{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/11","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (0-3)\nRozważmy takie liczby rzeczywiste a i b, które spełniają warunki:\n𝑎≠0, 𝑏≠0 oraz 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)3.\nOblicz wartość liczbową wyrażenia\n𝒂\n𝒃 dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝒂 i 𝒃,\nspełniających powyższe warunki.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛;\n3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;\n6) rozwiązuje\nrównania\nwielomianowe\npostaci\n𝑊(𝑥) = 0\ndla\nwielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej […].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości ilorazu\n𝑎\n𝑏 oraz podanie prawidłowego wyniku\n𝑎\n𝑏= -1.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci 3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0 oraz wyznaczenie rozwiązań\ntego równania: 𝑎= 0, 𝑏= 0, 𝑎= -𝑏 (bez uwzględnienia warunków zadania).\n1 pkt - przekształcenie równania do postaci 3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n26\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nRównanie podane w zadaniu przekształcamy w sposób równoważny. Do prawej strony\nrównania zastosujemy wzór na trzecią potęgę sumy liczb 𝑎 i 𝑏:\n𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)3\n𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏+ 3𝑎𝑏2 + 𝑏3\n0 = 3𝑎2𝑏+ 3𝑎𝑏2\n3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0\nIloczyn po lewej stronie równania jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0.\nZatem:\n3𝑎𝑏= 0 lub 𝑎+ 𝑏= 0\nStąd mamy:\n𝑎= 0 lub 𝑏= 0 lub 𝑎= -𝑏\nGdy uwzględnimy warunki zadania 𝑎≠0 i 𝑏≠0, to otrzymujemy:\n𝑎\n𝑏= -𝑏\n𝑏= -1\nSposób 2.\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\n𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)3\n𝑎3 + 𝑏3 -(𝑎+ 𝑏)3 = 0\n𝑎3 + [𝑏3 -(𝑎+ 𝑏)3] = 0\nDo wyrażenia w nawiasie kwadratowym zastosujemy wzór na różnicę sześcianów:\n𝑎3 + [𝑏-(𝑎+ 𝑏)] ∙[𝑏2 + 𝑏∙(𝑎+ 𝑏) + (𝑎+ 𝑏)2] = 0\n𝑎3 + (-𝑎) ∙(𝑏2 + 𝑎𝑏+ 𝑏2 + 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2) = 0\n𝑎3 + (-𝑎) ∙(𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 3𝑏2) = 0\n𝑎3 -𝑎3 -3𝑎2𝑏-3𝑎𝑏2 = 0\n-3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0\nPonieważ 𝑎≠0 i 𝑏≠0, to powyższe równanie jest spełnione gdy:\n𝑎+ 𝑏= 0\nZatem:\n𝑎= -𝑏 stąd otrzymujemy 𝑎\n𝑏= -1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n27","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Przekształcamy równanie a³+b³=(a+b)³ w sposób równoważny:\na³+b³ = a³+3a²b+3ab²+b³\n0 = 3a²b+3ab² = 3ab(a+b)\nPonieważ a≠0 i b≠0, to 3ab≠0, zatem a+b=0, czyli a=-b.\nStąd a/b = -b/b = -1.\n\nOdpowiedź: a/b = -1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 11. (0-3)
Rozważmy takie liczby rzeczywiste a i b, które spełniają warunki:
𝑎≠0, 𝑏≠0 oraz 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)3.
Oblicz wartość liczbową wyrażenia
𝒂
𝒃 dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝒂 i 𝒃,
spełniających powyższe warunki.
Wymaganie ogólne
I.
Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,
stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych
oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:

\n
  1. stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,
\n

(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛;

\n
  1. wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
\n

III. Równania i nierówności. Zdający:

\n
  1. przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
  2. rozwiązuje
\n

równania
wielomianowe
postaci
𝑊(𝑥) = 0
dla
wielomianów
doprowadzonych do postaci iloczynowej […].
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości ilorazu
𝑎
𝑏 oraz podanie prawidłowego wyniku
𝑎
𝑏= -1.
2 pkt - przekształcenie równania do postaci 3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0 oraz wyznaczenie rozwiązań
tego równania: 𝑎= 0, 𝑏= 0, 𝑎= -𝑏 (bez uwzględnienia warunków zadania).
1 pkt - przekształcenie równania do postaci 3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
26
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Równanie podane w zadaniu przekształcamy w sposób równoważny. Do prawej strony
równania zastosujemy wzór na trzecią potęgę sumy liczb 𝑎 i 𝑏:
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)3
𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏+ 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
0 = 3𝑎2𝑏+ 3𝑎𝑏2
3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0
Iloczyn po lewej stronie równania jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0.
Zatem:
3𝑎𝑏= 0 lub 𝑎+ 𝑏= 0
Stąd mamy:
𝑎= 0 lub 𝑏= 0 lub 𝑎= -𝑏
Gdy uwzględnimy warunki zadania 𝑎≠0 i 𝑏≠0, to otrzymujemy:
𝑎
𝑏= -𝑏
𝑏= -1
Sposób 2.
Przekształcamy równanie w sposób równoważny:
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)3
𝑎3 + 𝑏3 -(𝑎+ 𝑏)3 = 0
𝑎3 + [𝑏3 -(𝑎+ 𝑏)3] = 0
Do wyrażenia w nawiasie kwadratowym zastosujemy wzór na różnicę sześcianów:
𝑎3 + [𝑏-(𝑎+ 𝑏)] ∙[𝑏2 + 𝑏∙(𝑎+ 𝑏) + (𝑎+ 𝑏)2] = 0
𝑎3 + (-𝑎) ∙(𝑏2 + 𝑎𝑏+ 𝑏2 + 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2) = 0
𝑎3 + (-𝑎) ∙(𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 3𝑏2) = 0
𝑎3 -𝑎3 -3𝑎2𝑏-3𝑎𝑏2 = 0
-3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0
Ponieważ 𝑎≠0 i 𝑏≠0, to powyższe równanie jest spełnione gdy:
𝑎+ 𝑏= 0
Zatem:
𝑎= -𝑏 stąd otrzymujemy 𝑎
𝑏= -1
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
27

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Przekształcamy równanie a³+b³=(a+b)³ w sposób równoważny:
a³+b³ = a³+3a²b+3ab²+b³
0 = 3a²b+3ab² = 3ab(a+b)
Ponieważ a≠0 i b≠0, to 3ab≠0, zatem a+b=0, czyli a=-b.
Stąd a/b = -b/b = -1.

\n

Odpowiedź: a/b = -1.

"}]}