Zadanie 28. (0-4)
Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek
połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki
będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe,
każda o szerokości 10 m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz
rozdzielającego obie działki wyniesie 580 metrów, przy czym szerokości obu bram
wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.
Oblicz wymiary 𝒙 i 𝒚 każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole
powierzchni magazynowej było największe.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.
4.
Stosowanie i tworzenie strategii podczas rozwiązywania zadań, również
w sytuacjach nietypowych.
𝑥
𝑦
𝑦
10 m
10 m
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
61
Wymaganie szczegółowe
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją
kwadratową.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów działki oraz podanie prawidłowych
wyników: 𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.
3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole działki w zależności od jednej zmiennej oraz
prawidłowe obliczenie współrzędnej 𝑥 wierzchołka paraboli: 𝑥= 100 m.
2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej w zależności
od jednej zmiennej:
𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -
3
4 𝑥) dla 𝑥∈(0,
560
3 ).
1 pkt - zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej: 𝑃= 𝑥⋅2𝑦
LUB
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Całkowitą długość płotu - po uwzględnieniu
warunków zadania - można zapisać równaniem:
3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580
Powyższe równanie określa związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦. Wymiar 𝑦 jednej działki musi
być większy od 10 m, ze względu na ustaloną szerokość bramy wjazdowej. W związku z tym,
w modelu matematycznym uwzględniającym warunki zadania, wymiary 𝑥 i 𝑦 spełniają:
𝑥> 0 i 𝑦> 10
Pole 𝑃 całkowitej powierzchni magazynowej jest równe polu prostokąta o bokach długości 𝑥
oraz 2𝑦. Zatem:
𝑃= 𝑥⋅2𝑦
Pole powierzchni magazynowej wyrazimy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu najpierw
wyznaczymy 𝑦:
3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580
4𝑦= 600 -3𝑥
𝑦= 150 -3
4 𝑥
Następnie podstawimy wyznaczone 𝑦 do wzoru na pole 𝑃= 𝑥⋅2𝑦:
𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3
4 𝑥)
62
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Wyznaczymy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają:
𝑦= 150 -3
4 𝑥 oraz 𝑦> 10 oraz 𝑥> 0
Zatem:
150 -3
4 𝑥> 10 oraz 𝑥> 0
𝑥< 560
3 oraz 𝑥> 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości:
𝑥∈(0, 560
3 )
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli 𝒫 skierowanej ramionami do dołu. Funkcja 𝑃
przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka
paraboli 𝒫. Współrzędną 𝑥 wierzchołka paraboli 𝒫 obliczymy z miejsc zerowych funkcji
kwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie:
2𝑥(150 -3
4 𝑥) = 0
Z powyższego równania wynika, że:
2𝑥= 0 lub 150 -3
4 𝑥= 0
𝑥1 = 0 lub 𝑥2 = 200
Funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną
wierzchołka paraboli 𝒫, czyli dla:
𝑥= 𝑥1 + 𝑥2
2
= 100 m
Obliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe:
𝑦= 150 m -3
4 ⋅100 m = 75 m
Całkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach:
𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
63
PLANIMETRIA, GEOMETRIA ANALITYCZNA, STEREOMETRIA
Oznaczenia jak na rysunku: dwie działki x×y, płot dzielący o długości x, dwie bramy po 10 m.
Łączna długość płotu: 3x+4y-2·10=580, stąd y=150-(3/4)x, gdzie x>0 i y>10 (czyli x<560/3).
Pole całkowite: P(x)=x·2y=2x(150-(3/4)x).
To funkcja kwadratowa o ramionach w dół, miejsca zerowe: x=0 lub x=200.
Maksimum dla x = (0+200)/2 = 100 m.
Wtedy y=150-(3/4)·100=75 m.
Odpowiedź: x=100 m, y=75 m (dla tych wymiarów pole powierzchni magazynowej jest największe).
"}]}