{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/38","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"38","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 38. (0-4)\nPunkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym\nBC\nAC \n. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równo-\nramienne w taki sposób, że\nCD\nAD \noraz\nBD\nAB \n(zobacz\nrysunek). Udowodnij, że\n5\n\nADC\nACD .\nWymagania ogólne\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej\nliczby kroków.\nWymagania szczegółowe\n10.17 (gimnazjum) Zdający rozpoznaje figury, które mają oś symetrii i figury, które mają\nśrodek symetrii. Wskazuje oś symetrii i środek symetrii figury.\nRozwiązanie I\nNiech\nBAD\n\ni\nACD\n\n. Trójkąty ABD, ACD i ABC\nsą równoramienne, więc\nDAB\nBAD\n\n\n\n,\nCAD\nACD\n\n\n\noraz\nCAB\nCBA\n\n\n\n\n\nSuma miar kątów trójkąta ACD jest równa 180, więc\n180\n2\nADC\n\n\n\nZ drugiej strony\n180\nADC\nADB\n\n\n, czyli 180\n2\n180\n\n\n\n\n\nStąd\n2\n\n\n\nSuma miar kątów trójkąta ABC jest równa 180, więc \n\n2\n180\n\n\n\n\n\n\n, czyli\n\n\n2 2\n180\n\n\n\n\n\n\n. Stąd 7\n180\n\n.\nZatem\n180\n2\n7\n2\n5\n5\nADC\nACD\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. To kończy dowód.\nRozwiązanie II\nOznaczmy kąty  i  jak w poprzednim rozwiązaniu.\nPonieważ kąt ADB jest kątem zewnętrznym trójkąta ADC, więc\n2\n\n\n\nRównież kąt ADC jest kątem zewnętrznym trójkąta ABD, więc\n2\n4\n5\n5\nADC\nACD\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, co kończy dowód.\nA\nB\nC\nD\nA\nB\nC\nD\n\n\n\n\n60 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015\n\n3\na\na\nA\nB\nC","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC = BC. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne tak, że AD = CD oraz AB = BD. Udowodnij, że |∡ADC| = 5·|∡ACD|.\n\nRozwiązanie I\nNiech α = |∡BAD| i β = |∡ACD|. Trójkąty ABD, ACD i ABC są równoramienne, więc:\n|∡DAB| = |∡BAD| = α (trójkąt ABD: AB=BD),\n|∡CAD| = |∡ACD| = β (trójkąt ACD: AD=CD),\noraz |∡CAB| = |∡CBA| = α+β (trójkąt ABC: AC=BC).\n\nSuma miar kątów trójkąta ACD jest równa 180°, więc |∡ADC| = 180° − 2β.\n\nZ drugiej strony |∡ADC| = 180° − |∡ADB|, a w trójkącie ABD suma kątów daje |∡ADB| = 180° − 2α, czyli 180° − 2β = 180° − (180° − 2α), skąd α = 2β.\n\nSuma miar kątów trójkąta ABC jest równa 180°, więc (α+β) + (α+β) + β = 180°, czyli 2(α+β)+β=180°... a po podstawieniu α=2β: 2(2β+β)+β = 180°, czyli 7β = 180°.\n\nZatem |∡ADC| = 180° − 2β = 7β − 2β = 5β = 5·|∡ACD|. To kończy dowód.\n\nRozwiązanie II\nOznaczmy kąty α i β jak w poprzednim rozwiązaniu. Ponieważ kąt ADB jest kątem zewnętrznym trójkąta ADC, więc α = 2β.\n\nRównież kąt ADC jest kątem zewnętrznym trójkąta ABD, więc |∡ADC| = α + α + β... a dokładniej |∡ADC| = |∡BAD| + |∡ABD| = 2α+β = 4β+β = 5β = 5·|∡ACD|, co kończy dowód.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-38.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":59,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 38. (0-4)
Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym
BC
AC 
. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równo-
ramienne w taki sposób, że
CD
AD 
oraz
BD
AB 
(zobacz
rysunek). Udowodnij, że
5

ADC
ACD .
Wymagania ogólne
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej
liczby kroków.
Wymagania szczegółowe
10.17 (gimnazjum) Zdający rozpoznaje figury, które mają oś symetrii i figury, które mają
środek symetrii. Wskazuje oś symetrii i środek symetrii figury.
Rozwiązanie I
Niech
BAD

i
ACD

. Trójkąty ABD, ACD i ABC
są równoramienne, więc
DAB
BAD



,
CAD
ACD



oraz
CAB
CBA





Suma miar kątów trójkąta ACD jest równa 180, więc
180
2
ADC



Z drugiej strony
180
ADC
ADB


, czyli 180
2
180





Stąd
2



Suma miar kątów trójkąta ABC jest równa 180, więc 

2
180






, czyli


2 2
180






. Stąd 7
180

.
Zatem
180
2
7
2
5
5
ADC
ACD










. To kończy dowód.
Rozwiązanie II
Oznaczmy kąty  i  jak w poprzednim rozwiązaniu.
Ponieważ kąt ADB jest kątem zewnętrznym trójkąta ADC, więc
2



Również kąt ADC jest kątem zewnętrznym trójkąta ABD, więc
2
4
5
5
ADC
ACD

















, co kończy dowód.
A
B
C
D
A
B
C
D




60 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015

3
a
a
A
B
C

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC = BC. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne tak, że AD = CD oraz AB = BD. Udowodnij, że |∡ADC| = 5·|∡ACD|.

\n

Rozwiązanie I
Niech α = |∡BAD| i β = |∡ACD|. Trójkąty ABD, ACD i ABC są równoramienne, więc:
|∡DAB| = |∡BAD| = α (trójkąt ABD: AB=BD),
|∡CAD| = |∡ACD| = β (trójkąt ACD: AD=CD),
oraz |∡CAB| = |∡CBA| = α+β (trójkąt ABC: AC=BC).

\n

Suma miar kątów trójkąta ACD jest równa 180°, więc |∡ADC| = 180° − 2β.

\n

Z drugiej strony |∡ADC| = 180° − |∡ADB|, a w trójkącie ABD suma kątów daje |∡ADB| = 180° − 2α, czyli 180° − 2β = 180° − (180° − 2α), skąd α = 2β.

\n

Suma miar kątów trójkąta ABC jest równa 180°, więc (α+β) + (α+β) + β = 180°, czyli 2(α+β)+β=180°... a po podstawieniu α=2β: 2(2β+β)+β = 180°, czyli 7β = 180°.

\n

Zatem |∡ADC| = 180° − 2β = 7β − 2β = 5β = 5·|∡ACD|. To kończy dowód.

\n

Rozwiązanie II
Oznaczmy kąty α i β jak w poprzednim rozwiązaniu. Ponieważ kąt ADB jest kątem zewnętrznym trójkąta ADC, więc α = 2β.

\n

Również kąt ADC jest kątem zewnętrznym trójkąta ABD, więc |∡ADC| = α + α + β... a dokładniej |∡ADC| = |∡BAD| + |∡ABD| = 2α+β = 4β+β = 5β = 5·|∡ACD|, co kończy dowód.

"}]}