Zadanie 27.2. (0-3)
Czas połowicznego rozpadu węgla
C
14 to około 5700
lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania
radiowęglowego, że masa izotopu węgla
C
14
w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym
stanowi
1
16 masy tego izotopu, jaka utrzymywała się
podczas życia organizmu.
Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do
stu lat.
Wymagania ogólne
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1.
Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno
matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów […].
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
58
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Wymagania szczegółowe
I.
Liczby rzeczywiste. Zdający:
rzeczywistych.
V. Funkcje. Zdający:
i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia 𝑡 oraz podanie prawidłowego wyniku: 𝑡= 22 800 lat.
2 pkt - zapisanie równania:
1
16 = (
1
2)
𝑡
𝑇 oraz wyznaczenie z niego
𝑡
𝑇= 4.
1 pkt - poprawne zapisanie równania:
1
16 𝑚0 = 𝑚0 (
1
2)
𝑡
𝑇.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 2.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile lat ma znalezisko archeologiczne oraz podanie
prawidłowego wyniku: 22 800 lat.
2 pkt - zapisanie związku między masą izotopu węgla
C
14 jaka utrzymywała się za życia
organizmu a masą tego izotopu w znalezisku:
𝑚4 =
1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 ∙𝑚0 =
1
16 ∙𝑚0.
1 pkt - poprawne zapisanie masy izotopu węgla
C
14 po 5700 latach (po czasie połowicznego
rozpadu): 𝑚1 = 1
2 ∙𝑚0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Wykorzystamy wzór podany we wstępie do zadania, opisujący rozpad promieniotwórczy,
zastosowany do masy izotopu:
𝑚(𝑡) = 𝑚0 (1
2)
𝑡
𝑇
Podstawimy dane z zadania i przekształcimy równanie:
1
16 𝑚0 = 𝑚0 (1
2)
𝑡
𝑇
czyli 1
16 = (1
2)
𝑡
𝑇
Zgodnie z definicją funkcji wykładniczej, powyższa równość oznacza, że liczba
1
2 podniesiona
do potęgi
𝑡
𝑇 musi dać w wyniku
1
𝑡
𝑇= 4
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
59
Obliczymy, ile lat liczy sobie znalezisko. Z powyższego równania wynika, że:
𝑡= 4𝑇= 4 ⋅5700 = 22 800 lat
Sposób 2.
Przyjmijmy, że:
𝑚0 - masa początkowa izotopu węgla
C
14 .
Zgodnie z definicją pojęcia czasu połowicznego rozpadu, po każdym upływie czasu równym
czasowi połowicznego rozpadu, masa izotopu promieniotwórczego w próbce zmniejsza się
o połowę. Zatem po każdym kolejnym upływie 5700 lat, masa izotopu węgla
C
14
w próbce/znalezisku będzie się zmniejszała o połowę.
Zatem:
𝑚1 =
1
2 ∙𝑚0 - masa izotopu węgla
C
14 w próbce po 5700 latach.
𝑚2 = 1
2 ∙1
2 ∙𝑚0 = 1
4 ∙𝑚0 - masa izotopu węgla
C
14 w próbce po 11400 latach.
𝑚3 =
1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 ∙𝑚0 =
1
8 ∙𝑚0 - masa izotopu węgla
C
14 w próbce po 17100 latach.
𝑚4 =
1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 ∙
1
2 ∙𝑚0 =
1
16 ∙𝑚0 - masa izotopu węgla
C
14 w próbce 22800 latach.
Znalezisko archeologiczne ma 22800 lat.
60
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
m(t)=m0·(1/2)^(t/T), gdzie T=5700 lat.
Dane: m(t)/m0 = 1/16, więc (1/2)^(t/T)=1/16=(1/2)^4, stąd t/T=4.
t = 4·5700 = 22800 lat.
Odpowiedź: znalezisko ma około 22 800 lat.
"}]}