{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/27","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27. (0-2)\nWyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami\nsą punkty:\n\n1\n,2 \n\n\nA\n,\n\n1,6\n\nB\n,\n\n\n10\n,7\n\nC\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.\nWymagania szczegółowe\n8.5.Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka.\n8.1. Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci\nkierunkowej lub ogólnej).\nRozwiązanie\nWiemy, że szukana prosta przechodzi przez punkt\n\n\n7,10\nC \noraz przez punkt D, będący\nśrodkiem boku AB. Zatem korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy\n\n\n2\n6\n1 1\n,\n2,0\n2\n2\nD\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. Ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane\npunkty otrzymujemy: \n\n\n\n\n10\n2\n7\n0 10\n7\n0\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n, a stąd 5\n10\n20\n0\ny\nx\n\n\n\n\n, czyli\n2\n4\n0\ny\nx\n\n\n","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty: A = (−2,−1), B = (6,1), C = (7,10).\n\nSzukana prosta przechodzi przez punkt C = (7,10) oraz przez punkt D, będący środkiem boku AB. Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy:\n\nD = ((−2+6)/2, (−1+1)/2) = (2, 0).\n\nZe wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty otrzymujemy:\n(y−10)(2−7) − (0−10)(x−7) = 0\n\n−5y + 50 + 10x − 70 = 0\n\n10x − 5y − 20 = 0, czyli 2x − y − 4 = 0.\n\nRównanie szukanej prostej: y = 2x − 4 (czyli 2x − y − 4 = 0).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":53,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami
są punkty:

1
,2 


A
,

1,6

B
,


10
,7

C
Wymagania ogólne
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.
Wymagania szczegółowe
8.5.Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka.
8.1. Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci
kierunkowej lub ogólnej).
Rozwiązanie
Wiemy, że szukana prosta przechodzi przez punkt


7,10
C 
oraz przez punkt D, będący
środkiem boku AB. Zatem korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy


2
6
1 1
,
2,0
2
2
D










. Ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane
punkty otrzymujemy: 




10
2
7
0 10
7
0
y
x






, a stąd 5
10
20
0
y
x




, czyli
2
4
0
y
x


","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty: A = (−2,−1), B = (6,1), C = (7,10).

\n

Szukana prosta przechodzi przez punkt C = (7,10) oraz przez punkt D, będący środkiem boku AB. Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy:

\n

D = ((−2+6)/2, (−1+1)/2) = (2, 0).

\n

Ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty otrzymujemy:
(y−10)(2−7) − (0−10)(x−7) = 0

\n

−5y + 50 + 10x − 70 = 0

\n

10x − 5y − 20 = 0, czyli 2x − y − 4 = 0.

\n

Równanie szukanej prostej: y = 2x − 4 (czyli 2x − y − 4 = 0).

"}]}