{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/37","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"37","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 37. (0-3)\nTrzy różne punkty 𝐴, 𝐵 i 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Odcinek 𝐵𝐷 jest średnicą\ntego okręgu. Styczne 𝑘 i 𝑙 do tego okręgu, odpowiednio w punktach 𝐴 i 𝐵, przecinają się\nw punkcie 𝐶 (zobacz rysunek poniżej).\nWykaż, że trójkąty 𝑨𝑪𝑩 i 𝑨𝑺𝑫 są podobne.\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich\npodstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;\n7) stosuje twierdzenia […] o kącie między styczną a cięciwą;\n8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;\n12) przeprowadza dowody geometryczne.\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n85\nZasady oceniania\n(uwzględniające oba sposoby rozwiązania oraz ich kompilacje)\n3 pkt - poprawne przeprowadzenie pełnego dowodu podobieństwa trójkątów 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷.\n2 pkt - zapisanie związków pomiędzy kątami: |∡𝐵𝑆𝐴| = 180° -|∡𝐴𝐶𝐵| oraz\n|∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -|∡𝐵𝑆𝐴| oraz zapisanie zależności wymienionych w kryterium za\n1 pkt\nLUB\n- wykazanie, że |∡𝐴𝑆𝐷| = |∡𝐴𝐶𝐵|\noraz zapisanie zależności wymienionych\nw kryterium za 1 pkt\nLUB\n- wykazanie, że |∡𝐵𝐷𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| oraz zapisanie zależności wymienionych\nw kryterium za 1 pkt.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny oraz zapisanie związku między jego\nkątami wewnętrznymi: |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐶𝐵𝐴| = (180° -|∡𝐴𝐶𝐵|): 2\nLUB\n- zapisanie, że trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny oraz zapisanie związku między jego\nkątami wewnętrznymi: |∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = (180° -|∡𝐴𝑆𝐷|): 2\nLUB\n- zapisanie, ze trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne, oraz wskazanie / zapisanie\nrówności odpowiednich ramion.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n1. Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵|.\nTa równość odcinków stycznych wynika z faktu, że trójkąty 𝑆𝐶𝐵 i 𝑆𝐶𝐴 są przystające na mocy\ncechy: kąt, bok (bok 𝐶𝑆), kąt (promień okręgu w punkcie styczności jest prostopadły do\nstycznej, a środek 𝑆 okręgu leży na dwusiecznej kąta ∡𝐴𝐶𝐵).\n2. Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są\npromieniami okręgu).\n3. Sposób 1. kroku 3.\nOznaczymy |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽. Na mocy twierdzenia\no kącie\nmiędzy\nstyczną\na cięciwą\ni\nkącie\nśrodkowym opartym na tym łuku co cięciwa,\nmamy:\n|∡𝐵𝑆𝐴| = 2𝛽.\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym\notrzymujemy:\n|∡𝐵𝐷𝐴| = 1\n2 |∡𝐵𝑆𝐴| = 𝛽\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛽\n𝛽\n2𝛽\n86\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 2. kroku 3.\nOznaczymy |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽. Na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą i kącie\nśrodkowym opartym na tym samym łuku co cięciwa, mamy:\n|∡𝐵𝑆𝐴| = 2𝛽. Zatem:\n|∡𝑆𝐷𝐴| = 180° -(180° -2𝛽)\n2\n= 𝛽\nSposób 3. kroku 3.\nOznaczymy |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽. Na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą (tw.\no kącie dopisanym) i kącie wpisanym opartym na tym samym łuku co cięciwa, mamy:\n|∡𝐵𝐷𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽\n4. Ponieważ trójkąty 𝐴𝐶𝐵 oraz 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne\n(zobacz pkt 1. i pkt 2.), stąd wynika, że:\n|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽 |∡𝐴𝐶𝐵| = 180° -2𝛽\n|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 𝛽 |∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -2𝛽\n5. Trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na mocy cechy: kąt,\nkąt, kąt.\nSposób 2.\n1. Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie:\n|𝐴𝐶| = |𝐶𝐵|\nPowyższa równość odcinków stycznych wynika z faktu, że trójkąty 𝑆𝐶𝐵 i 𝑆𝐶𝐴 są przystające\nna mocy cechy: kąt, bok (𝐶𝑆), kąt (promień okręgu w punkcie styczności jest prostopadły do\nstycznej, a środek 𝑆 okręgu leży na dwusiecznej kąta ∡𝐴𝐶𝐵).\n2. Miarę kąta ∡𝐴𝐶𝐵 oznaczymy jako 𝛼. Ponieważ\nsuma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°,\na trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, to:\n|∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐶𝐵𝐴| = 𝛽\nZatem\n𝛽= 180° -𝛼\n2\n= 90° -𝛼\n2\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛼\n𝛽= 90° -𝛼\n2\n𝛽\n𝛽\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n180° -2𝛽\n𝛽\n𝛽\n𝛽\n𝛽\n180° -2𝛽\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n87\n3. Rozważmy czworokąt 𝐴𝐶𝐵𝑆. Miarę kąta ∡𝐵𝑆𝐴\noznaczymy\nprzez 𝛾.