{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/13","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"13","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-3)\nRozwiąż równanie (𝒙-𝟏)𝟒-𝟓(𝒙-𝟏)𝟐+ 𝟔= 𝟎.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich\npodstawie i uzasadnienie ich poprawności.\nWymaganie szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n5) rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania\nkwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania oraz podanie prawidłowych rozwiązań:\n𝑥11 = 1 + √2 , 𝑥12 = 1 -√2 , 𝑥21 = 1 + √3 , 𝑥22 = 1 -√3 .\n2 pkt - rozwiązanie równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0: 𝑧1 = 2, 𝑧2 = 3 oraz zapisanie równań\nrównoważnych: 2 = (𝑥-1)2, 3 = (𝑥-1)2\nLUB\n- prawidłowe obliczenie jednego z pierwiastków równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0: 𝑧1 = 2\n(drugi pierwiastek obliczony błędnie lub wcale) albo 𝑧2 = 3 (drugi pierwiastek obliczony\nbłędnie lub wcale) oraz konsekwentne - z tym prawidłowo wyznaczonym pierwiastkiem\n- rozwiązanie równania podanego w zadaniu i zapisanie:\n𝑥1 = 1 + √2 , 𝑥2 = 1 -√2 albo 𝑥1 = 1 + √3 , 𝑥2 = 1 -√3 .\n1 pkt - wykonanie odpowiedniego podstawienia i przekształcenie do równania postaci\nrównoważnej równaniu 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0, gdzie 𝑧≥0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nZauważmy, że równanie w tym zadaniu jest przykładem równania dwukwadratowego. Dlatego\nw równaniu (𝑥-1)4 -5(𝑥-1)2 + 6 = 0 podstawiamy 𝑧= (𝑥-1)2, gdzie 𝑧≥0, po czym\notrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą 𝑧:\n𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0 𝑧= (𝑥-1)2 gdzie 𝑧≥0\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n29\nSposób 1. rozwiązania równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0\nRozwiążemy równanie kwadratowe wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do pełnego\nkwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy po lewej stronie równania:\n(𝑧2 -5𝑧) + 6 = [𝑧2 -2 ⋅5\n2 𝑧+ (5\n2)\n2\n-(5\n2)\n2\n] + 6 = (𝑧-5\n2)\n2\n-25\n4 + 6 =\n= (𝑧-5\n2)\n2\n-1\n4\nRozwiążemy równanie po przekształceniu równoważnym:\n(𝑧-5\n2)\n2\n-1\n4 = 0 zatem (𝑧-5\n2)\n2\n= 1\n4\n|𝑧-5\n2| = 1\n2\n𝑧-5\n2 = 1\n2 lub 𝑧-5\n2 = -1\n2\n𝑧= 3 lub 𝑧= 2\nSposób 2. rozwiązania równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0\nObliczymy tzw. wyróżnik równania kwadratowego (zobacz w Wybranych wzorach\nmatematycznych):\nΔ𝑧= 𝑏2 -4𝑎𝑐= (-5)2 -4 ⋅1 ⋅6 = 1.\nPonieważ Δ𝑧> 0 to możemy zastosować gotowe wzory (podane w Wybranych wzorach\nmatematycznych) na rozwiązania równania kwadratowego:\n𝑧1 = -𝑏-√Δz\n2𝑎\n𝑧2 = -𝑏+ √Δz\n2𝑎\nRozwiązania równania kwadratowego:\n𝑧1 = 2 lub 𝑧2 = 3\nPowracamy do podstawienia 𝑧= (𝑥-1)2 i wyznaczamy rozwiązania równania podanego\nw zadaniu:\n(𝑥-1)2 = 2 lub (𝑥-1)2 = 3\n|𝑥-1| = √2 lub |𝑥-1| = √3\nStąd:\n𝑥11 = √2 + 1 lub 𝑥12 = -√2 + 1 lub 𝑥21 = √3 + 1 lub 𝑥22 = -√3 + 1\n30\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Podstawiamy z=(x-1)², gdzie z≥0, otrzymując równanie kwadratowe:\nz² - 5z + 6 = 0\nΔ=25-24=1, z1=2, z2=3.\nWracamy do podstawienia:\n(x-1)²=2 → x=1±√2\n(x-1)²=3 → x=1±√3\n\nOdpowiedź: x₁=1+√2, x₂=1-√2, x₃=1+√3, x₄=1-√3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 13. (0-3)
Rozwiąż równanie (𝒙-𝟏)𝟒-𝟓(𝒙-𝟏)𝟐+ 𝟔= 𝟎.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
2.
Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich
podstawie i uzasadnienie ich poprawności.
Wymaganie szczegółowe
III. Równania i nierówności. Zdający:

