{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/42","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"42","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 42. (0-4)\nZ pojemnika, w którym jest pięć losów: dwa wygrywające i trzy puste, losujemy dwa razy po\njednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden\nlos wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.\nWymagania ogólne\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu.\nWymagania szczegółowe\n10.3. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nRozwiązanie I (model klasyczny)\nOznaczmy przez\n1\nw ,\n2\nw losy wygrywające, a przez\n1p ,\n2p ,\n3\np losy puste. Wszystkie wyniki\nlosowania dwóch losów bez zwracania możemy przedstawić w tabeli: wynik pierwszego\nlosowania wyznacza wiersz, a wynik drugiego losowania - kolumnę, w przecięciu których\nleży pole, odpowiadające tej parze losowań. Pola położone na przekątnej odrzucamy, gdyż\nodpowiadałyby one wylosowaniu dwukrotnie tego samego losu, a to jest niemożliwe, gdyż\nlosujemy bez zwracania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 63\nNiech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch losów, wśród których co\nnajmniej jeden jest wygrywający. Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zaznaczamy\nw tabeli krzyżykiem (x).\nMamy więc 20 wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli\n20\n\n, oraz 14 zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu A, czyli\n14\nA \nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe\n\n14\n7\n20\n10\nA\nP A \n\n\n\nRozwiązanie II (metoda drzewa)\nLosowanie z pojemnika kolejno dwóch losów bez zwracania możemy zilustrować za pomocą\ndrzewa, gdzie w oznacza wylosowanie losu wygrywającego, a p - losu pustego. Pogrubione\ngałęzie drzewa odpowiadają zdarzeniu A polegającemu na wylosowaniu dwóch losów, wśród\nktórych co najmniej jeden jest wygrywający. Na odcinkach drzewa zostały zapisane\nodpowiednie prawdopodobieństwa.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n\n2 1\n2 3\n3 2\n2\n6\n6\n14\n7\n5 4\n5 4\n5 4\n20\n20\n10\nP A\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1\nw\n2\nw\n1p\n2p\n3\np\n1\nw\nx\nx\nx\nx\n2\nw\nx\nx\nx\nx\n1p\nx\nx\n2p\nx\nx\n3\np\nx\nx\nw\np\nw\np\nw\np\n2\n5\n3\n5\n1\n4\n3\n4\n2\n4\n2\n4\n64 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z pojemnika, w którym jest pięć losów: dwa wygrywające i trzy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.\n\nRozwiązanie I (model klasyczny)\nOznaczmy przez w₁, w₂ losy wygrywające, a przez p₁, p₂, p₃ losy puste. Wszystkie uporządkowane pary losowań bez zwracania dają |Ω| = 5·4 = 20 zdarzeń elementarnych.\n\nNiech A oznacza zdarzenie: wśród dwóch wylosowanych losów co najmniej jeden jest wygrywający. Zdarzenie przeciwne (oba losy puste) ma |A'| = 3·2 = 6 możliwości, więc |A| = 20 − 6 = 14.\n\nP(A) = 14/20 = 7/10.\n\nRozwiązanie II (metoda drzewa)\nP(A) = (2/5)·(1/4) + (2/5)·(3/4) + (3/5)·(2/4) = 2/20 + 6/20 + 6/20 = 14/20 = 7/10.\n\nOdpowiedź: P(A) = 7/10.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-42.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":62,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 42. (0-4)
Z pojemnika, w którym jest pięć losów: dwa wygrywające i trzy puste, losujemy dwa razy po
jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden
los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.
Wymagania ogólne
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu.
Wymagania szczegółowe
10.3. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa.
Rozwiązanie I (model klasyczny)
Oznaczmy przez
1
w ,
2
w losy wygrywające, a przez
1p ,
2p ,
3
p losy puste. Wszystkie wyniki
losowania dwóch losów bez zwracania możemy przedstawić w tabeli: wynik pierwszego
losowania wyznacza wiersz, a wynik drugiego losowania - kolumnę, w przecięciu których
leży pole, odpowiadające tej parze losowań. Pola położone na przekątnej odrzucamy, gdyż
odpowiadałyby one wylosowaniu dwukrotnie tego samego losu, a to jest niemożliwe, gdyż
losujemy bez zwracania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 63
Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch losów, wśród których co
najmniej jeden jest wygrywający. Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zaznaczamy
w tabeli krzyżykiem (x).
Mamy więc 20 wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli
20

, oraz 14 zdarzeń
elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, czyli
14
A 
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe

14
7
20
10
A
P A 



Rozwiązanie II (metoda drzewa)
Losowanie z pojemnika kolejno dwóch losów bez zwracania możemy zilustrować za pomocą
drzewa, gdzie w oznacza wylosowanie losu wygrywającego, a p - losu pustego. Pogrubione
gałęzie drzewa odpowiadają zdarzeniu A polegającemu na wylosowaniu dwóch losów, wśród
których co najmniej jeden jest wygrywający. Na odcinkach drzewa zostały zapisane
odpowiednie prawdopodobieństwa.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

2 1
2 3
3 2
2
6
6
14
7
5 4
5 4
5 4
20
20
10
P A










1
w
2
w
1p
2p
3
p
1
w
x
x
x
x
2
w
x
x
x
x
1p
x
x
2p
x
x
3
p
x
x
w
p
w
p
w
p
2
5
3
5
1
4
3
4
2
4
2
4
64 Informator o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Z pojemnika, w którym jest pięć losów: dwa wygrywające i trzy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

\n

Rozwiązanie I (model klasyczny)
Oznaczmy przez w₁, w₂ losy wygrywające, a przez p₁, p₂, p₃ losy puste. Wszystkie uporządkowane pary losowań bez zwracania dają |Ω| = 5·4 = 20 zdarzeń elementarnych.

\n

Niech A oznacza zdarzenie: wśród dwóch wylosowanych losów co najmniej jeden jest wygrywający. Zdarzenie przeciwne (oba losy puste) ma |A'| = 3·2 = 6 możliwości, więc |A| = 20 − 6 = 14.

\n

P(A) = 14/20 = 7/10.

\n

Rozwiązanie II (metoda drzewa)
P(A) = (2/5)·(1/4) + (2/5)·(3/4) + (3/5)·(2/4) = 2/20 + 6/20 + 6/20 = 14/20 = 7/10.

\n

Odpowiedź: P(A) = 7/10.

"}]}