{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/34","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"34","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 34. (0-3)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta wybrano punkt 𝐷, taki, że |𝐴𝐷| =\n1\n4 |𝐴𝐵|,\na na boku 𝐵𝐶 wybrano taki punkt 𝐸, że |𝐵𝐸| =\n1\n5 |𝐵𝐶| (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta\n𝐴𝐵𝐶 jest równe 20.\nOblicz pole trójkąta 𝑫𝑩𝑬.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n5) stosuje […] wzór na pole trójkąta 𝑃=\n1\n2 𝑎𝑏sin 𝛾.\nVIII. Planimetria. Zdający:\n8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów.\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n73\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - wykazanie oraz zapisanie, że\n𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n= 3\n4 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n= 1\n5\n1 pkt - wykazanie i zapisanie, że stosunek pól trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐷𝐵𝐸 jest równy stosunkowi\ndługości ich podstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵:\n𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n= 3\n4\nLUB\n- wykazanie i zapisanie, że stosunek pól trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐶 jest równy stosunkowi\ndługości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n= 1\n5\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - wyprowadzenie i zapisanie zależności |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 40 oraz wzoru na pole\ntrójkąta 𝐷𝐵𝐸: 𝑃𝐷𝐵𝐸=\n1\n2 ⋅(\n3\n4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅(\n1\n5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 z sinusem kąta ∡𝐴𝐵𝐶 oraz wyprowadzenie\nzależności |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin𝛽= 40\nLUB\n- zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 z sinusem kąta ∡𝐷𝐵𝐸 oraz zapisanie /\nzastosowanie związków |𝐷𝐵| =\n3\n4 |𝐴𝐵| oraz |𝐵𝐸| =\n1\n5 |𝐵𝐶|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 3.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - zapisanie zależności |𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40 oraz wzoru na pole trójkąta: 𝑃𝐷𝐵𝐸=\n3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸\n(lub równoważnego) oraz zapisanie zależności:\nℎ𝐸\nℎ𝐶=\n1\n5 wynikającej z podobieństwa\ntrójkątów 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸 .\n1 pkt - zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 z wysokością ℎ𝐶 oraz wyprowadzenie\nzależności |𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40\nLUB\n- zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 z wysokością ℎ𝐸 oraz zapisanie /\nzastosowanie związku |𝐷𝐵| =\n3\n4 |𝐴𝐵|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n74\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nSkorzystamy ze związków:\n|𝐷𝐵|\n|𝐴𝐵| = 3\n4 |𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| = 1\n5\n1. Zauważmy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐷𝐵𝐸 mają wspólny wierzchołek 𝐸, a ich podstawy 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵\nleżą na jednaj prostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną\nz wierzchołka 𝐸. Więc stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości ich\npodstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵.\n𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n|𝐷𝐵|\n|𝐴𝐵| = 3\n4\n2. Trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólny wierzchołek 𝐴, a ich podstawy 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶 leżą na jednaj\nprostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐴. Więc\nstosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶.\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n= |𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| = 1\n5\n3. Z punktów 1. i 2. Otrzymujemy:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n4 𝑃𝐴𝐵𝐸= 3\n4 ⋅1\n5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 3\n4 ⋅1\n5 ⋅20 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐸\n𝐴\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n75\nSposób 2.\nOznaczmy miarę kąta ∡𝐷𝐵𝐸= ∡𝐴𝐵𝐶 jako 𝛽.\n1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽\n20 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽 stąd |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 40\n2. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunek zadania:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅|𝐵𝐸| ⋅sin 𝛽\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅(3\n4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅(1\n5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽 stąd 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽\n3. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 podstawimy wynik z punktu 1:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 3\n40 ⋅40 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\n𝛽\n76\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 3.\nWysokości trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐷𝐵𝐸 opuszczone -\nodpowiednio - z wierzchołków 𝐶 i 𝐸 oznaczymy\njako ℎ𝐶, ℎ𝐸.\n1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶\n20 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶 stąd |𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40\n2. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunek zadania:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅ℎ𝐸\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅(3\n4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅ℎ𝐸 stąd 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸\n3. Trójkąty 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸 są podobne (na podstawie cechy: kąt, kąt, kąt), zatem:\n|𝐸𝐸1|\n|𝐶𝐶1| =\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| stąd ℎ𝐸\nℎ𝐶\n= 1\n5\n4. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 (punkt 2.) podstawimy wynik z punktu 1.\ni wynik z punktu 3.:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶\n5 = 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 3\n40 ⋅40 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\nℎ𝐶\nℎ𝐸\n𝐶1\n𝐸1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n77","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Trójkąty ABE i DBE mają wspólny wierzchołek E, a podstawy DB, AB leżą na jednej prostej, więc:\nP(DBE)/P(ABE) = |DB|/|AB| = 3/4 (bo |AD|=1/4|AB|, więc |DB|=3/4|AB|).\nTrójkąty ABE i ABC mają wspólny wierzchołek A, a podstawy BE, BC leżą na jednej prostej, więc:\nP(ABE)/P(ABC) = |BE|/|BC| = 1/5.\nStąd: P(DBE) = (3/4)·(1/5)·P(ABC) = (3/4)·(1/5)·20 = 3.\n\nOdpowiedź: pole trójkąta DBE wynosi 3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":72,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 34. (0-3)
Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta wybrano punkt 𝐷, taki, że |𝐴𝐷| =
1
4 |𝐴𝐵|,
a na boku 𝐵𝐶 wybrano taki punkt 𝐸, że |𝐵𝐸| =
1
5 |𝐵𝐶| (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta
𝐴𝐵𝐶 jest równe 20.
Oblicz pole trójkąta 𝑫𝑩𝑬.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
2.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów
praktycznych i teoretycznych.
Wymagania szczegółowe
VII. Trygonometria. Zdający:

