{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/36","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"36","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 36. (0-4)\nW ciągu arytmetycznym \n\nna\ndane są wyrazy:\n19\n,4\n6\n3\n\n\na\na\n. Ile wyrazów tego ciągu\nnależy do przedziału \n\n0, 200 ?\nWymagania ogólne\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu.\nWymagania szczegółowe\n5.3. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nRozwiązanie\nMamy\n1\n4\n2\na\nr\n\n\n,\n1\n19\n5\na\nr\n\n\n. Stąd 3\n15,\n5\nr\nr\n\n oraz\n1\n6\na . Pytamy, dla jakich n\nmamy 0\n200\nn\na\n\n\n, czyli\n\n\n0\n6\n1 5\n200\nn\n\n\n\nStąd\n\n\n6\n206\n11\n211\n6\n5\n1\n206,\n1\n,\n5\n5\n5\n5\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\nPierwszą nierówność spełniają liczby\n3\nn \n, a drugą liczby\n42\nn \n. Zatem liczb naturalnych\nspełniających obydwa warunki mamy 40 i tyle też wyrazów ciągu leży w przedziale \n\n0,200 .\n58 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015","answer":null,"answer_text":null,"solution":"W ciągu arytmetycznym (an) dane są wyrazy: a₃ = 4, a₆ = 19. Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału (0, 200)?\n\nMamy 4 = a₁ + 2r, 19 = a₁ + 5r. Stąd 3r = 15, czyli r = 5, oraz a₁ = −6.\n\nPytamy, dla jakich n mamy 0 < an < 200, czyli 0 < −6 + (n−1)·5 < 200.\n\nStąd 6 < 5(n−1) < 206, czyli 6/5 < n−1 < 206/5, a więc 11/5 < n < 211/5.\n\nPierwszą nierówność spełniają liczby n ≥ 3, a drugą liczby n ≤ 42. Zatem liczb naturalnych spełniających obydwa warunki mamy 40 — i tyle też wyrazów ciągu leży w przedziale (0, 200).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":57,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 36. (0-4)
W ciągu arytmetycznym 

na
dane są wyrazy:
19
,4
6
3


a
a
. Ile wyrazów tego ciągu
należy do przedziału 

0, 200 ?
Wymagania ogólne
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu.
Wymagania szczegółowe
5.3. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego.
Rozwiązanie
Mamy
1
4
2
a
r


,
1
19
5
a
r


. Stąd 3
15,
5
r
r

 oraz
1
6
a . Pytamy, dla jakich n
mamy 0
200
n
a


, czyli


0
6
1 5
200
n



Stąd


6
206
11
211
6
5
1
206,
1
,
5
5
5
5
n
n
n







Pierwszą nierówność spełniają liczby
3
n 
, a drugą liczby
42
n 
. Zatem liczb naturalnych
spełniających obydwa warunki mamy 40 i tyle też wyrazów ciągu leży w przedziale 

0,200 .
58 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

W ciągu arytmetycznym (an) dane są wyrazy: a₃ = 4, a₆ = 19. Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału (0, 200)?

\n

Mamy 4 = a₁ + 2r, 19 = a₁ + 5r. Stąd 3r = 15, czyli r = 5, oraz a₁ = −6.

\n

Pytamy, dla jakich n mamy 0 < an < 200, czyli 0 < −6 + (n−1)·5 < 200.

\n

Stąd 6 < 5(n−1) < 206, czyli 6/5 < n−1 < 206/5, a więc 11/5 < n < 211/5.

\n

Pierwszą nierówność spełniają liczby n ≥ 3, a drugą liczby n ≤ 42. Zatem liczb naturalnych spełniających obydwa warunki mamy 40 — i tyle też wyrazów ciągu leży w przedziale (0, 200).

"}]}