{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/28","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 28. (0-2)\nW trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów\nostrych ma miarę .\n Oblicz sin\ncos .\n\n\n\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.\nWymagania szczegółowe\n6.1.Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów\no miarach od 0° do 180°.\nRozwiązanie\nNiech  będzie kątem leżącym naprzeciwko boku o długości 2, zaś   kątem leżącym\nnaprzeciwko boku o długości 4. Zauważmy, że sin\ncos\n\n\n\noraz cos\nsin\n\n\n\n, więc mamy\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n, czyli szukana wartość nie zależy od wyboru kąta.\nPrzeciwprostokątna w danym trójkącie ma długość\n2\n2\n2\n4\n20\n\n\n. Z definicji funkcji\ntrygonometrycznych otrzymujemy\n2\n4\n8\n2\nsin\ncos\n20\n5\n20\n20\n\n\n\n\n\n54 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015","answer":null,"answer_text":null,"solution":"W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Obliczamy sin α · cos α.\n\nNiech α będzie kątem leżącym naprzeciwko boku o długości 2, zaś β — kątem leżącym naprzeciwko boku o długości 4. Zauważmy, że sin α = cos β oraz cos α = sin β, więc sin α·cos α = sin β·cos β, czyli szukana wartość nie zależy od wyboru kąta.\n\nPrzeciwprostokątna w danym trójkącie ma długość √(2²+4²) = √20.\n\nZ definicji funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:\nsin α · cos α = (2/√20) · (4/√20) = 8/20 = 2/5.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":53,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów
ostrych ma miarę .
 Oblicz sin
cos .



Wymagania ogólne
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.
Wymagania szczegółowe
6.1.Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów
o miarach od 0° do 180°.
Rozwiązanie
Niech  będzie kątem leżącym naprzeciwko boku o długości 2, zaś   kątem leżącym
naprzeciwko boku o długości 4. Zauważmy, że sin
cos



oraz cos
sin



, więc mamy
sin
cos
sin
cos







, czyli szukana wartość nie zależy od wyboru kąta.
Przeciwprostokątna w danym trójkącie ma długość
2
2
2
4
20


. Z definicji funkcji
trygonometrycznych otrzymujemy
2
4
8
2
sin
cos
20
5
20
20





54 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Obliczamy sin α · cos α.

\n

Niech α będzie kątem leżącym naprzeciwko boku o długości 2, zaś β — kątem leżącym naprzeciwko boku o długości 4. Zauważmy, że sin α = cos β oraz cos α = sin β, więc sin α·cos α = sin β·cos β, czyli szukana wartość nie zależy od wyboru kąta.

\n

Przeciwprostokątna w danym trójkącie ma długość √(2²+4²) = √20.

\n

Z definicji funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:
sin α · cos α = (2/√20) · (4/√20) = 8/20 = 2/5.

"}]}