{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/99","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"99","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 99.\nLiczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93.\nTe same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu\narytmetycznego. Oblicz a, b i c.\nZadanie 100.\nWyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego\nwyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg\ngeometryczny.\nZadanie 101.\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta\nrównoramiennego ACS jest równe 120 oraz\n13\n:\n10\n:\nAS\nAC\n. Oblicz pole powierzchni\nbocznej tego ostrosłupa.\n91\nZadanie 102.\nPodstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest środkiem krawędzi AD,\nodcinek EF jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli\nwiadomo, że\n15\nAE\n,\n17\nBE\nZadanie 103.\nDany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym\n30\nBC\n,\n40\nAC\n,\n50\nAB\n. Punkt W jest\nśrodkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku\nAB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM.\nZadanie 104.\nNa zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym\n90\n°\n)ACB\noraz\n5\nAC\n,\n12\nBC\nzbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt\n90\n°\n)EHA\nOblicz pole trójkąta HAE.\nZadanie 105.\nWykaż, że prawdziwa jest nierówność\n26\n50\n50\n2\n1\n2\n1\n2\n<\nA\nB\nC\nD\nE\nH\nA\nB\nC\nM\nW\nA\nB\nC\nD\nE\nF\n92\nZadanie 106.\nUdowodnij, że jeśli\na) x, y są liczbami rzeczywistymi, to\nxy\ny\nx\n2\n2\n2\n≥\nb) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że\n1\nz\ny\nx\n, to\n3\n1\n2\n2\n2\n≥\nz\ny\nx\nZadanie 107.\nPunkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym\nBC\nAC =\n. Odcinek\nAD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że\nCD\nAD =\noraz\nBD\nAB =\n(patrz rysunek). Udowodnij, że\n5\n= ⋅\n)\n)\nADC\nACD .\nZadanie 108.\nDane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C,\nD i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym\npółokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że\n180\n°\n)\n)\nAPB\nCRD\nA\nB\nC\nD\nA\nB\nC\nD\nR\nP\nO\n93\nPrzykładowe zadania\nOdpowiedzi do zadań zamkniętych\nOdpowiedzi do zadań otwartych\nNr\nzadania\nOdpowiedź\nNr\nzadania\nOdpowiedź\n51\n8\n5\nx\n80\n30trójkątów\n52\n2\nx\n,\n1\ny\n81\n7\nx\n53\n1,7\n∈\nx\n82\n9,0\n54\n2\n1\nx\nlub\n3\nx\nlub\n3\nx\n83\n1\n55\n3\n7\n3\n1\nx\ny\n84\n1\n56\n2\n1\nx\n85\n11\n7\n57\nwykres\n86\n15\n1\n58\n4\ny\n87\n18\n1\n59\n1\na\n1\nb\n88\n4,0\n60\n(\n)(\n)1\n3\n3\n6\n2\nx\nx\nx\nx\n89\n4,0\n61\n0\n2\n-y\nx\n90\n162\n62\n(\n)\n(\n)\n9\n5\n3\n2\n2\ny\nx\n91\nπ\n60\n63\n(\n)\n(\n)\n34\n5\n3\n2\n2\ny\nx\n92\n3\n3\n64\n4\n2 -\nx\ny\n93\ndowód\n65\n5\n2\n94\ndowód\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25\nOdpowiedź A C B A A B D B D A\nD\nC\nC\nA\nB D\nC\nC B B B D\nB C\nC\n26\n27\n28\n29\n30\n31\n32\n33\n34\n35\n36\n37\n38\n39\n40\n41\n42\n43\n44\n45\n46\n47\n48\n49\n50\nA C D A B C B C B C\nB A\nC\nB B A\nA\nA\nB B C A D\nB\nB\n94\n66\n15\n47\n95\n10392\n67\n36°, 72°, 72°\n96\n10\n7\n68\n60\n97\n7km h , 14km h\n69\n10\nc\n98\n15\n70\n6\nc\nlub\n10\nc\n99\n⎪⎩\n⎪⎨\n⎧\n75\n15\n3\nc\nb\na\nlub\n⎪⎩\n⎪⎨\n⎧\n31\n31\n31\nc\nb\na\n71\n8\nc\nlub\n34\n2\nc\n100\n2\nn\na\nlub\n7\n3 -\n= n\nan\n72\n5\nx\nlub\n6\nx\n101\n313\n20\n73\n16\nBD\n102\n3\n209\n64\n74\n5 wyrazów\n103\n145\n2\n75\n7\nx\n104\n169\n750\n76\n72\n15 =\na\n105\ndowód\n77\n2125\n106\ndowód\n78\n9 liczb\n107\ndowód\n79\n72 liczby\n108\ndowód\nCentralna Komisja Egzaminacyjna\nul Łucka 11, 00-842 Warszawa\ntel. 022 656 38 00, fax 022 656 37 57\nwww.cke.edu.pl ckesekr@cke.edu.pl\nOKE Gdańsk\nul. Na Stoku 49, 80-874 Gdańsk,\ntel. (0-58) 320 55 90, fax.320 55 91\nwww.oke.gda.pl komisja@oke.gda.pl\nOKE Łódź\nul. Praussa 4, 94-203 Łódź\ntel. (0-42) 634 91 33 s: 664 80 50/51/52\nfax. 634 91 54\nwww.komisja.pl komisja@komisja.pl\nOKE Jaworzno\nul. Mickiewicza 4, 43-600 Jaworzno\ntel.(0-32) 616 33 99 w.101\nfax.616 33 99 w.108, www.oke.jaw.pl\noke@oke.jaw.pl\nOKE Poznań\nul. Gronowa 22, 61-655 Poznań\ntel.(0-61) 852 13 07, 852 13 12, fax. 852 14 41\nwww.oke.poznan.pl\nsekretariat@oke.poznan.pl\nOKE Kraków\nal. F. Focha 39, 30-119 Kraków\ntel.(0-12) 618 12 01/02/03, fax.427 28 45\nwww.oke.krakow.pl oke@oke.krakow.pl\nOKE Warszawa\nul. Grzybowska 77, 00-844 Warszawa\ntel. (0-22) 457 03 35, fax. 457 03 45\nwww.oke.waw.pl info@oke.waw.pl\nOKE Łomża\nul. Nowa 2, 18-400 Łomża\nTel/fax. (0-86) 216 44 95\nwww.okelomza.com\nsekretariat@oke.lomza.com\nOKE Wrocław\nul. Zielińskiego 57, 53-533 Wrocław\ntel. sek. (0-71) 785 18 52, fax. 785 18 73\nwww.oke.wroc.pl sekret@oke.wroc.pl\nOKE\nGDAŃSK\nOKE\nŁOMŻA\nOKE\nWARSZAWA\nOKE\nKRAKÓW\nOKE\nJAWORZNO\nOKE\nŁÓDŹ\nOKE\nWROCŁAW\nOKE\nPOZNAŃ","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-99.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":90,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 99.
Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93.
Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu
arytmetycznego. Oblicz a, b i c.
Zadanie 100.
Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego
wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg
geometryczny.
Zadanie 101.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta
równoramiennego ACS jest równe 120 oraz
13
:
10
:
AS
AC
. Oblicz pole powierzchni
bocznej tego ostrosłupa.
91
Zadanie 102.
Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest środkiem krawędzi AD,
odcinek EF jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli
wiadomo, że
15
AE
,
17
BE
Zadanie 103.
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym
30
BC
,
40
AC
,
50
AB
. Punkt W jest
środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku
AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM.
Zadanie 104.
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym
90
°
)ACB
oraz
5
AC
,
12
BC
zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt
90
°
)EHA
Oblicz pole trójkąta HAE.
Zadanie 105.
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność
26
50
50
2
1
2
1
2
<
A
B
C
D
E
H
A
B
C
M
W
A
B
C
D
E
F
92
Zadanie 106.
Udowodnij, że jeśli
a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to
xy
y
x
2
2
2
≥
b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że
1
z
y
x
, to
3
1
2
2
2
≥
z
y
x
Zadanie 107.
Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym
BC
AC =
. Odcinek
AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że
CD
AD =
oraz
BD
AB =
(patrz rysunek). Udowodnij, że
5
= ⋅
)
)
ADC
ACD .
