{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/94","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"94","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 94. (2 pkt)\nNa boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by\n)\n)\nCAD\nABC . Odcinek AE jest\ndwusieczną kąta DAB. Udowodnij, że\nCE\nAC =\nA\nB\nC\nD\nP\nQ\nR\nA\nB\nC\nD\nE\n90\nZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech |∢ABC|=|∢CAD|=β oraz niech AE dzieli |∢DAB| na dwa równe kąty α (|∢DAE|=|∢EAB|=α), z punktami C, D, E, B leżącymi w tej kolejności na boku BC.\nKąt |∢CAE| = |∢CAD|+|∢DAE| = β+α.\nW trójkącie AEB: |∢EAB|=α, |∢ABE|=|∢ABC|=β, więc |∢AEB|=180°-α-β (suma kątów trójkąta).\nPonieważ C, E, B są współliniowe, |∢AEC| = 180° - |∢AEB| = α+β.\nZatem |∢CAE| = |∢AEC| = α+β, więc trójkąt ACE jest równoramienny (kąty przy podstawie AE są równe), skąd boki naprzeciw tych kątów są równe: |AC| = |CE|, co należało udowodnić.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-94.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":89,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 94. (2 pkt)
Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by
)
)
CAD
ABC . Odcinek AE jest
dwusieczną kąta DAB. Udowodnij, że
CE
AC =
A
B
C
D
P
Q
R
A
B
C
D
E
90
ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Niech |∢ABC|=|∢CAD|=β oraz niech AE dzieli |∢DAB| na dwa równe kąty α (|∢DAE|=|∢EAB|=α), z punktami C, D, E, B leżącymi w tej kolejności na boku BC.
Kąt |∢CAE| = |∢CAD|+|∢DAE| = β+α.
W trójkącie AEB: |∢EAB|=α, |∢ABE|=|∢ABC|=β, więc |∢AEB|=180°-α-β (suma kątów trójkąta).
Ponieważ C, E, B są współliniowe, |∢AEC| = 180° - |∢AEB| = α+β.
Zatem |∢CAE| = |∢AEC| = α+β, więc trójkąt ACE jest równoramienny (kąty przy podstawie AE są równe), skąd boki naprzeciw tych kątów są równe: |AC| = |CE|, co należało udowodnić.

"}]}