{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/24","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 24. (0-2)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem ogólnym: 𝑎𝑛= 4𝑛-9 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWykaż, że ciąg (𝒂𝒏) jest arytmetyczny.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;\n7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych […] do rozwiązywania zadań,\nrównież osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania uzasadniającego, że ciąg jest arytmetyczny,\nnp. prawidłowe obliczenie różnicy kolejnych wyrazów oraz wykazanie, że jest stała i nie\nzależy od 𝑛 (sposób 1.)\nLUB\n52\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n- przeprowadzenie pełnego rozumowania uzasadniającego, że ciąg jest arytmetyczny,\nnp. powołanie się na własność trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz\nsprawdzenie tej własności (sposób 1.).\n1 pkt - zapisanie różnicy dwóch kolejnych wyrazów:\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4(𝑛+ 1) -9 -(4𝑛-9) (sposób 1.)\nLUB\n- zapisanie związku między trzema kolejnymi wyrazami ciągu:\n𝑎𝑛+1 =\n4𝑛-9+4𝑛-1\n2\ndla każdego 𝑛≥1 (sposób 2.).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nŻeby udowodnić, że ciąg jest arytmetyczny, należy wykazać, że różnica dwóch kolejnych\nwyrazów 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest stała i nie zależy od 𝑛. Wyznaczymy wzór ogólny na 𝑛+ 1 wyraz\nciągu:\n𝑎𝑛+1 = 4(𝑛+ 1) -9 = 4𝑛+ 4 -9 = 4𝑛-5 dla 𝑛≥1\nObliczymy różnicę kolejnych dwóch wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4𝑛-5 -(4𝑛-9) = 4𝑛-5 -4𝑛+ 9 = 4 dla każdego 𝑛≥1\nTo oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 𝑟= 4.\nSposób 2.\nŻeby udowodnić, że ciąg jest arytmetyczny, należy wykazać, że dla dowolnych kolejnych\ntrzech wyrazów ciągu 𝑎𝑛, 𝑎𝑛+1, 𝑎𝑛+2 zachodzi związek: 𝑎𝑛+1 =\n𝑎𝑛+𝑎𝑛+2\n2\ndla 𝑛≥1.\nWyznaczymy wzór ogólny na 𝑛+ 1 oraz 𝑛+ 2 wyraz ciągu:\n𝑎𝑛+1 = 4(𝑛+ 1) -9 = 4𝑛+ 4 -9 = 4𝑛-5 dla 𝑛≥1\n𝑎𝑛+2 = 4(𝑛+ 2) -9 = 4𝑛+ 8 -9 = 4𝑛-1 dla 𝑛≥1\nSprawdzamy, czy dla kolejnych trzech wyrazów ciągu (𝑎𝑛) zachodzi związek:\n𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2\n2\nPrawą stronę równania wyrazimy poprzez 𝑛:\n𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2\n2\n= 4𝑛-9 + 4𝑛-1\n2\n8𝑛-10\n2\n= 4𝑛-5 dla każdego 𝑛≥1\nPo uwzględnieniu faktu, że: 𝑎𝑛+1 = 4𝑛-5, otrzymujemy równość:\n𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2\n2\n= 𝑎𝑛+1\nTo oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest ciągiem arytmetycznym.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n53","answer":null,"answer_text":null,"solution":"an=4n-9, więc an+1=4(n+1)-9=4n-5.\nRóżnica kolejnych wyrazów: an+1-an=(4n-5)-(4n-9)=4, dla każdego n≥1 - stała, niezależna od n.\nZatem ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r=4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":51,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 24. (0-2)
Dany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem ogólnym: 𝑎𝑛= 4𝑛-9 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Wykaż, że ciąg (𝒂𝒏) jest arytmetyczny.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
1.
Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
Wymagania szczegółowe
VI. Ciągi. Zdający:

\n
  1. sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
  2. wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych […] do rozwiązywania zadań,
\n

również osadzonych w kontekście praktycznym.
Zasady oceniania
2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania uzasadniającego, że ciąg jest arytmetyczny,
np. prawidłowe obliczenie różnicy kolejnych wyrazów oraz wykazanie, że jest stała i nie
zależy od 𝑛 (sposób 1.)
LUB
52
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

\n\n

np. powołanie się na własność trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz
sprawdzenie tej własności (sposób 1.).
1 pkt - zapisanie różnicy dwóch kolejnych wyrazów:
𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4(𝑛+ 1) -9 -(4𝑛-9) (sposób 1.)
LUB

\n\n

𝑎𝑛+1 =
4𝑛-9+4𝑛-1
2
dla każdego 𝑛≥1 (sposób 2.).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Żeby udowodnić, że ciąg jest arytmetyczny, należy wykazać, że różnica dwóch kolejnych
wyrazów 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest stała i nie zależy od 𝑛. Wyznaczymy wzór ogólny na 𝑛+ 1 wyraz
ciągu:
𝑎𝑛+1 = 4(𝑛+ 1) -9 = 4𝑛+ 4 -9 = 4𝑛-5 dla 𝑛≥1
Obliczymy różnicę kolejnych dwóch wyrazów ciągu (𝑎𝑛):
𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4𝑛-5 -(4𝑛-9) = 4𝑛-5 -4𝑛+ 9 = 4 dla każdego 𝑛≥1
To oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 𝑟= 4.
Sposób 2.
Żeby udowodnić, że ciąg jest arytmetyczny, należy wykazać, że dla dowolnych kolejnych
trzech wyrazów ciągu 𝑎𝑛, 𝑎𝑛+1, 𝑎𝑛+2 zachodzi związek: 𝑎𝑛+1 =
𝑎𝑛+𝑎𝑛+2
2
dla 𝑛≥1.
Wyznaczymy wzór ogólny na 𝑛+ 1 oraz 𝑛+ 2 wyraz ciągu:
𝑎𝑛+1 = 4(𝑛+ 1) -9 = 4𝑛+ 4 -9 = 4𝑛-5 dla 𝑛≥1
𝑎𝑛+2 = 4(𝑛+ 2) -9 = 4𝑛+ 8 -9 = 4𝑛-1 dla 𝑛≥1
Sprawdzamy, czy dla kolejnych trzech wyrazów ciągu (𝑎𝑛) zachodzi związek:
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2
2
Prawą stronę równania wyrazimy poprzez 𝑛:
𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2
2
= 4𝑛-9 + 4𝑛-1
2
8𝑛-10
2
= 4𝑛-5 dla każdego 𝑛≥1
Po uwzględnieniu faktu, że: 𝑎𝑛+1 = 4𝑛-5, otrzymujemy równość:
𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2
2
= 𝑎𝑛+1
To oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest ciągiem arytmetycznym.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
53

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

an=4n-9, więc an+1=4(n+1)-9=4n-5.
Różnica kolejnych wyrazów: an+1-an=(4n-5)-(4n-9)=4, dla każdego n≥1 - stała, niezależna od n.
Zatem ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r=4.

"}]}