Zadanie 108.
Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C,
D i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym
półokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że
180
°
)
)
APB
CRD
A
B
C
D
A
B
C
D
R
P
O
93
Przykładowe zadania
Odpowiedzi do zadań zamkniętych
Odpowiedzi do zadań otwartych
Nr
zadania
Odpowiedź
Nr
zadania
Odpowiedź
51
8
5
x
80
30trójkątów
52
2
x
,
1
y
81
7
x
53
1,7
∈
x
82
9,0
54
2
1
x
lub
3
x
lub
3
x
83
1
55
3
7
3
1
x
y
84
1
56
2
1
x
85
11
7
57
wykres
86
15
1
58
4
y
87
18
1
59
1
a
1
b
88
4,0
60
(
)(
)1
3
3
6
2
x
x
x
x
89
4,0
61
0
2
-y
x
90
162
62
(
)
(
)
9
5
3
2
2
y
x
91
π
60
63
(
)
(
)
34
5
3
2
2
y
x
92
3
3
64
4
2 -
x
y
93
dowód
65
5
2
94
dowód
Nr zadania
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Odpowiedź A C B A A B D B D A
D
C
C
A
B D
C
C B B B D
B C
C
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
A C D A B C B C B C
B A
C
B B A
A
A
B B C A D
B
B
94
66
15
47
95
10392
67
36°, 72°, 72°
96
10
7
68
60
97
7km h , 14km h
69
10
c
98
15
70
6
c
lub
10
c
99
⎪⎩
⎪⎨
⎧
75
15
3
c
b
a
lub
⎪⎩
⎪⎨
⎧
31
31
31
c
b
a
71
8
c
lub
34
2
c
100
2
n
a
lub
7
3 -
= n
an
72
5
x
lub
6
x
101
313
20
73
16
BD
102
3
209
64
74
5 wyrazów
103
145
2
75
7
x
104
169
750
76
72
15 =
a
105
dowód
77
2125
106
dowód
78
9 liczb
107
dowód
79
72 liczby
108
dowód
Centralna Komisja Egzaminacyjna
ul Łucka 11, 00-842 Warszawa
tel. 022 656 38 00, fax 022 656 37 57
www.cke.edu.pl ckesekr@cke.edu.pl
OKE Gdańsk
ul. Na Stoku 49, 80-874 Gdańsk,
tel. (0-58) 320 55 90, fax.320 55 91
www.oke.gda.pl komisja@oke.gda.pl
OKE Łódź
ul. Praussa 4, 94-203 Łódź
tel. (0-42) 634 91 33 s: 664 80 50/51/52
fax. 634 91 54
www.komisja.pl komisja@komisja.pl
OKE Jaworzno
ul. Mickiewicza 4, 43-600 Jaworzno
tel.(0-32) 616 33 99 w.101
fax.616 33 99 w.108, www.oke.jaw.pl
oke@oke.jaw.pl
OKE Poznań
ul. Gronowa 22, 61-655 Poznań
tel.(0-61) 852 13 07, 852 13 12, fax. 852 14 41
www.oke.poznan.pl
sekretariat@oke.poznan.pl
OKE Kraków
al. F. Focha 39, 30-119 Kraków
tel.(0-12) 618 12 01/02/03, fax.427 28 45
www.oke.krakow.pl oke@oke.krakow.pl
OKE Warszawa
ul. Grzybowska 77, 00-844 Warszawa
tel. (0-22) 457 03 35, fax. 457 03 45
www.oke.waw.pl info@oke.waw.pl
OKE Łomża
ul. Nowa 2, 18-400 Łomża
Tel/fax. (0-86) 216 44 95
www.okelomza.com
sekretariat@oke.lomza.com
OKE Wrocław
ul. Zielińskiego 57, 53-533 Wrocław
tel. sek. (0-71) 785 18 52, fax. 785 18 73
www.oke.wroc.pl sekret@oke.wroc.pl
OKE
GDAŃSK
OKE
ŁOMŻA
OKE
WARSZAWA
OKE
KRAKÓW
OKE
JAWORZNO
OKE
ŁÓDŹ
OKE
WROCŁAW
OKE
POZNAŃ

","solutions":[]}