{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/16","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"16","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-3)\nDany jest wielomian\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2\ngdzie 𝑚 jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci\niloczynowej:\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥)\ngdzie 𝑄(𝑥) jest pewnym trójmianem kwadratowym.\nWyznacz wielomian 𝑸(𝒙) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu 𝑾(𝒙).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n33\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n6) dzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥-𝑎 ;\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n6) rozwiązuje\nrównania\nwielomianowe\npostaci\n𝑊(𝑥) = 0\ndla\nwielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej […].\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), obliczenie pierwiastków wielomianu\n𝑊(𝑥) oraz podanie wyników: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1, 𝑥1 = -2, 𝑥2 = -1, 𝑥3 =\n1\n3.\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥) oraz prawidłowa postać tego\nwielomianu: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1\nLUB\n- poprawna\nmetoda\nwyznaczenia\nwielomianu\n𝑄(𝑥),\nbłędy\nw\nobliczeniach\nwspółczynników a, b, c oraz poprawna metoda wyznaczenia pierwiastków wielomianu\n𝑊(𝑥), tzn.: zapisanie 𝑥+ 2 = 0, 𝑄(𝑥) = 0 oraz rozwiązanie obu równań.\n1 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn.: zapisanie równania\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐) oraz postępowanie prowadzące do\nwyznaczenia a, b, c: przekształcenie prawej strony do sumy algebraicznej\ni porównywanie współczynników przy tych samych potęgach 𝑥 po lewej i prawej stronie\nrównania.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), obliczenie pierwiastków wielomianu\n𝑊(𝑥) oraz podanie wyników: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1, 𝑥1 = -2, 𝑥2 = -1, 𝑥3 =\n1\n3.\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn. zastosowanie algorytmu\ndzielenia\nwielomianu\n𝑊(𝑥)\nprzez\ndwumian\n𝑥+ 2\nalbo\nzapisanie\n3𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐) oraz postępowanie prowadzące do\nwyznaczenia a, b, c, oraz poprawna postać tego wielomianu: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1\nLUB\n34\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n- poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), błędy w obliczeniach oraz\npoprawna metoda obliczenia pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥), tzn. zapisanie\n𝑥+ 2 = 0, 𝑄(𝑥) = 0 oraz rozwiązanie obu równań.\n1 pkt - zapisanie, że 𝑊(-2) = 0, oraz poprawne obliczenie współczynnika 𝑚= 8\nLUB\n- zapisanie, że 𝑊(-2) = 0, błędy w obliczeniach przy wyznaczeniu 𝑚 oraz\npostępowanie prowadzące do wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn. zastosowanie\nalgorytmu dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) przez dwumian 𝑥+ 2 albo zapisanie\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐), oraz postępowanie prowadzące do\nwyznaczenia a, b, c.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 3.\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), obliczenie pierwiastków wielomianu\n𝑊(𝑥) oraz podanie wyników: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1, 𝑥1 = -2, 𝑥2 = -1, 𝑥3 =\n1\n3.