{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/14","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"14","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (0-2)\nUdowodnij, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟐𝟎𝒏𝟐+ 𝟑𝟎𝒏+ 𝟕 przy dzieleniu przez\n𝟓 daje resztę 𝟐.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu: przekształcenie danego wyrażenia do postaci\n5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2 oraz zapisanie, że (4𝑛2 + 6𝑛+ 1) jest liczbą całkowitą.\n1 pkt - przekształcenie danego wyrażenia do postaci 5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKrok 1. dowodu\nPowołamy się na definicję reszty z dzielenia dwóch liczb całkowitych. Liczba całkowita 𝑊 przy\ndzieleniu przez liczbę całkowitą 𝑃 daje resztę całkowitą 𝑅, wtedy, gdy istnieje liczba całkowita\n𝑄 taka, że 𝑊= 𝑃𝑄+ 𝑅 oraz 0 ≤𝑅< 𝑃. (Np. Liczba 22 przy dzieleniu przez 5 daje resztę\nrówną 2, ponieważ 22 = 5 ⋅4 + 2, gdzie 4 jest liczbą całkowitą oraz 2 < 5).\nLiczbę określoną w zadaniu przekształcimy do postaci: 5 ⋅𝑄+ 2:\n20𝑛2 + 30𝑛+ 7 = 20𝑛2 + 30𝑛+ 5 + 2 = 5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2\nKrok 2. dowodu\nWykażemy dalej, że 4𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą.\nPonieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, to 4𝑛2 oraz 6𝑛 są liczbami całkowitymi. Suma tych liczb\ncałkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.\nZ kroków 1.-2. dowodu wynika, że dla każdej liczby naturalnej 𝑛 liczba 20𝑛2 + 30𝑛+ 7 przy\ndzieleniu przez 5 daje resztę 2.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n31","answer":null,"answer_text":null,"solution":"20n²+30n+7 = 20n²+30n+5+2 = 5(4n²+6n+1)+2.\nPonieważ n jest liczbą naturalną, 4n²+6n+1 jest liczbą całkowitą (dodatnią), więc wyrażenie ma postać 5Q+2 z 0≤2<5.\nZatem liczba 20n²+30n+7 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, dla każdej liczby naturalnej n. C.n.d.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-2)<br>Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟐𝟎𝒏𝟐+ 𝟑𝟎𝒏+ 𝟕 przy dzieleniu przez<br>𝟓 daje resztę 𝟐.<br>Wymaganie ogólne<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>1.<br>Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Wymaganie szczegółowe<br>I.<br>Liczby rzeczywiste. Zdający:</p>\n<ol><li>przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt</li></ol>\n<p>z dzielenia […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu: przekształcenie danego wyrażenia do postaci<br>5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2 oraz zapisanie, że (4𝑛2 + 6𝑛+ 1) jest liczbą całkowitą.<br>1 pkt - przekształcenie danego wyrażenia do postaci 5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Krok 1. dowodu<br>Powołamy się na definicję reszty z dzielenia dwóch liczb całkowitych. Liczba całkowita 𝑊 przy<br>dzieleniu przez liczbę całkowitą 𝑃 daje resztę całkowitą 𝑅, wtedy, gdy istnieje liczba całkowita<br>𝑄 taka, że 𝑊= 𝑃𝑄+ 𝑅 oraz 0 ≤𝑅&lt; 𝑃. (Np. Liczba 22 przy dzieleniu przez 5 daje resztę<br>równą 2, ponieważ 22 = 5 ⋅4 + 2, gdzie 4 jest liczbą całkowitą oraz 2 &lt; 5).<br>Liczbę określoną w zadaniu przekształcimy do postaci: 5 ⋅𝑄+ 2:<br>20𝑛2 + 30𝑛+ 7 = 20𝑛2 + 30𝑛+ 5 + 2 = 5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2<br>Krok 2. dowodu<br>Wykażemy dalej, że 4𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą.<br>Ponieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, to 4𝑛2 oraz 6𝑛 są liczbami całkowitymi. Suma tych liczb<br>całkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.<br>Z kroków 1.-2. dowodu wynika, że dla każdej liczby naturalnej 𝑛 liczba 20𝑛2 + 30𝑛+ 7 przy<br>dzieleniu przez 5 daje resztę 2.<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>31</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>20n²+30n+7 = 20n²+30n+5+2 = 5(4n²+6n+1)+2.<br>Ponieważ n jest liczbą naturalną, 4n²+6n+1 jest liczbą całkowitą (dodatnią), więc wyrażenie ma postać 5Q+2 z 0≤2&lt;5.<br>Zatem liczba 20n²+30n+7 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, dla każdej liczby naturalnej n. C.n.d.</p>"}]}