{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/37","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"37","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 37. (0-4)\nNa zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym\n90\n\n\nACB\noraz\n5\n\nAC\n,\n12\n\nBC\nzbudowano kwadrat ACDE (zobacz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt\n90\n\n\nEHA\nOblicz pole trójkąta HAE.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.\nWymagania szczegółowe\n7.3. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)\ncechy podobieństwa trójkątów.\nRozwiązanie\nZauważmy, że trójkąt prostokątny EAH jest podobny do trójkąta ABC, gdyż kąty EAH oraz\nABC są przystające, jako kąty o ramionach równoległych. Oznaczymy przez s skalę\npodobieństwa trójkąta EAH do trójkąta ABC. Wtedy\n2\n2\n2\n2\n1\n1 5 12\n30\n2\n2\nEAH\nABC\nP\ns P\ns\nAC\nBC\ns\ns\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPozostaje zatem obliczyć s.\nMamy\n2\n2\n2\n2\n5\n5\n13\n5\n12\nAE\nAC\ns\nAB\nAC\nBC\n\n\n\n\n\n\nZatem\n2\n5\n750\n30\n13\n169\nEAH\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nA\nB\nC\nD\nE\nH\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 59","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym |∡ACB| = 90°, |AC| = 5, |BC| = 12, zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H leży na prostej AB i kąt |∡EHA| = 90°. Obliczamy pole trójkąta HAE.\n\nZauważmy, że trójkąt prostokątny EAH jest podobny do trójkąta ABC, gdyż kąty EAH oraz ABC są przystające, jako kąty o ramionach równoległych. Oznaczmy przez s skalę podobieństwa trójkąta EAH do trójkąta ABC. Wtedy:\n\nP(EAH) = s²·P(ABC) = s² · (1/2)·|AC|·|BC| = s² · (1/2)·5·12 = 30s².\n\nPozostaje obliczyć s. Ponieważ AE = AC = 5 (bok kwadratu), a AB jest przeciwprostokątną trójkąta ABC:\n\ns = |AE|/|AB| = |AC|/√(AC²+BC²) = 5/√(5²+12²) = 5/13.\n\nZatem P(HAE) = 30·(5/13)² = 30·25/169 = 750/169.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-37.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":58,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 37. (0-4)
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym
90


ACB
oraz
5

AC
,
12

BC
zbudowano kwadrat ACDE (zobacz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt
90


EHA
Oblicz pole trójkąta HAE.
Wymagania ogólne
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.
Wymagania szczegółowe
7.3. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
cechy podobieństwa trójkątów.
Rozwiązanie
Zauważmy, że trójkąt prostokątny EAH jest podobny do trójkąta ABC, gdyż kąty EAH oraz
ABC są przystające, jako kąty o ramionach równoległych. Oznaczymy przez s skalę
podobieństwa trójkąta EAH do trójkąta ABC. Wtedy
2
2
2
2
1
1 5 12
30
2
2
EAH
ABC
P
s P
s
AC
BC
s
s









Pozostaje zatem obliczyć s.
Mamy
2
2
2
2
5
5
13
5
12
AE
AC
s
AB
AC
BC






Zatem
2
5
750
30
13
169
EAH
P









A
B
C
D
E
H
Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 59

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym |∡ACB| = 90°, |AC| = 5, |BC| = 12, zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H leży na prostej AB i kąt |∡EHA| = 90°. Obliczamy pole trójkąta HAE.

\n

Zauważmy, że trójkąt prostokątny EAH jest podobny do trójkąta ABC, gdyż kąty EAH oraz ABC są przystające, jako kąty o ramionach równoległych. Oznaczmy przez s skalę podobieństwa trójkąta EAH do trójkąta ABC. Wtedy:

\n

P(EAH) = s²·P(ABC) = s² · (1/2)·|AC|·|BC| = s² · (1/2)·5·12 = 30s².

\n

Pozostaje obliczyć s. Ponieważ AE = AC = 5 (bok kwadratu), a AB jest przeciwprostokątną trójkąta ABC:

\n

s = |AE|/|AB| = |AC|/√(AC²+BC²) = 5/√(5²+12²) = 5/13.

\n

Zatem P(HAE) = 30·(5/13)² = 30·25/169 = 750/169.

"}]}