{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/31","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 31. (0-4)\nWierzchołki 𝐴 i 𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 leżą na okręgu o promieniu 𝑟. Środek 𝑆 tego okręgu leży na\nboku 𝐴𝐵 tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 są równe\nodpowiednio |𝐴𝐵| = 3𝑟 oraz |𝐴𝐶| = √3𝑟.\nOblicz miary wszystkich kątów trójkąta 𝑨𝑩𝑪.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje\ntrójkąty).\nVIII. Planimetria. Zdający:\n1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków\nstycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;\n5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;\n11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach\npłaskich oraz obliczania pól figur.\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n67\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne obliczenie miar kątów trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°\n3 pkt - poprawne obliczenie miar kątów w trójkącie 𝐷𝐵𝐶:\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\nLUB\n- poprawne prawidłowe obliczenie miar kątów w trójkącie 𝐴𝑆𝐶:\n|∡𝐴𝑆𝐶| = 120°, |∡𝐶𝐴𝑆| = 30°, |∡𝑆𝐶𝐴| = 30°.\n2 pkt - poprawne obliczenie miar pozostałych kątów trójkąta 𝐴𝐷𝐶:\n|∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°\nLUB\n- poprawne obliczenie miar pozostałych kątów trójkąta 𝐵𝑆𝐶:\n|∡𝑆𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐶𝑆𝐵| = 60°\n1 pkt - zapisanie, że kąt |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°\nLUB\n- zapisanie, że kąt |∡𝐵𝐶𝑆| = 90°\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji. Na\nponiższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków postępowania.\n1. Kąt ∡𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°, czyli trójkąt\n𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny.\n2. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości boku |𝐶𝐷|:\n|𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐷|2 -|𝐴𝐶|2 stąd |𝐶𝐷|2 = (2𝑟)2 -(√3𝑟)\n2 = 𝑟2\n|𝐶𝐷| = 𝑟\n3. Trójkąt 𝐴𝐷𝐶 o bokach 2𝑟, 𝑟, √3𝑟 jest połową trójkąta równobocznego, zatem:\n|∡𝐶𝐴𝐷| = 30° , |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n68\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n4. Zauważmy, że |𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟, zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tego\ni poprzedniego faktu wynika, że\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°,\n|∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\nZ omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°,\n|∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°\nSposób 2.\nPrzeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji. Na\nponiższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków postępowania.\n1. Kąt ∡𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°.\n2. Zauważmy, że: cos |∡𝐶𝐴𝐷| =\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐷| = √3\n2\nStąd wynika, że |∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, zatem |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°.\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n30°\n60°\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n30°\n30°\n120°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n120°\n30°\n30°\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n69\n3. Zauważamy, że |𝑆𝐶| = |𝑆𝐷| = 𝑟, czyli trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoramienny, zatem:\n|∡𝐷𝐶𝑆| = |∡𝑆𝐷𝐶| = 60° Stąd wynika, że |∡𝐶𝑆𝐷| = 60°.\nZ powyższego wynika, że trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoboczny.\n4. Zauważamy, że |𝑆𝐴| = |𝑆𝐶| = 𝑟, czyli trójkąt 𝐴𝑆𝐶 jest równoramienny. Podobnie mamy\n|𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟 , zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tych i poprzednich faktów\nwynika, że\n|∡𝐴𝑆𝐶| = 180° -60° = 120°,\n|∡𝑆𝐴𝐶| = 30°, |∡𝑆𝐶𝐴| = 30°\noraz\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°,\n|∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\nZ omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°,\n|∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n30°\n60°\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n60°\n60°\n60°\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n60°\n60°\n60°\n30°\n120°\n30°\n30°\n30°\n120°\n70\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech D - drugi koniec średnicy przechodzącej przez A (|AD|=2r). Kąt ∡ACD jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc |∡ACD|=90°.\nZ tw. Pitagorasa w trójkącie ADC: |CD|²=|AD|²-|AC|²=(2r)²-(√3r)²=r², |CD|=r.\nTrójkąt ADC o bokach 2r, r, √3r to \"połówka\" trójkąta równobocznego, więc |∡CAD|=30°, |∡ADC|=60°.\nPonieważ |DB|=|DC|=r (D jest środkiem AB, |AB|=3r więc |DB|=3r-2r=r), trójkąt DBC jest równoramienny, stąd |∡CDB|=180°-60°=120°, |∡DBC|=|∡BCD|=30°.\nKąty trójkąta ABC: |∡CAB|=30°, |∡ABC|=30°, |∡BCA|=|∡BCD|+|∡DCA|=30°+90°=120°.\n\nOdpowiedź: |∡CAB|=30°, |∡ABC|=30°, |∡BCA|=120°.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":66,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 31. (0-4)
Wierzchołki 𝐴 i 𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 leżą na okręgu o promieniu 𝑟. Środek 𝑆 tego okręgu leży na
boku 𝐴𝐵 tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 są równe
odpowiednio |𝐴𝐵| = 3𝑟 oraz |𝐴𝐶| = √3𝑟.
Oblicz miary wszystkich kątów trójkąta 𝑨𝑩𝑪.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
Wymagania szczegółowe
VII. Trygonometria. Zdający:

