{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/26","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 26. (0-2)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1\n𝑥 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.\nOblicz wartość 𝒎, dla której liczby 𝒇(𝒎), 𝒇(𝟏), 𝒇(𝟐) są - odpowiednio - pierwszym,\ndrugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym.\nVI. Ciągi. Zdający:\n4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;\n7) wykorzystuje własności ciągów, w tym […] geometrycznych do rozwiązywania zadań,\nrównież osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz podanie prawidłowego wyniku: 𝑚=\n1\n2.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie wartości funkcji 𝑓: 𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) =\n1\n2 oraz\nwykorzystanie definicji albo własności ciągu geometrycznego.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n55\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:\n𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) = 1\n2\nZastosujemy własność/definicję ciągu geometrycznego:\n𝑓(2)\n𝑓(1) = 𝑓(1)\n𝑓(𝑚) = 𝑞 skąd otrzymujemy\n1\n2\n1 = 1\n1\n𝑚\nZatem:\n1\n2𝑚= 1 czyli 𝑚= 1\n2\nSposób 2.\nWyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:\n𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) = 1\n2\nZastosujemy własność ciągu geometrycznego:\n12 = 1\n𝑚⋅1\n2\nZatem:\n1\n2𝑚= 1 czyli 𝑚= 1\n2\nSposób 3.\nWyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:\n𝑎1 = 𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑎2 = 𝑓(1) = 1, 𝑎3 = 𝑓(2) = 1\n2\nZastosujemy wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego: 𝑎𝑛= 𝑎1 ∙𝑞𝑛-1 dla 𝑛≥1, albo wzór\nrekurencyjny określający ciąg geometryczny: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛𝑞 dla 𝑛≥ 1 i liczby rzeczywistej 𝑞.\nWówczas:\n𝑎3 = 𝑎2𝑞 stąd 1\n2 = 1 ⋅𝑞 zatem 𝑞= 1\n2\n𝑎3 = 𝑎1𝑞2 stąd 1\n2 = 1\n𝑚⋅𝑞2 zatem |𝑞| = √𝑚\n2\nZ powyższych zależności wynika, że:\n1\n2 = √𝑚\n2 stąd 1\n4 = 𝑚\n2 zatem 𝑚= 1\n2\n56\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"f(m)=1/m, f(1)=1, f(2)=1/2 - kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.\nZ własności ciągu geometrycznego: f(1)²=f(m)·f(2)\n1² = (1/m)·(1/2)\n1 = 1/(2m)\n2m=1, m=1/2.\n\nOdpowiedź: m = 1/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":54,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1
𝑥 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.
Oblicz wartość 𝒎, dla której liczby 𝒇(𝒎), 𝒇(𝟏), 𝒇(𝟐) są - odpowiednio - pierwszym,
drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.
Wymaganie ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Wymagania szczegółowe
V. Funkcje. Zdający:

\n
  1. oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym.
\n

VI. Ciągi. Zdający:

\n
  1. sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
  2. wykorzystuje własności ciągów, w tym […] geometrycznych do rozwiązywania zadań,
\n

również osadzonych w kontekście praktycznym.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz podanie prawidłowego wyniku: 𝑚=
1
2.
1 pkt - obliczenie/zapisanie wartości funkcji 𝑓: 𝑓(𝑚) = 1
𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) =
1
2 oraz
wykorzystanie definicji albo własności ciągu geometrycznego.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
55
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Wyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:
𝑓(𝑚) = 1
𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) = 1
2
Zastosujemy własność/definicję ciągu geometrycznego:
𝑓(2)
𝑓(1) = 𝑓(1)
𝑓(𝑚) = 𝑞 skąd otrzymujemy
1
2
1 = 1
1
𝑚
Zatem:
1
2𝑚= 1 czyli 𝑚= 1
2
Sposób 2.
Wyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:
𝑓(𝑚) = 1
𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) = 1
2
Zastosujemy własność ciągu geometrycznego:
12 = 1
𝑚⋅1
2
Zatem:
1
2𝑚= 1 czyli 𝑚= 1
2
Sposób 3.
Wyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:
𝑎1 = 𝑓(𝑚) = 1
𝑚, 𝑎2 = 𝑓(1) = 1, 𝑎3 = 𝑓(2) = 1
2
Zastosujemy wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego: 𝑎𝑛= 𝑎1 ∙𝑞𝑛-1 dla 𝑛≥1, albo wzór
rekurencyjny określający ciąg geometryczny: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛𝑞 dla 𝑛≥ 1 i liczby rzeczywistej 𝑞.
Wówczas:
𝑎3 = 𝑎2𝑞 stąd 1
2 = 1 ⋅𝑞 zatem 𝑞= 1
2
𝑎3 = 𝑎1𝑞2 stąd 1
2 = 1
𝑚⋅𝑞2 zatem |𝑞| = √𝑚
2
Z powyższych zależności wynika, że:
1
2 = √𝑚
2 stąd 1
4 = 𝑚
2 zatem 𝑚= 1
2
56
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

f(m)=1/m, f(1)=1, f(2)=1/2 - kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.
Z własności ciągu geometrycznego: f(1)²=f(m)·f(2)
1² = (1/m)·(1/2)
1 = 1/(2m)
2m=1, m=1/2.

\n

Odpowiedź: m = 1/2.

"}]}