{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/41","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"41","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 41. (0-4)\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie\ndziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.\nUwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą.\nWymagania ogólne\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.\nWymagania szczegółowe\n10.2. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.\n\nd\nh\nA\nD\nB\nC\nE\nF\nG\nH\na\na\n62 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015\nRozwiązanie\nMamy do dyspozycji 5 cyfr parzystych: 0, 2, 4, 6, 8 oraz 5 cyfr nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9.\nMusimy jednak pamiętać, że 0 nie może być pierwszą cyfrą zapisu dziesiętnego liczby.\nDlatego rozważymy dwa przypadki: a) gdy pierwsza cyfra jest nieparzysta oraz b) gdy\npierwsza cyfra jest parzysta.\nW przypadku a) pierwszą cyfrę można wybrać na 5 sposobów; każda pozostała cyfra musi\nbyć parzysta i każdą z nich też możemy wybrać na 5 sposobów. Zatem w przypadku a) mamy\n45 możliwości.\nW przypadku b) cyfrę parzystą, stojącą na pierwszym miejscu, możemy wybrać na 4 sposoby.\nNa pozostałych miejscach mamy rozmieścić jedną cyfrę nieparzystą oraz dwie cyfry parzyste.\nMiejsce dla cyfry nieparzystej możemy wybrać na 3 sposoby; na pozostałych dwóch\nmiejscach umieścimy cyfry parzyste. Cyfrę na każdym z tych trzech miejsc można wybrać na\n5 sposobów. Zatem w przypadku b) mamy\n3\n3\n4 3 5\n12 5\n\n\n\nmożliwości.\nW obu przypadkach łącznie otrzymujemy\n\n\n4\n3\n3\n5\n12 5\n5 12\n5\n17 125\n2125\n\n\n\n\n\n\n\n\nliczb\nspełniających warunki zadania.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste (zero jest liczbą parzystą).\n\nMamy do dyspozycji 5 cyfr parzystych: 0, 2, 4, 6, 8 oraz 5 cyfr nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9. Zero nie może być pierwszą cyfrą liczby. Rozważamy dwa przypadki.\n\na) Pierwsza cyfra jest nieparzysta: można ją wybrać na 5 sposobów; każda z pozostałych trzech cyfr musi być parzysta — każdą można wybrać na 5 sposobów. Liczba możliwości: 5·5³ = 5⁴ = 625.\n\nb) Pierwsza cyfra jest parzysta (i różna od zera): można ją wybrać na 4 sposoby. Na pozostałych trzech miejscach mamy rozmieścić jedną cyfrę nieparzystą i dwie parzyste. Miejsce dla cyfry nieparzystej można wybrać na 3 sposoby (spośród pozostałych trzech pozycji); cyfrę na każdym z tych trzech miejsc można wybrać na 5 sposobów. Liczba możliwości: 4·3·5³ = 12·5³ = 1500.\n\nŁącznie: 5⁴ + 12·5³ = (5+12)·5³ = 17·125 = 2125.\n\nOdpowiedź: 2125 liczb spełnia warunki zadania.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-41.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":61,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 41. (0-4)
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie
dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.
Uwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą.
Wymagania ogólne
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania.
Wymagania szczegółowe
10.2. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających
użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.

d
h
A
D
B
C
E
F
G
H
a
a
62 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015
Rozwiązanie
Mamy do dyspozycji 5 cyfr parzystych: 0, 2, 4, 6, 8 oraz 5 cyfr nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9.
Musimy jednak pamiętać, że 0 nie może być pierwszą cyfrą zapisu dziesiętnego liczby.
Dlatego rozważymy dwa przypadki: a) gdy pierwsza cyfra jest nieparzysta oraz b) gdy
pierwsza cyfra jest parzysta.
W przypadku a) pierwszą cyfrę można wybrać na 5 sposobów; każda pozostała cyfra musi
być parzysta i każdą z nich też możemy wybrać na 5 sposobów. Zatem w przypadku a) mamy
45 możliwości.
W przypadku b) cyfrę parzystą, stojącą na pierwszym miejscu, możemy wybrać na 4 sposoby.
Na pozostałych miejscach mamy rozmieścić jedną cyfrę nieparzystą oraz dwie cyfry parzyste.
Miejsce dla cyfry nieparzystej możemy wybrać na 3 sposoby; na pozostałych dwóch
miejscach umieścimy cyfry parzyste. Cyfrę na każdym z tych trzech miejsc można wybrać na
5 sposobów. Zatem w przypadku b) mamy
3
3
4 3 5
12 5



możliwości.
W obu przypadkach łącznie otrzymujemy


4
3
3
5
12 5
5 12
5
17 125
2125








liczb
spełniających warunki zadania.

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste (zero jest liczbą parzystą).

\n

Mamy do dyspozycji 5 cyfr parzystych: 0, 2, 4, 6, 8 oraz 5 cyfr nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9. Zero nie może być pierwszą cyfrą liczby. Rozważamy dwa przypadki.

\n

a) Pierwsza cyfra jest nieparzysta: można ją wybrać na 5 sposobów; każda z pozostałych trzech cyfr musi być parzysta — każdą można wybrać na 5 sposobów. Liczba możliwości: 5·5³ = 5⁴ = 625.

\n

b) Pierwsza cyfra jest parzysta (i różna od zera): można ją wybrać na 4 sposoby. Na pozostałych trzech miejscach mamy rozmieścić jedną cyfrę nieparzystą i dwie parzyste. Miejsce dla cyfry nieparzystej można wybrać na 3 sposoby (spośród pozostałych trzech pozycji); cyfrę na każdym z tych trzech miejsc można wybrać na 5 sposobów. Liczba możliwości: 4·3·5³ = 12·5³ = 1500.

\n

Łącznie: 5⁴ + 12·5³ = (5+12)·5³ = 17·125 = 2125.

\n

Odpowiedź: 2125 liczb spełnia warunki zadania.

"}]}