180°-2β.\nTrójkąt ADC: AD=DC, więc |∢DAC|=|∢DCA|=|∢BCA|=180°-2β.\nPonieważ |∢BAD|+|∢DAC|=|∢BAC|=β:\n(180°-2β)+(180°-2β)=β\n360°-4β=β\nβ=72°.\nKąt przy C: 180°-2*72°=36°.\nOdpowiedź: kąty trójkąta ABC wynoszą 72°, 72° i 36° (przy A i B po 72°, przy C 36°).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-67.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 67. (2 pkt)<br>Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym<br>BC<br>AC =<br>. Odcinek<br>AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że<br>CD<br>AD<br>AB<br>(patrz rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta ABC.</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Niech kąt przy podstawie AB: |∢BAC|=|∢ABC|=β (bo AC=BC), wtedy |∢ACB|=180°-2β.<br>Trójkąt ABD: AB=AD, więc |∢ABD|=|∢ADB|=β (∢ABD=∢ABC=β), stąd |∢BAD|=180°-2β.<br>Trójkąt ADC: AD=DC, więc |∢DAC|=|∢DCA|=|∢BCA|=180°-2β.<br>Ponieważ |∢BAD|+|∢DAC|=|∢BAC|=β:<br>(180°-2β)+(180°-2β)=β<br>360°-4β=β<br>β=72°.<br>Kąt przy C: 180°-2*72°=36°.<br>Odpowiedź: kąty trójkąta ABC wynoszą 72°, 72° i 36° (przy A i B po 72°, przy C 36°).</p>"}]}