{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/30","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 30. (0-2)\nIle wyrazów ujemnych ma ciąg \n\nn\na\nokreślony wzorem\n24\n2\n2\n\n\n\nn\nn\nan\ndla\n1\n\nn\n?\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\nZdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.\nWymagania szczegółowe\n5.1.Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.\nRozwiązanie\nSzukamy liczb naturalnych spełniających nierówność\n2\n2\n24\n0\nn\nn\n\n\n\nZapiszmy tę nierówność w postaci\n2\n2\n1\n25\n0\nn\nn\n\n\n\n, \n\n2\n2\n1\n5\n0\nn \n\n\n, skąd\n\n\n\n\n\n\n1 5\n1 5\n0,\n6\n4\n0\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n. Ponieważ\n4\n0\nn \n\n, otrzymujemy\n6\nn \n. Zatem\nliczba n może przyjmować jedną z pięciu wartości: 1, 2, 3, 4, 5, czyli ciąg ma pięć wyrazów\nujemnych.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 55","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem an = n² − 2n − 24 dla n ≥ 1?\n\nSzukamy liczb naturalnych n ≥ 1 spełniających nierówność n² − 2n − 24 < 0.\n\nZapiszmy tę nierówność w postaci n² − 2n + 1 − 25 < 0, czyli (n−1)² − 5² < 0, skąd (n−1−5)(n−1+5) < 0, czyli (n−6)(n+4) < 0.\n\nPonieważ n+4 > 0, otrzymujemy n < 6. Zatem liczba n może przyjmować jedną z pięciu wartości: 1, 2, 3, 4, 5.\n\nCiąg ma pięć wyrazów ujemnych.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":54,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg 

n
a
określony wzorem
24
2
2



n
n
an
dla
1

n
?
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.
Wymagania szczegółowe
5.1.Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.
Rozwiązanie
Szukamy liczb naturalnych spełniających nierówność
2
2
24
0
n
n



Zapiszmy tę nierówność w postaci
2
2
1
25
0
n
n



, 

2
2
1
5
0
n 


, skąd






1 5
1 5
0,
6
4
0
n
n
n
n






. Ponieważ
4
0
n 

, otrzymujemy
6
n 
. Zatem
liczba n może przyjmować jedną z pięciu wartości: 1, 2, 3, 4, 5, czyli ciąg ma pięć wyrazów
ujemnych.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 55

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem an = n² − 2n − 24 dla n ≥ 1?

\n

Szukamy liczb naturalnych n ≥ 1 spełniających nierówność n² − 2n − 24 < 0.

\n

Zapiszmy tę nierówność w postaci n² − 2n + 1 − 25 < 0, czyli (n−1)² − 5² < 0, skąd (n−1−5)(n−1+5) < 0, czyli (n−6)(n+4) < 0.

\n

Ponieważ n+4 > 0, otrzymujemy n < 6. Zatem liczba n może przyjmować jedną z pięciu wartości: 1, 2, 3, 4, 5.

\n

Ciąg ma pięć wyrazów ujemnych.

"}]}