\n
  1. oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje
\n

trójkąty).
VIII. Planimetria. Zdający:

\n
  1. wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków
\n

stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;

\n
  1. stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
  2. stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach
\n

płaskich oraz obliczania pól figur.
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
67
Zasady oceniania
4 pkt - poprawne obliczenie miar kątów trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°
3 pkt - poprawne obliczenie miar kątów w trójkącie 𝐷𝐵𝐶:
|∡𝐶𝐷𝐵| = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°
LUB

\n\n

|∡𝐴𝑆𝐶| = 120°, |∡𝐶𝐴𝑆| = 30°, |∡𝑆𝐶𝐴| = 30°.
2 pkt - poprawne obliczenie miar pozostałych kątów trójkąta 𝐴𝐷𝐶:
|∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°
LUB

\n\n

|∡𝑆𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐶𝑆𝐵| = 60°
1 pkt - zapisanie, że kąt |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°
LUB

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji. Na
poniższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków postępowania.

\n
  1. Kąt ∡𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°, czyli trójkąt
\n

𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny.

\n
  1. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości boku |𝐶𝐷|:
\n

|𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐷|2 -|𝐴𝐶|2 stąd |𝐶𝐷|2 = (2𝑟)2 -(√3𝑟)
2 = 𝑟2
|𝐶𝐷| = 𝑟

\n
  1. Trójkąt 𝐴𝐷𝐶 o bokach 2𝑟, 𝑟, √3𝑟 jest połową trójkąta równobocznego, zatem:
\n

|∡𝐶𝐴𝐷| = 30° , |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
ξ3𝑟
𝐷
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
68
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

\n
  1. Zauważmy, że |𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟, zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tego
\n

i poprzedniego faktu wynika, że
|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°,
|∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°
Z omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:
|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°,
|∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°
Sposób 2.
Przeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji. Na
poniższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków postępowania.

\n
  1. Kąt ∡𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°.
  2. Zauważmy, że: cos |∡𝐶𝐴𝐷| =
\n

|𝐴𝐶|
|𝐴𝐷| = √3
2
Stąd wynika, że |∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, zatem |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°.
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
ξ3𝑟
30°
60°
𝐷
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
𝐷
30°
30°
120°
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
120°
30°
30°
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
69

\n
  1. Zauważamy, że |𝑆𝐶| = |𝑆𝐷| = 𝑟, czyli trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoramienny, zatem:
\n

|∡𝐷𝐶𝑆| = |∡𝑆𝐷𝐶| = 60° Stąd wynika, że |∡𝐶𝑆𝐷| = 60°.
Z powyższego wynika, że trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoboczny.

\n
  1. Zauważamy, że |𝑆𝐴| = |𝑆𝐶| = 𝑟, czyli trójkąt 𝐴𝑆𝐶 jest równoramienny. Podobnie mamy
\n

|𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟 , zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tych i poprzednich faktów
wynika, że
|∡𝐴𝑆𝐶| = 180° -60° = 120°,
|∡𝑆𝐴𝐶| = 30°, |∡𝑆𝐶𝐴| = 30°
oraz
|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°,
|∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°
Z omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:
|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°,
|∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
ξ3𝑟
30°
60°
𝐷
𝑟
𝑟
𝑟
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
𝐷
𝑟
𝑟
60°
60°
60°
𝑟
𝑟
𝐶
𝐴
𝐵
𝑆
𝐷
60°
60°
60°
30°
120°
30°
30°
30°
120°
70
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Niech D - drugi koniec średnicy przechodzącej przez A (|AD|=2r). Kąt ∡ACD jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc |∡ACD|=90°.
Z tw. Pitagorasa w trójkącie ADC: |CD|²=|AD|²-|AC|²=(2r)²-(√3r)²=r², |CD|=r.
Trójkąt ADC o bokach 2r, r, √3r to "połówka" trójkąta równobocznego, więc |∡CAD|=30°, |∡ADC|=60°.
Ponieważ |DB|=|DC|=r (D jest środkiem AB, |AB|=3r więc |DB|=3r-2r=r), trójkąt DBC jest równoramienny, stąd |∡CDB|=180°-60°=120°, |∡DBC|=|∡BCD|=30°.
Kąty trójkąta ABC: |∡CAB|=30°, |∡ABC|=30°, |∡BCA|=|∡BCD|+|∡DCA|=30°+90°=120°.

\n

Odpowiedź: |∡CAB|=30°, |∡ABC|=30°, |∡BCA|=120°.

"}]}