{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/15","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"15","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-3)\nRozważmy dwie kolejne liczby naturalne a i b takie, że obie są niepodzielne przez 3.\nUdowodnij, że liczba 𝒂𝟑+ 𝒃𝟑 jest podzielna przez 𝟗.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako 9 ⋅(6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1)\noraz zapisanie, że 6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1 jest liczbą całkowitą (kroki 1.-3. dowodu)\nLUB\n- przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘+ 9\noraz zapisanie, że każdy składnik sumy jest podzielny przez 9.\n2 pkt - zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako (3𝑘+ 1 )3 + (3𝑘+ 2 )3 oraz przekształcenie tego wyrażenia\ndo postaci równoważnej wyrażeniu 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘+ 9 (kroki 1.-2. dowodu).\n1 pkt - zapisanie liczb 𝑎 i 𝑏 w postaci: 𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }\n(krok 1. dowodu).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKrok 1. dowodu\nDwie kolejne liczby naturalne a i b, niepodzielne przez 3, można zapisać w postaci:\n𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }\n32\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nKrok 2. dowodu\nZapiszemy liczbę z wykorzystaniem zapisu (krok 1. dowodu) oraz wzoru na sześcian sumy:\n(3𝑘+ 1 )3 + (3𝑘+ 2 )3 = 27𝑘3 + 27𝑘2 + 9𝑘+ 1 + 27𝑘3 + 54𝑘2 + 36𝑘+ 8 =\n= 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘+ 9 = 9 ⋅(6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1)\nKrok 3. dowodu\nLiczbę 𝑎3 + 𝑏3 zapisaliśmy jako iloczyn liczby 9 oraz liczby 6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1. Dlatego,\naby udowodnić podzielność przez 9, wystarczy wykazać, że drugi czynnik w rozkładzie (krok\n2. dowodu) jest liczbą całkowitą.\nPonieważ 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }, to 6𝑘3, 9𝑘2 oraz 5𝑘 są liczbami całkowitymi. Suma liczb\ncałkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.\nZ kroków 1.-3. dowodu wynika, że suma sześcianów dwóch kolejnych liczb niepodzielnych\nprzez 3 jest liczbą podzielną przez 9.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dwie kolejne liczby naturalne a, b niepodzielne przez 3 można zapisać jako:\na=3k+1, b=3k+2, gdzie k∈{0,1,2,...}.\nObliczamy:\na³+b³ = (3k+1)³+(3k+2)³ = (27k³+27k²+9k+1)+(27k³+54k²+36k+8) = 54k³+81k²+45k+9 = 9(6k³+9k²+5k+1).\nPonieważ k jest liczbą całkowitą nieujemną, 6k³+9k²+5k+1 jest liczbą całkowitą.\nZatem a³+b³ jest podzielne przez 9. C.n.d.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":31,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 15. (0-3)
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne a i b takie, że obie są niepodzielne przez 3.
Udowodnij, że liczba 𝒂𝟑+ 𝒃𝟑 jest podzielna przez 𝟗.
Wymaganie ogólne
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
Wymagania szczegółowe
I.
Liczby rzeczywiste. Zdający:

\n
  1. przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt
\n

z dzielenia […].
II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:

\n
  1. stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,
\n

(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛.
Zasady oceniania
3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako 9 ⋅(6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1)
oraz zapisanie, że 6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1 jest liczbą całkowitą (kroki 1.-3. dowodu)
LUB

\n\n

oraz zapisanie, że każdy składnik sumy jest podzielny przez 9.
2 pkt - zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako (3𝑘+ 1 )3 + (3𝑘+ 2 )3 oraz przekształcenie tego wyrażenia
do postaci równoważnej wyrażeniu 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘+ 9 (kroki 1.-2. dowodu).
1 pkt - zapisanie liczb 𝑎 i 𝑏 w postaci: 𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }
(krok 1. dowodu).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Krok 1. dowodu
Dwie kolejne liczby naturalne a i b, niepodzielne przez 3, można zapisać w postaci:
𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }
32
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Krok 2. dowodu
Zapiszemy liczbę z wykorzystaniem zapisu (krok 1. dowodu) oraz wzoru na sześcian sumy:
(3𝑘+ 1 )3 + (3𝑘+ 2 )3 = 27𝑘3 + 27𝑘2 + 9𝑘+ 1 + 27𝑘3 + 54𝑘2 + 36𝑘+ 8 =
= 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘+ 9 = 9 ⋅(6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1)
Krok 3. dowodu
Liczbę 𝑎3 + 𝑏3 zapisaliśmy jako iloczyn liczby 9 oraz liczby 6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1. Dlatego,
aby udowodnić podzielność przez 9, wystarczy wykazać, że drugi czynnik w rozkładzie (krok

\n
  1. dowodu) jest liczbą całkowitą.
\n

Ponieważ 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }, to 6𝑘3, 9𝑘2 oraz 5𝑘 są liczbami całkowitymi. Suma liczb
całkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.
Z kroków 1.-3. dowodu wynika, że suma sześcianów dwóch kolejnych liczb niepodzielnych
przez 3 jest liczbą podzielną przez 9.

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Dwie kolejne liczby naturalne a, b niepodzielne przez 3 można zapisać jako:
a=3k+1, b=3k+2, gdzie k∈{0,1,2,...}.
Obliczamy:
a³+b³ = (3k+1)³+(3k+2)³ = (27k³+27k²+9k+1)+(27k³+54k²+36k+8) = 54k³+81k²+45k+9 = 9(6k³+9k²+5k+1).
Ponieważ k jest liczbą całkowitą nieujemną, 6k³+9k²+5k+1 jest liczbą całkowitą.
Zatem a³+b³ jest podzielne przez 9. C.n.d.

"}]}