\n
  1. stosuje […] wzór na pole trójkąta 𝑃=
\n

1
2 𝑎𝑏sin 𝛾.
VIII. Planimetria. Zdający:

\n
  1. korzysta z cech podobieństwa trójkątów.
\n

𝐶
𝐷
𝐵
𝐴
𝐸
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
73
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 1.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.
2 pkt - wykazanie oraz zapisanie, że
𝑃𝐷𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐸
= 3
4 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐶
= 1
5
1 pkt - wykazanie i zapisanie, że stosunek pól trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐷𝐵𝐸 jest równy stosunkowi
długości ich podstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵:
𝑃𝐷𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐸
= 3
4
LUB

\n\n

długości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶:
𝑃𝐴𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐶
= 1
5
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 2.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.
2 pkt - wyprowadzenie i zapisanie zależności |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 40 oraz wzoru na pole
trójkąta 𝐷𝐵𝐸: 𝑃𝐷𝐵𝐸=
1
2 ⋅(
3
4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅(
1
5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽.
1 pkt - zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 z sinusem kąta ∡𝐴𝐵𝐶 oraz wyprowadzenie
zależności |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin𝛽= 40
LUB

\n\n

zastosowanie związków |𝐷𝐵| =
3
4 |𝐴𝐵| oraz |𝐵𝐸| =
1
5 |𝐵𝐶|.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
dla rozwiązania sposobem 3.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.
2 pkt - zapisanie zależności |𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40 oraz wzoru na pole trójkąta: 𝑃𝐷𝐵𝐸=
3
8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸
(lub równoważnego) oraz zapisanie zależności:
ℎ𝐸
ℎ𝐶=
1
5 wynikającej z podobieństwa
trójkątów 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸 .
1 pkt - zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 z wysokością ℎ𝐶 oraz wyprowadzenie
zależności |𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40
LUB

\n\n

zastosowanie związku |𝐷𝐵| =
3
4 |𝐴𝐵|.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
74
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Skorzystamy ze związków:
|𝐷𝐵|
|𝐴𝐵| = 3
4 |𝐵𝐸|
|𝐵𝐶| = 1
5

\n
  1. Zauważmy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐷𝐵𝐸 mają wspólny wierzchołek 𝐸, a ich podstawy 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵
\n

leżą na jednaj prostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną
z wierzchołka 𝐸. Więc stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości ich
podstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵.
𝑃𝐷𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐸
|𝐷𝐵|
|𝐴𝐵| = 3
4

\n
  1. Trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólny wierzchołek 𝐴, a ich podstawy 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶 leżą na jednaj
\n

prostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐴. Więc
stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶.
𝑃𝐴𝐵𝐸
𝑃𝐴𝐵𝐶
= |𝐵𝐸|
|𝐵𝐶| = 1
5

\n
  1. Z punktów 1. i 2. Otrzymujemy:
\n

𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
4 𝑃𝐴𝐵𝐸= 3
4 ⋅1
5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 3
4 ⋅1
5 ⋅20 = 3
𝐶
𝐷
𝐵
𝐸
𝐴
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
75
Sposób 2.
Oznaczmy miarę kąta ∡𝐷𝐵𝐸= ∡𝐴𝐵𝐶 jako 𝛽.

\n
  1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:
\n

𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽
20 = 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽 stąd |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 40

\n
  1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunek zadania:
\n

𝑃𝐷𝐵𝐸= 1
2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅|𝐵𝐸| ⋅sin 𝛽
𝑃𝐷𝐵𝐸= 1
2 ⋅(3
4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅(1
5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽 stąd 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽

\n
  1. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 podstawimy wynik z punktu 1:
\n

𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 3
40 ⋅40 = 3
𝐶
𝐷
𝐵
𝐴
𝐸
𝛽
76
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023
Sposób 3.
Wysokości trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐷𝐵𝐸 opuszczone -
odpowiednio - z wierzchołków 𝐶 i 𝐸 oznaczymy
jako ℎ𝐶, ℎ𝐸.

\n
  1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:
\n

𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶
20 = 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶 stąd |𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40

\n
  1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunek zadania:
\n

𝑃𝐷𝐵𝐸= 1
2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅ℎ𝐸
𝑃𝐷𝐵𝐸= 1
2 ⋅(3
4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅ℎ𝐸 stąd 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸

\n
  1. Trójkąty 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸 są podobne (na podstawie cechy: kąt, kąt, kąt), zatem:
\n

|𝐸𝐸1|
|𝐶𝐶1| =
|𝐵𝐸|
|𝐵𝐶| stąd ℎ𝐸
ℎ𝐶
= 1
5

\n
  1. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 (punkt 2.) podstawimy wynik z punktu 1.
\n

i wynik z punktu 3.:
𝑃𝐷𝐵𝐸= 3
8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸= 3
8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶
5 = 3
40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 3
40 ⋅40 = 3
𝐶
𝐷
𝐵
𝐴
𝐸
ℎ𝐶
ℎ𝐸
𝐶1
𝐸1
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
77

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Trójkąty ABE i DBE mają wspólny wierzchołek E, a podstawy DB, AB leżą na jednej prostej, więc:
P(DBE)/P(ABE) = |DB|/|AB| = 3/4 (bo |AD|=1/4|AB|, więc |DB|=3/4|AB|).
Trójkąty ABE i ABC mają wspólny wierzchołek A, a podstawy BE, BC leżą na jednej prostej, więc:
P(ABE)/P(ABC) = |BE|/|BC| = 1/5.
Stąd: P(DBE) = (3/4)·(1/5)·P(ABC) = (3/4)·(1/5)·20 = 3.

\n

Odpowiedź: pole trójkąta DBE wynosi 3.

"}]}