\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn. zastosowanie algorytmu\ndzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) przez dwumian 𝑥+ 2 oraz prawidłowa postać tego\nwielomianu: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1\nLUB\n- poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), błędy w obliczeniach oraz\npoprawna metoda obliczenia pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥), tzn. zapisanie\n𝑥+ 2 = 0, 𝑄(𝑥) = 0 oraz rozwiązanie obu równań.\n1 pkt - zastosowanie algorytmu dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) przez dwumian 𝑥+ 2 oraz\npoprawne obliczenie współczynnika 𝑚= 8.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWykorzystamy informację podaną w zadaniu. Zapiszemy wielomian 𝑊(𝑥) w postaci iloczynu\ndwumianu 𝑥+ 2 i wielomianu 𝑄(𝑥):\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥)\nWielomian 𝑄(𝑥) jest trójmianem kwadratowym, zatem powyższą równość zapiszemy w postaci:\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐)\ndla pewnych liczb rzeczywistych a, b, c. Prawą stronę przekształcimy do postaci sumy\nalgebraicznej wyrażeń z potęgą zmiennej 𝑥. Następnie, aby obliczyć współczynniki a, b, c, m\nporównamy wyrażenia z odpowiednimi potęgami zmiennej 𝑥 po prawej i lewej stronie równości:\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 2𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥+ 2𝑐\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = 𝑎𝑥3 + (𝑏+ 2𝑎)𝑥2 + (𝑐+ 2𝑏)𝑥+ 2𝑐\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n35\nWspółczynniki przy kolejnych potęgach 𝑥 muszą być równe, zatem:\n{\n3 = 𝑎\n𝑚= 𝑏+ 2𝑎\n3 = 𝑐+ 2𝑏\n-2 = 2𝑐\nstąd {\n𝑎= 3\n𝑏= 2\n𝑐= -1\n𝑚= 8\nWielomian 𝑄(𝑥) ma postać 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1. Pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) obliczymy\nz jego postaci iloczynowej:\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(3𝑥2 + 2𝑥-1) = 0\nstąd\n𝑥+ 2 = 0 lub 3𝑥2 + 2𝑥-1 = 0\n𝑥= -2 lub 𝑥= -1 lub 𝑥= 1\n3\nSposób 2.\nWyznaczymy jeden z pierwiastków 𝑊(𝑥). Wykorzystamy informację o rozkładzie wielomianu\n𝑊(𝑥) na czynniki:\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥) = 0\nstąd 𝑥+ 2 = 0 czyli 𝑥= -2\nObliczymy 𝑚. Ponieważ 𝑊(-2) = 0, to:\n𝑊(-2) = 3 ⋅(-2)3 + 𝑚(-2)2 + 3 ⋅(-2) -2 = 0\n-24 + 4𝑚-8 = 0\n𝑚= 8\nZatem:\n𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2\nWyznaczymy 𝑄(𝑥) - zastosujemy algorytm dzielenia wielomianów:\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥) stąd 𝑊(𝑥): (𝑥+ 2) = 𝑄(𝑥)\n(3𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2): (𝑥+ 2) = 3𝑥2 + 2𝑥-1\n-(3𝑥3 + 6𝑥2)\n2𝑥2 + 3𝑥-2\n-(2𝑥2 + 4𝑥)\n-𝑥-2\n-(-𝑥-2)\n0\nZatem:\n𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1\n36\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPozostałe pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = 3𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2 obliczymy korzystając z jego\npostaci iloczynowej, gdy znamy 𝑄(𝑥):\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(3𝑥2 + 2𝑥-1) = 0\nstąd:\n𝑥+ 2 = 0 lub 3𝑥2 + 2𝑥-1 = 0\n𝑥= -2 lub 𝑥= -1 lub 𝑥= 1\n3\nSposób 3.\nWykorzystamy informację podaną w zadaniu o rozkładzie 𝑊(𝑥) na czynniki:\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥)\nZ powyższego zapisu iloczynowego wynika, że: 𝑄(𝑥) = (3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2): (𝑥+ 2).