{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/21.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"21.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21.2. (0-2)\nDo wykresu pewnej funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥) należy punkt o współrzędnych 𝑃= (2, -6).\nOsią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu 𝑥= 3, a jednym z miejsc zerowych\nfunkcji 𝑔 jest 𝑥1 = 1.\nWyznacz i zapisz wzór funkcji 𝒚= 𝒈(𝒙) w postaci iloczynowej.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);\n9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia postaci iloczynowej funkcji 𝑔 oraz zapisanie jej wzoru:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5).\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZauważmy, że punkt przecięcia osi symetrii funkcji kwadratowej z osią 𝑂𝑥 jest środkiem\nodcinka, którego końcami są miejsca zerowe tej funkcji. Zatem:\n𝑥𝑠= 𝑥1 + 𝑥2\n2\nzatem 3 = 1 + 𝑥2\n2\nstąd 𝑥2 = 5\nZapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego współczynnika 𝑎:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n45\nObliczymy 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6) zatem:\n-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5) czyli -6 = 𝑎⋅(-3) zatem 𝑎= 2\nWzór funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) w postaci iloczynowej ma postać:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)\nSposób 2.\nNaszkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥), który spełnia warunki:\n1) przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6),\n2) posiada oś symetrii 𝑥= 3,\n3) przecina oś 𝑥 w punkcie (1,0) (miejsce zerowe funkcji 𝑔 to 𝑥1 = 1).\nDrugie miejsce zerowe funkcji 𝑔 jest położone symetrycznie do 𝑥1 = 1 względem prostej\n𝑥= 3. Zatem drugim miejscem zerowym jest 𝑥2 = 5. Zapiszemy oba miejsca zerowe:\n𝑥1 = 1 𝑥2 = 5\nZapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego współczynnika 𝑎:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)\nWyznaczymy 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6), zatem:\n-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5)\nStąd 𝑎= 2.\nWzór funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) w postaci iloczynowej ma postać:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n𝑔\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n𝑥= 3\n𝑃\n46\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oś symetrii x=3 jest równoodległa od obu miejsc zerowych, więc drugie miejsce zerowe x2 spełnia: 3=(1+x2)/2, stąd x2=5.\nWzór funkcji: g(x)=a(x-1)(x-5).\nPodstawiamy punkt P=(2,-6): -6=a(2-1)(2-5)=a·(-3), stąd a=2.\n\nOdpowiedź: g(x) = 2(x-1)(x-5).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-21.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":44,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 21.2. (0-2)
Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥) należy punkt o współrzędnych 𝑃= (2, -6).
Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu 𝑥= 3, a jednym z miejsc zerowych
funkcji 𝑔 jest 𝑥1 = 1.
Wyznacz i zapisz wzór funkcji 𝒚= 𝒈(𝒙) w postaci iloczynowej.
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymagania szczegółowe
V. Funkcje. Zdający:

\n
  1. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci
\n

ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);

\n
  1. wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej
\n

wykresie.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia postaci iloczynowej funkcji 𝑔 oraz zapisanie jej wzoru:
𝑦= 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5).
1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Zauważmy, że punkt przecięcia osi symetrii funkcji kwadratowej z osią 𝑂𝑥 jest środkiem
odcinka, którego końcami są miejsca zerowe tej funkcji. Zatem:
𝑥𝑠= 𝑥1 + 𝑥2
2
zatem 3 = 1 + 𝑥2
2
stąd 𝑥2 = 5
Zapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego współczynnika 𝑎:
𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
45
Obliczymy 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6) zatem:
-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5) czyli -6 = 𝑎⋅(-3) zatem 𝑎= 2
Wzór funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) w postaci iloczynowej ma postać:
𝑦= 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)
Sposób 2.
Naszkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥), który spełnia warunki:

\n
  1. przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6),
  2. posiada oś symetrii 𝑥= 3,
  3. przecina oś 𝑥 w punkcie (1,0) (miejsce zerowe funkcji 𝑔 to 𝑥1 = 1).
\n

Drugie miejsce zerowe funkcji 𝑔 jest położone symetrycznie do 𝑥1 = 1 względem prostej
𝑥= 3. Zatem drugim miejscem zerowym jest 𝑥2 = 5. Zapiszemy oba miejsca zerowe:
𝑥1 = 1 𝑥2 = 5
Zapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego współczynnika 𝑎:
𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)
Wyznaczymy 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6), zatem:
-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5)
Stąd 𝑎= 2.
Wzór funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) w postaci iloczynowej ma postać:
𝑦= 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
𝑦
𝑥
𝑔
8
6
4
2

\n\n

𝑥= 3
𝑃
46
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Oś symetrii x=3 jest równoodległa od obu miejsc zerowych, więc drugie miejsce zerowe x2 spełnia: 3=(1+x2)/2, stąd x2=5.
Wzór funkcji: g(x)=a(x-1)(x-5).
Podstawiamy punkt P=(2,-6): -6=a(2-1)(2-5)=a·(-3), stąd a=2.

\n

Odpowiedź: g(x) = 2(x-1)(x-5).

"}]}