{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/22.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"22.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22.2. (0-2)\nOblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego\nrzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nII\nWykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\n48\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale\ndomkniętym;\n11) wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz zapisanie wyniku 4,93 m.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli oraz prawidłowe podstawienie wszystkich\ndanych liczbowych do tego wzoru\nLUB\n- zapisanie wzoru funkcji w postaci 𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zidentyfikowanie 𝑞\njako współrzędnej wierzchołka paraboli lub wysokości maksymalnej rzutu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWysokość maksymalna, na jaką wzniesie się środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦\nwierzchołka paraboli. Skorzystamy z gotowego wzoru na wierzchołek paraboli (zobacz\nw Wybranych wzorach matematycznych):\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= -𝑏2 -4𝑎𝑐\n4𝑎\n= -1,32 + 4 ⋅0,174 ⋅2,5\n4 ⋅(-0,174)\n= 4,928 … ≈4,93 m\nSposób 2.\nWysokość maksymalna, na jaką wzniesie się środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦\nwierzchołka paraboli. Wartość tę możemy wyznaczyć przekształcając wzór funkcji\nkwadratowej 𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 do postaci kanonicznej:\n𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞\ngdzie:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 = -0,174 (𝑥2 + 1,3\n0,174 𝑥) + 2,5 =\n= -0,174 ⋅[(𝑥+\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n-(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n] + 2,5 =\n= -0,174 ⋅(𝑥+\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 0,174 ⋅(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 2,5\nZatem:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞= 0,174 ⋅(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 2,5 = 4,9281609 … ≈4,93 m\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n49","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wysokość maksymalna to rzędna wierzchołka paraboli y=-0,174x²+1,3x+2,5:\nh_max = yw = -Δ/(4a) = -(b²-4ac)/(4a) = -(1,3²+4·0,174·2,5)/(4·(-0,174)) = 4,928... ≈ 4,93 m.\n\nOdpowiedź: h_max ≈ 4,93 m.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-22.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":47,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 22.2. (0-2)
Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego
rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
II
Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno
matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,
tabel.
48
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Wymagania szczegółowe
V. Funkcje. Zdający:

\n
  1. wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale
\n

domkniętym;

\n
  1. wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień
\n

geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz zapisanie wyniku 4,93 m.
1 pkt - zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli oraz prawidłowe podstawienie wszystkich
danych liczbowych do tego wzoru
LUB

\n\n

jako współrzędnej wierzchołka paraboli lub wysokości maksymalnej rzutu.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Wysokość maksymalna, na jaką wzniesie się środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦
wierzchołka paraboli. Skorzystamy z gotowego wzoru na wierzchołek paraboli (zobacz
w Wybranych wzorach matematycznych):
ℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= -𝑏2 -4𝑎𝑐
4𝑎
= -1,32 + 4 ⋅0,174 ⋅2,5
4 ⋅(-0,174)
= 4,928 … ≈4,93 m
Sposób 2.
Wysokość maksymalna, na jaką wzniesie się środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦
wierzchołka paraboli. Wartość tę możemy wyznaczyć przekształcając wzór funkcji
kwadratowej 𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 do postaci kanonicznej:
𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞
gdzie:
ℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞
𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 = -0,174 (𝑥2 + 1,3
0,174 𝑥) + 2,5 =
= -0,174 ⋅[(𝑥+
1,3
2 ⋅0,174)
2
-(
1,3
2 ⋅0,174)
2
] + 2,5 =
= -0,174 ⋅(𝑥+
1,3
2 ⋅0,174)
2

\n\n

1,3
2 ⋅0,174)
2

\n\n

Zatem:
ℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞= 0,174 ⋅(
1,3
2 ⋅0,174)
2

\n\n

Przykładowe zadania z rozwiązaniami
49

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Wysokość maksymalna to rzędna wierzchołka paraboli y=-0,174x²+1,3x+2,5:
h_max = yw = -Δ/(4a) = -(b²-4ac)/(4a) = -(1,3²+4·0,174·2,5)/(4·(-0,174)) = 4,928... ≈ 4,93 m.

\n

Odpowiedź: h_max ≈ 4,93 m.

"}]}