\nZastosujemy algorytm dzielenia wielomianów:\n(3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2): (𝑥+ 2) = 3𝑥2 + (𝑚-6)𝑥+ 15 -2𝑚\n-(3𝑥3 + 6𝑥2)\n(𝑚-6)𝑥2 + 3𝑥\n-(𝑚-6)𝑥2 -(2𝑚-12)𝑥\n(3 -2𝑚+ 12)𝑥-2\n-(15 -2𝑚)𝑥-30 + 4𝑚\n-32 + 4𝑚\nZatem:\n𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + (𝑚-6)𝑥+ 15 -2𝑚\na reszta z dzielenia 𝑊(𝑥) przez (𝑥+ 2) jest dana wyrażeniem:\n𝑅(𝑥) = -32 + 4𝑚\nNa podstawie zapisu iloczynowego 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥) wnioskujemy, że reszta z dzielenia\n𝑊(𝑥): (𝑥+ 2) jest równa zero:\n𝑅(𝑥) = 0 zatem -32 + 4𝑚= 0 więc 𝑚= 8\nStąd:\n𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + (8 -6)𝑥+ 15 -2𝑚= 3𝑥2 + 2𝑥-1\nPozostałe pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(3𝑥2 + 2𝑥-1) obliczymy rozwiązując\nrównanie 𝑄(𝑥) = 0:\n3𝑥2 + 2𝑥-1 = 0\n𝑥1 = 1\n3 lub 𝑥2 = -1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n37\nFUNKCJE, CIĄGI, OPTYMALIZACJA","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zapisujemy W(x)=(x+2)(ax²+bx+c) i porównujemy współczynniki:\n3x³+mx²+3x-2 = ax³+(b+2a)x²+(c+2b)x+2c\nStąd: a=3, 2c=-2→c=-1, c+2b=3→b=2, m=b+2a=2+6=8.\nZatem Q(x) = 3x²+2x-1.\n\nPierwiastki W(x): (x+2)(3x²+2x-1)=0\nx+2=0 → x=-2\n3x²+2x-1=0 → Δ=4+12=16, x=(-2±4)/6 → x=1/3 lub x=-1\n\nOdpowiedź: Q(x)=3x²+2x-1; pierwiastki W(x): x=-2, x=-1, x=1/3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":32,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-3)<br>Dany jest wielomian<br>𝑊(𝑥) = 3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2<br>gdzie 𝑚 jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci<br>iloczynowej:<br>𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥)<br>gdzie 𝑄(𝑥) jest pewnym trójmianem kwadratowym.<br>Wyznacz wielomian 𝑸(𝒙) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu 𝑾(𝒙).<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>33<br>Wymagania ogólne<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.<br>1.<br>Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>I.<br>Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,<br>stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych<br>oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Wymagania szczegółowe<br>II. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:</p>\n<ol><li>dzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥-𝑎 ;</li></ol>\n<p>III. Równania i nierówności. Zdający:</p>\n<ol><li>rozwiązuje</li></ol>\n<p>równania<br>wielomianowe<br>postaci<br>𝑊(𝑥) = 0<br>dla<br>wielomianów<br>doprowadzonych do postaci iloczynowej […].<br>Zasady oceniania<br>dla rozwiązania sposobem 1.<br>3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), obliczenie pierwiastków wielomianu<br>𝑊(𝑥) oraz podanie wyników: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1, 𝑥1 = -2, 𝑥2 = -1, 𝑥3 =<br>1<br>3.<br>2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥) oraz prawidłowa postać tego<br>wielomianu: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1<br>LUB</p>\n<ul><li>poprawna</li></ul>\n<p>metoda<br>wyznaczenia<br>wielomianu<br>𝑄(𝑥),<br>błędy<br>w<br>obliczeniach<br>współczynników a, b, c oraz poprawna metoda wyznaczenia pierwiastków wielomianu<br>𝑊(𝑥), tzn.: zapisanie 𝑥+ 2 = 0, 𝑄(𝑥) = 0 oraz rozwiązanie obu równań.<br>1 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn.: zapisanie równania<br>3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐) oraz postępowanie prowadzące do<br>wyznaczenia a, b, c: przekształcenie prawej strony do sumy algebraicznej<br>i porównywanie współczynników przy tych samych potęgach 𝑥 po lewej i prawej stronie<br>równania.