{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/23","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"23","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 23. (0-2)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem rekurencyjnym:\n{𝑎1 = -2\n𝑎𝑛+1 = 𝑛⋅𝑎𝑛+ 4 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nOblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu (𝒂𝒏).\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n2) Oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛) oraz ich sumy:\n𝑆4 = 36.\n1 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎2 = 2, 𝑎3 = 8, 𝑎4 = 28.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n51\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczymy cztery kolejne wyrazy ciągu, stosując kolejno wzór rekurencyjny:\n{\n𝑎1 = -2\n𝑎2 = 1 ⋅𝑎1 + 4 = 1 ⋅(-2) + 4 = 2\n𝑎3 = 2 ⋅𝑎2 + 4 = 2 ⋅2 + 4 = 8\n𝑎4 = 3 ⋅𝑎3 + 4 = 3 ⋅8 + 4 = 28\nObliczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów:\n𝑆4 = -2 + 2 + 8 + 28 = 36","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a1=-2\na2=1·a1+4=1·(-2)+4=2\na3=2·a2+4=2·2+4=8\na4=3·a3+4=3·8+4=28\nS4=a1+a2+a3+a4=-2+2+8+28=36.\n\nOdpowiedź: S4 = 36.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":50,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 23. (0-2)
Dany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem rekurencyjnym:
{𝑎1 = -2
𝑎𝑛+1 = 𝑛⋅𝑎𝑛+ 4 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu (𝒂𝒏).
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
I.
Sprawność rachunkowa.
Wymaganie szczegółowe
VI. Ciągi. Zdający:

\n
  1. Oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie […].
\n

Zasady oceniania
2 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛) oraz ich sumy:
𝑆4 = 36.
1 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛):
𝑎2 = 2, 𝑎3 = 8, 𝑎4 = 28.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
51
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczymy cztery kolejne wyrazy ciągu, stosując kolejno wzór rekurencyjny:
{
𝑎1 = -2
𝑎2 = 1 ⋅𝑎1 + 4 = 1 ⋅(-2) + 4 = 2
𝑎3 = 2 ⋅𝑎2 + 4 = 2 ⋅2 + 4 = 8
𝑎4 = 3 ⋅𝑎3 + 4 = 3 ⋅8 + 4 = 28
Obliczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów:
𝑆4 = -2 + 2 + 8 + 28 = 36

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

a1=-2
a2=1·a1+4=1·(-2)+4=2
a3=2·a2+4=2·2+4=8
a4=3·a3+4=3·8+4=28
S4=a1+a2+a3+a4=-2+2+8+28=36.

\n

Odpowiedź: S4 = 36.

"}]}