{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/39","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"39","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 39. (0-2)\nOblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną\npodstawy.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.\nWymagania szczegółowe\n9.2. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płasz-\nczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów.\nRozwiązanie\nRozważmy trójkąt prostokątny ABC utworzony przez przekątną AB\nsześcianu, przekątną AC podstawy sześcianu oraz krawędź BC,\njak na rysunku. Kąt ostry  tego trójkąta jest kątem między\nprzekątną sześcianu i płaszczyzną jego podstawy. Długość\nprzekątnej sześcianu o krawędzi długości a jest równa\n3\na\n, więc\nsinus kąta  jest równy\n1\n3\nsin\n3\n3\n3\na\na\n\n\n","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy.\n\nRozważmy trójkąt prostokątny ABC utworzony przez przekątną AB sześcianu, przekątną AC podstawy sześcianu oraz krawędź BC. Kąt ostry α tego trójkąta jest kątem między przekątną sześcianu i płaszczyzną jego podstawy.\n\nDługość przekątnej sześcianu o krawędzi długości a jest równa a√3, a długość przekątnej podstawy (BC w tym oznaczeniu, prostopadłej do AC) to a. Więc sinus kąta α jest równy:\n\nsin α = a/(a√3) = 1/√3 = √3/3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-39.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":60,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 39. (0-2)
Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną
podstawy.
Wymagania ogólne
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.
Wymagania szczegółowe
9.2. Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płasz-
czyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów.
Rozwiązanie
Rozważmy trójkąt prostokątny ABC utworzony przez przekątną AB
sześcianu, przekątną AC podstawy sześcianu oraz krawędź BC,
jak na rysunku. Kąt ostry  tego trójkąta jest kątem między
przekątną sześcianu i płaszczyzną jego podstawy. Długość
przekątnej sześcianu o krawędzi długości a jest równa
3
a
, więc
sinus kąta  jest równy
1
3
sin
3
3
3
a
a


","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy.

\n

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC utworzony przez przekątną AB sześcianu, przekątną AC podstawy sześcianu oraz krawędź BC. Kąt ostry α tego trójkąta jest kątem między przekątną sześcianu i płaszczyzną jego podstawy.

\n

Długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości a jest równa a√3, a długość przekątnej podstawy (BC w tym oznaczeniu, prostopadłej do AC) to a. Więc sinus kąta α jest równy:

\n

sin α = a/(a√3) = 1/√3 = √3/3.

"}]}