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania<br>dla rozwiązania sposobem 2.<br>3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), obliczenie pierwiastków wielomianu<br>𝑊(𝑥) oraz podanie wyników: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1, 𝑥1 = -2, 𝑥2 = -1, 𝑥3 =<br>1<br>3.<br>2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn. zastosowanie algorytmu<br>dzielenia<br>wielomianu<br>𝑊(𝑥)<br>przez<br>dwumian<br>𝑥+ 2<br>albo<br>zapisanie<br>3𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐) oraz postępowanie prowadzące do<br>wyznaczenia a, b, c, oraz poprawna postać tego wielomianu: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1<br>LUB<br>34<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023</p>\n<ul><li>poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), błędy w obliczeniach oraz</li></ul>\n<p>poprawna metoda obliczenia pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥), tzn. zapisanie<br>𝑥+ 2 = 0, 𝑄(𝑥) = 0 oraz rozwiązanie obu równań.<br>1 pkt - zapisanie, że 𝑊(-2) = 0, oraz poprawne obliczenie współczynnika 𝑚= 8<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie, że 𝑊(-2) = 0, błędy w obliczeniach przy wyznaczeniu 𝑚 oraz</li></ul>\n<p>postępowanie prowadzące do wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn. zastosowanie<br>algorytmu dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) przez dwumian 𝑥+ 2 albo zapisanie<br>3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐), oraz postępowanie prowadzące do<br>wyznaczenia a, b, c.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania<br>dla rozwiązania sposobem 3.<br>3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), obliczenie pierwiastków wielomianu<br>𝑊(𝑥) oraz podanie wyników: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1, 𝑥1 = -2, 𝑥2 = -1, 𝑥3 =<br>1<br>3.<br>2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn. zastosowanie algorytmu<br>dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) przez dwumian 𝑥+ 2 oraz prawidłowa postać tego<br>wielomianu: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1<br>LUB</p>\n<ul><li>poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), błędy w obliczeniach oraz</li></ul>\n<p>poprawna metoda obliczenia pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥), tzn. zapisanie<br>𝑥+ 2 = 0, 𝑄(𝑥) = 0 oraz rozwiązanie obu równań.<br>1 pkt - zastosowanie algorytmu dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) przez dwumian 𝑥+ 2 oraz<br>poprawne obliczenie współczynnika 𝑚= 8.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Wykorzystamy informację podaną w zadaniu. Zapiszemy wielomian 𝑊(𝑥) w postaci iloczynu<br>dwumianu 𝑥+ 2 i wielomianu 𝑄(𝑥):<br>3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥)<br>Wielomian 𝑄(𝑥) jest trójmianem kwadratowym, zatem powyższą równość zapiszemy w postaci:<br>3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐)<br>dla pewnych liczb rzeczywistych a, b, c. Prawą stronę przekształcimy do postaci sumy<br>algebraicznej wyrażeń z potęgą zmiennej 𝑥. Następnie, aby obliczyć współczynniki a, b, c, m<br>porównamy wyrażenia z odpowiednimi potęgami zmiennej 𝑥 po prawej i lewej stronie równości:<br>3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 2𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥+ 2𝑐<br>3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = 