{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/24","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 24. (0-2)\nOblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej\n2\n( )\n6\n1\nf x\nx\nx\n\n\n w przedziale\n1,0\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\nZdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.\nWymagania szczegółowe\n4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej\nw przedziale domkniętym.\nRozwiązanie\nWyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu\n2\n6\n1\ny\nx\nx\n\n\n. Mamy\n3,\n8\n2\n4\nw\nw\nb\nx\ny\na\na\n\n\n\n\n. Ponieważ parabola ma ramiona skierowane do góry, to\nw przedziale \n,3\n\ndana funkcja maleje. Zatem maleje także na zawartym w nim przedziale\n0,1 . Wobec tego najmniejszą wartość przyjmie ona w prawym końcu, czyli dla\n1\nx .\nTą wartością jest\n21\n6 1 1\n4\ny \n.\n52 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = x² − 6x + 1. Obliczamy jej najmniejszą wartość w przedziale ⟨0,1⟩.\n\nWyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu y = x² − 6x + 1. Mamy xw = −b/(2a) = 3, yw = −Δ/(4a) = −8.\n\nPonieważ parabola ma ramiona skierowane do góry, to w przedziale (−∞, 3⟩ dana funkcja maleje. Zatem maleje także na zawartym w nim przedziale ⟨0,1⟩. Wobec tego najmniejszą wartość przyjmie ona w prawym końcu, czyli dla x = 1.\n\nTą wartością jest y = 1² − 6·1 + 1 = −4.\n\nNajmniejsza wartość funkcji na przedziale ⟨0,1⟩ jest równa −4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":51,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 24. (0-2)
Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej
2
( )
6
1
f x
x
x


 w przedziale
1,0
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.
Wymagania szczegółowe
4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej
w przedziale domkniętym.
Rozwiązanie
Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu
2
6
1
y
x
x


. Mamy
3,
8
2
4
w
w
b
x
y
a
a




. Ponieważ parabola ma ramiona skierowane do góry, to
w przedziale 
,3

dana funkcja maleje. Zatem maleje także na zawartym w nim przedziale
0,1 . Wobec tego najmniejszą wartość przyjmie ona w prawym końcu, czyli dla
1
x .
Tą wartością jest
21
6 1 1
4
y 
.
52 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = x² − 6x + 1. Obliczamy jej najmniejszą wartość w przedziale ⟨0,1⟩.

\n

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu y = x² − 6x + 1. Mamy xw = −b/(2a) = 3, yw = −Δ/(4a) = −8.

\n

Ponieważ parabola ma ramiona skierowane do góry, to w przedziale (−∞, 3⟩ dana funkcja maleje. Zatem maleje także na zawartym w nim przedziale ⟨0,1⟩. Wobec tego najmniejszą wartość przyjmie ona w prawym końcu, czyli dla x = 1.

\n

Tą wartością jest y = 1² − 6·1 + 1 = −4.

\n

Najmniejsza wartość funkcji na przedziale ⟨0,1⟩ jest równa −4.

"}]}