\n
  1. rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania
\n

kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania oraz podanie prawidłowych rozwiązań:
𝑥11 = 1 + √2 , 𝑥12 = 1 -√2 , 𝑥21 = 1 + √3 , 𝑥22 = 1 -√3 .
2 pkt - rozwiązanie równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0: 𝑧1 = 2, 𝑧2 = 3 oraz zapisanie równań
równoważnych: 2 = (𝑥-1)2, 3 = (𝑥-1)2
LUB

\n\n

(drugi pierwiastek obliczony błędnie lub wcale) albo 𝑧2 = 3 (drugi pierwiastek obliczony
błędnie lub wcale) oraz konsekwentne - z tym prawidłowo wyznaczonym pierwiastkiem

\n\n

𝑥1 = 1 + √2 , 𝑥2 = 1 -√2 albo 𝑥1 = 1 + √3 , 𝑥2 = 1 -√3 .
1 pkt - wykonanie odpowiedniego podstawienia i przekształcenie do równania postaci
równoważnej równaniu 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0, gdzie 𝑧≥0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Zauważmy, że równanie w tym zadaniu jest przykładem równania dwukwadratowego. Dlatego
w równaniu (𝑥-1)4 -5(𝑥-1)2 + 6 = 0 podstawiamy 𝑧= (𝑥-1)2, gdzie 𝑧≥0, po czym
otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą 𝑧:
𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0 𝑧= (𝑥-1)2 gdzie 𝑧≥0
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
29
Sposób 1. rozwiązania równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0
Rozwiążemy równanie kwadratowe wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do pełnego
kwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy po lewej stronie równania:
(𝑧2 -5𝑧) + 6 = [𝑧2 -2 ⋅5
2 𝑧+ (5
2)
2
-(5
2)
2
] + 6 = (𝑧-5
2)
2
-25
4 + 6 =
= (𝑧-5
2)
2
-1
4
Rozwiążemy równanie po przekształceniu równoważnym:
(𝑧-5
2)
2
-1
4 = 0 zatem (𝑧-5
2)
2
= 1
4
|𝑧-5
2| = 1
2
𝑧-5
2 = 1
2 lub 𝑧-5
2 = -1
2
𝑧= 3 lub 𝑧= 2
Sposób 2. rozwiązania równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0
Obliczymy tzw. wyróżnik równania kwadratowego (zobacz w Wybranych wzorach
matematycznych):
Δ𝑧= 𝑏2 -4𝑎𝑐= (-5)2 -4 ⋅1 ⋅6 = 1.
Ponieważ Δ𝑧> 0 to możemy zastosować gotowe wzory (podane w Wybranych wzorach
matematycznych) na rozwiązania równania kwadratowego:
𝑧1 = -𝑏-√Δz
2𝑎
𝑧2 = -𝑏+ √Δz
2𝑎
Rozwiązania równania kwadratowego:
𝑧1 = 2 lub 𝑧2 = 3
Powracamy do podstawienia 𝑧= (𝑥-1)2 i wyznaczamy rozwiązania równania podanego
w zadaniu:
(𝑥-1)2 = 2 lub (𝑥-1)2 = 3
|𝑥-1| = √2 lub |𝑥-1| = √3
Stąd:
𝑥11 = √2 + 1 lub 𝑥12 = -√2 + 1 lub 𝑥21 = √3 + 1 lub 𝑥22 = -√3 + 1
30
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Podstawiamy z=(x-1)², gdzie z≥0, otrzymując równanie kwadratowe:
z² - 5z + 6 = 0
Δ=25-24=1, z1=2, z2=3.
Wracamy do podstawienia:
(x-1)²=2 → x=1±√2
(x-1)²=3 → x=1±√3

\n

Odpowiedź: x₁=1+√2, x₂=1-√2, x₃=1+√3, x₄=1-√3.

"}]}