𝑎𝑥3 + (𝑏+ 2𝑎)𝑥2 + (𝑐+ 2𝑏)𝑥+ 2𝑐<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>35<br>Współczynniki przy kolejnych potęgach 𝑥 muszą być równe, zatem:<br>{<br>3 = 𝑎<br>𝑚= 𝑏+ 2𝑎<br>3 = 𝑐+ 2𝑏<br>-2 = 2𝑐<br>stąd {<br>𝑎= 3<br>𝑏= 2<br>𝑐= -1<br>𝑚= 8<br>Wielomian 𝑄(𝑥) ma postać 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1. Pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) obliczymy<br>z jego postaci iloczynowej:<br>𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(3𝑥2 + 2𝑥-1) = 0<br>stąd<br>𝑥+ 2 = 0 lub 3𝑥2 + 2𝑥-1 = 0<br>𝑥= -2 lub 𝑥= -1 lub 𝑥= 1<br>3<br>Sposób 2.<br>Wyznaczymy jeden z pierwiastków 𝑊(𝑥). Wykorzystamy informację o rozkładzie wielomianu<br>𝑊(𝑥) na czynniki:<br>𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥) = 0<br>stąd 𝑥+ 2 = 0 czyli 𝑥= -2<br>Obliczymy 𝑚. Ponieważ 𝑊(-2) = 0, to:<br>𝑊(-2) = 3 ⋅(-2)3 + 𝑚(-2)2 + 3 ⋅(-2) -2 = 0<br>-24 + 4𝑚-8 = 0<br>𝑚= 8<br>Zatem:<br>𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2<br>Wyznaczymy 𝑄(𝑥) - zastosujemy algorytm dzielenia wielomianów:<br>𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥) stąd 𝑊(𝑥): (𝑥+ 2) = 𝑄(𝑥)<br>(3𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2): (𝑥+ 2) = 3𝑥2 + 2𝑥-1<br>-(3𝑥3 + 6𝑥2)<br>2𝑥2 + 3𝑥-2<br>-(2𝑥2 + 4𝑥)<br>-𝑥-2<br>-(-𝑥-2)<br>0<br>Zatem:<br>𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1<br>36<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023<br>Pozostałe pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = 3𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2 obliczymy korzystając z jego<br>postaci iloczynowej, gdy znamy 𝑄(𝑥):<br>𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(3𝑥2 + 2𝑥-1) = 0<br>stąd:<br>𝑥+ 2 = 0 lub 3𝑥2 + 2𝑥-1 = 0<br>𝑥= -2 lub 𝑥= -1 lub 𝑥= 1<br>3<br>Sposób 3.<br>Wykorzystamy informację podaną w zadaniu o rozkładzie 𝑊(𝑥) na czynniki:<br>3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥)<br>Z powyższego zapisu iloczynowego wynika, że: 𝑄(𝑥) = (3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2): (𝑥+ 2).<br>Zastosujemy algorytm dzielenia wielomianów:<br>(3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2): (𝑥+ 2) = 3𝑥2 + (𝑚-6)𝑥+ 15 -2𝑚<br>-(3𝑥3 + 6𝑥2)<br>(𝑚-6)𝑥2 + 3𝑥<br>-(𝑚-6)𝑥2 -(2𝑚-12)𝑥<br>(3 -2𝑚+ 12)𝑥-2<br>-(15 -2𝑚)𝑥-30 + 4𝑚<br>-32 + 4𝑚<br>Zatem:<br>𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + (𝑚-6)𝑥+ 15 -2𝑚<br>a reszta z dzielenia 𝑊(𝑥) przez (𝑥+ 2) jest dana wyrażeniem:<br>𝑅(𝑥) = -32 + 4𝑚<br>Na podstawie zapisu iloczynowego 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥) wnioskujemy, że reszta z dzielenia<br>𝑊(𝑥): (𝑥+ 2) jest równa zero:<br>𝑅(𝑥) = 0 zatem -32 + 4𝑚= 0 więc 𝑚= 8<br>Stąd:<br>𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + (8 -6)𝑥+ 15 -2𝑚= 3𝑥2 + 2𝑥-1<br>Pozostałe pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(3𝑥2 + 2𝑥-1) obliczymy rozwiązując<br>równanie 𝑄(𝑥) = 0:<br>3𝑥2 + 2𝑥-1 = 0<br>𝑥1 = 1<br>3 lub 𝑥2 = -1<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>37<br>FUNKCJE, CIĄGI, OPTYMALIZACJA</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Zapisujemy W(x)=(x+2)(ax²+bx+c) i porównujemy współczynniki:<br>3x³+mx²+3x-2 = ax³+(b+2a)x²+(c+2b)x+2c<br>Stąd: a=3, 2c=-2→c=-1, c+2b=3→b=2, m=b+2a=2+6=8.<br>Zatem Q(x) = 3x²+2x-1.</p>\n<p>Pierwiastki W(x): (x+2)(3x²+2x-1)=0<br>x+2=0 → x=-2<br>3x²+2x-1=0 → Δ=4+12=16, x=(-2±4)/6 → x=1/3 lub x=-1</p>\n<p>Odpowiedź: Q(x)=3x²+2x-1; pierwiastki W(x): x=-2, x=-1, x=1/3.</p>"}]}