{"id":"informator-maturalny-matematyka-2015/zad/43","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2015","number":"43","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 43. (0-3)\nWykaż, że prawdziwa jest nierówność\n2\n50\n50\n2\n1\n2\n1\n2\n\n\n\n\nWymagania ogólne\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków.\nWymagania szczegółowe\n2.1.Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)2 oraz a2 - b2.\nRozwiązanie I\nDla dowodu przekształcimy w sposób równoważny tezę.\nPonieważ obie strony danej nierówności\n2\n50\n50\n2\n1\n2\n1\n2\n\n\n\n\nsą dodatnie, możemy je\npodnieść do kwadratu. Otrzymujemy kolejno:\n\n\n\n\n2\n2\n50\n50\n26\n2\n1\n2\n1\n2\n\n\n\n50\n50\n50\n50\n52\n2\n1 2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n\n\n\n\n\n\n\n50\n50\n50\n52\n2 2\n2\n2\n1 2\n1\n2\n\n\n\n\n\n100\n52\n51\n2 2\n1\n2\n2\n\n\n100\n50\n2\n1\n2 .\n\nObie strony tej nierówności są także dodatnie, więc podnosząc je do kwadratu otrzymujemy\n100\n100\n2\n1\n2 .\n\nOtrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a zatem dana w zadaniu nierówność jest\nrównież prawdziwa, co kończy dowód.\nRozwiązanie II\nOznaczmy\n50\n50\n2\n1,\n2\n1.\na\nb\n\n\n\n\nZauważmy, że dla dowolnych liczb a, b, takich,\nże\n,\na\nb\n\nmamy \n\n2\n0\na\nb\n\n\n, skąd\n2\n2\n2\na\nb\nab\n\n\n. Wobec tego\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n50\n50\n52\n2\n2\n2 2\n1 2\n1\n2 .\na\nb\na\nb\nab\na\nb\na\nb\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n52\n26\n2\n2\na\nb\n\n\n\n, co kończy dowód.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 65","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wykaż, że prawdziwa jest nierówność √(2⁵⁰+1) + √(2⁵⁰−1) < 2²⁶.\n\nRozwiązanie I\nPonieważ obie strony danej nierówności są dodatnie, możemy je podnieść do kwadratu. Otrzymujemy kolejno:\n\n(√(2⁵⁰+1) + √(2⁵⁰−1))² < (2²⁶)²\n\n2⁵⁰+1 + 2·√(2⁵⁰+1)·√(2⁵⁰−1) + 2⁵⁰−1 < 2⁵²\n\n2·2⁵⁰ + 2√((2⁵⁰−1)(2⁵⁰+1)) < 2⁵²\n\n2√(2¹⁰⁰−1) < 2⁵² − 2⁵¹ = 2⁵¹\n\n√(2¹⁰⁰−1) < 2⁵⁰.\n\nObie strony tej nierówności są dodatnie, więc podnosząc je do kwadratu otrzymujemy:\n\n2¹⁰⁰ − 1 < 2¹⁰⁰.\n\nOtrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a zatem dana w zadaniu nierówność jest również prawdziwa, co kończy dowód.\n\nRozwiązanie II\nOznaczmy a = √(2⁵⁰+1), b = √(2⁵⁰−1). Zauważmy, że dla dowolnych liczb a, b, takich że a ≠ b, mamy (a−b)² > 0, skąd a²+b² > 2ab. Wobec tego:\n\n(a+b)² = a²+b²+2ab < a²+b²+a²+b² = 2(a²+b²) = 2(2⁵⁰+1+2⁵⁰−1) = 2·2⁵¹ = 2⁵².\n\nStąd a+b < √(2⁵²) = 2²⁶, co kończy dowód.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2015/zad-43.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":64,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 43. (0-3)
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność
2
50
50
2
1
2
1
2




Wymagania ogólne
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków.
Wymagania szczegółowe
2.1.Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)2 oraz a2 - b2.
Rozwiązanie I
Dla dowodu przekształcimy w sposób równoważny tezę.
Ponieważ obie strony danej nierówności
2
50
50
2
1
2
1
2




są dodatnie, możemy je
podnieść do kwadratu. Otrzymujemy kolejno:




2
2
50
50
26
2
1
2
1
2



50
50
50
50
52
2
1 2
2
1
2
1
2
1
2







50
50
50
52
2 2
2
2
1 2
1
2





100
52
51
2 2
1
2
2


100
50
2
1
2 .

Obie strony tej nierówności są także dodatnie, więc podnosząc je do kwadratu otrzymujemy
100
100
2
1
2 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a zatem dana w zadaniu nierówność jest
również prawdziwa, co kończy dowód.
Rozwiązanie II
Oznaczmy
50
50
2
1,
2
1.
a
b




Zauważmy, że dla dowolnych liczb a, b, takich,
że
,
a
b

mamy 

2
0
a
b


, skąd
2
2
2
a
b
ab


. Wobec tego






2
2
2
2
2
2
2
2
2
50
50
52
2
2
2 2
1 2
1
2 .
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
a
b














Stąd
52
26
2
2
a
b



, co kończy dowód.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 65

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność √(2⁵⁰+1) + √(2⁵⁰−1) < 2²⁶.

\n

Rozwiązanie I
Ponieważ obie strony danej nierówności są dodatnie, możemy je podnieść do kwadratu. Otrzymujemy kolejno:

\n

(√(2⁵⁰+1) + √(2⁵⁰−1))² < (2²⁶)²

\n

2⁵⁰+1 + 2·√(2⁵⁰+1)·√(2⁵⁰−1) + 2⁵⁰−1 < 2⁵²

\n

2·2⁵⁰ + 2√((2⁵⁰−1)(2⁵⁰+1)) < 2⁵²

\n

2√(2¹⁰⁰−1) < 2⁵² − 2⁵¹ = 2⁵¹

\n

√(2¹⁰⁰−1) < 2⁵⁰.

\n

Obie strony tej nierówności są dodatnie, więc podnosząc je do kwadratu otrzymujemy:

\n

2¹⁰⁰ − 1 < 2¹⁰⁰.

\n

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a zatem dana w zadaniu nierówność jest również prawdziwa, co kończy dowód.

\n

Rozwiązanie II
Oznaczmy a = √(2⁵⁰+1), b = √(2⁵⁰−1). Zauważmy, że dla dowolnych liczb a, b, takich że a ≠ b, mamy (a−b)² > 0, skąd a²+b² > 2ab. Wobec tego:

\n

(a+b)² = a²+b²+2ab < a²+b²+a²+b² = 2(a²+b²) = 2(2⁵⁰+1+2⁵⁰−1) = 2·2⁵¹ = 2⁵².

\n

Stąd a+b < √(2⁵²) = 2²⁶, co kończy dowód.

"}]}