{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/93","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"93","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 93. (2 pkt)\nCzworokąty ABCD i APQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że\nDR\nBP =","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Kwadraty ABCD i APQR mają wspólny wierzchołek A, oba o tej samej orientacji (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, jak na rysunku). Rozważmy obrót ρ o środku A i kącie 90° w kierunku zgodnym z orientacją kwadratów.\nPonieważ ABCD jest kwadratem: |AB|=|AD| oraz |∢BAD|=90°, więc ρ(B)=D.\nPonieważ APQR jest kwadratem (ta sama orientacja): |AP|=|AR| oraz |∢PAR|=90°, więc ρ(P)=R.\nObrót jest izometrią (zachowuje odległości), więc |BP| = |ρ(B)ρ(P)| = |DR|.\nStąd |BP|=|DR|, co należało udowodnić.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-93.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":89,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 93. (2 pkt)<br>Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że<br>DR<br>BP =</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Kwadraty ABCD i APQR mają wspólny wierzchołek A, oba o tej samej orientacji (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, jak na rysunku). Rozważmy obrót ρ o środku A i kącie 90° w kierunku zgodnym z orientacją kwadratów.<br>Ponieważ ABCD jest kwadratem: |AB|=|AD| oraz |∢BAD|=90°, więc ρ(B)=D.<br>Ponieważ APQR jest kwadratem (ta sama orientacja): |AP|=|AR| oraz |∢PAR|=90°, więc ρ(P)=R.<br>Obrót jest izometrią (zachowuje odległości), więc |BP| = |ρ(B)ρ(P)| = |DR|.<br>Stąd |BP|=|DR|, co należało udowodnić.</p>"}]}