\nPonieważ\nsuma\nkątów\nw czworokącie jest równa 360°, a kąty ∡𝑆𝐴𝐶 oraz\n∡𝐶𝐵𝑆 są proste, to:\n|∡𝐵𝑆𝐴| = 360° -|∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝐶𝐵𝑆 | -|∡𝐴𝐶𝐵|\nZatem:\n𝛾= 360° -90° -90° -𝛼\n𝛾= 180° -𝛼\n4. Kąt ∡𝐴𝑆𝐷 jest przyległy do kąta ∡𝐵𝑆𝐴, zatem:\n|∡𝐴𝑆𝐷| = 180° - 𝛾\n|∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -(180° -𝛼)\n|∡𝐴𝑆𝐷| = 𝛼\n5. Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny,\ngdzie |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są promieniami\nokręgu). Zatem:\n|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 180° -|∡𝐴𝑆𝐷|\n2\n|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 90° -𝛼\n2 = 𝛽\nUwaga! Miarę kąta ∡𝐵𝐷𝐴 (czyli 𝛽) można było wyrazić poprzez miarę kąta ∡𝐵𝑆𝐴 (czyli 𝛾) na\nmocy twierdzenia o kącie środkowym opartym na tym samym łuku (tutaj łuku 𝐴𝐵) co kąt\nwpisany: 𝛾= 2𝛽\n6. Trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na mocy cechy: kąt,\nkąt, kąt.\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛾= 180° -𝛼\n𝛼\n𝛾\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛾\n𝛼\n𝛽= 90° -𝛼\n2\n𝛽\n𝛽\n𝛼\n𝛽\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛼\n𝛽\n𝛽\n𝛽\n88\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód:\n1. Trójkąt ACB jest równoramienny: |AC|=|CB| (odcinki stycznych z punktu C do okręgu są równej długości - trójkąty SCA i SCB są przystające: kąt-bok-kąt, bo SA⊥k, SB⊥l, wspólny bok SC, |SA|=|SB|=r).\n2. Trójkąt ASD jest równoramienny: |SD|=|SA| (oba są promieniami okręgu).\n3. Oznaczmy |∡BAC|=β. Na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą, kąt środkowy oparty na tym samym łuku AB wynosi |∡BSA|=2β. Z własności kąta wpisanego i środkowego: |∡BDA|=(1/2)|∡BSA|=β. Kąt ∡ASD jest przyległy do ∡BSA, więc |∡ASD|=180°-2β.\n4. Ponieważ trójkąt ASD jest równoramienny z kątem przy wierzchołku S równym 180°-2β, to kąty przy podstawie: |∡SDA|=|∡DAS|=β.\n5. W trójkącie ACB (równoramiennym, |AC|=|CB|): |∡BAC|=|∡CBA|=β, więc |∡ACB|=180°-2β.\n6. Zatem trójkąty ACB i ASD mają odpowiednio równe kąty: przy wierzchołkach A i D (=β), przy wierzchołkach B i A (=β), przy wierzchołkach C i S (=180°-2β).\nNa mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty ACB i ASD są podobne. C.n.d.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-37.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"<p>Zadanie 37. (0-3)<br>Trzy różne punkty 𝐴, 𝐵 i 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Odcinek 𝐵𝐷 jest średnicą<br>tego okręgu. Styczne 𝑘 i 𝑙 do tego okręgu, odpowiednio w punktach 𝐴 i 𝐵, przecinają się<br>w punkcie 𝐶 (zobacz rysunek poniżej).<br>Wykaż, że trójkąty 𝑨𝑪𝑩 i 𝑨𝑺𝑫 są podobne.<br>Wymagania ogólne<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.<br>1.<br>Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.<br>2.<br>Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich<br>podstawie i uzasadnianie ich poprawności.<br>Wymagania szczegółowe<br>VIII. Planimetria. Zdający:</p>\n<ol><li>stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;</li><li>stosuje twierdzenia […] o kącie między styczną a cięciwą;</li><li>korzysta z cech podobieństwa trójkątów;</li><li>przeprowadza dowody geometryczne.</li></ol>\n<p>𝐵<br>𝑆<br>𝑘<br>𝐶<br>𝐴<br>𝑙<br>𝐷<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>85<br>Zasady oceniania<br>(uwzględniające oba sposoby rozwiązania oraz ich kompilacje)<br>3 pkt - poprawne przeprowadzenie pełnego dowodu podobieństwa trójkątów 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷.<br>2 pkt - zapisanie związków pomiędzy kątami: |∡𝐵𝑆𝐴| = 180° -|∡𝐴𝐶𝐵| oraz<br>|∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -|∡𝐵𝑆𝐴| oraz zapisanie zależności wymienionych w kryterium za<br>1 pkt<br>LUB</p>\n<ul><li>wykazanie, że |∡𝐴𝑆𝐷| = |∡𝐴𝐶𝐵|</li></ul>\n<p>oraz zapisanie zależności wymienionych<br>w kryterium za 1 pkt<br>LUB</p>\n<ul><li>wykazanie, że |∡𝐵𝐷𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| oraz zapisanie zależności wymienionych</li></ul>\n<p>w kryterium za 1 pkt.<br>1 pkt - zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny oraz zapisanie związku między jego<br>kątami wewnętrznymi: |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐶𝐵𝐴| = (180° -|∡𝐴𝐶𝐵|): 2<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie, że trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny oraz zapisanie związku między jego</li></ul>\n<p>kątami wewnętrznymi: |∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = (180° -|∡𝐴𝑆𝐷|): 2<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie, ze trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne, oraz wskazanie / zapisanie</li></ul>\n<p>równości odpowiednich ramion.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.</p>\n<ol><li>Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵|.</li></ol>\n<p>Ta równość odcinków stycznych wynika z faktu, że trójkąty 𝑆𝐶𝐵 i 𝑆𝐶𝐴 są przystające na mocy<br>cechy: kąt, bok (bok 𝐶𝑆), kąt (promień okręgu w punkcie styczności jest prostopadły do<br>stycznej, a środek 𝑆 okręgu leży na dwusiecznej kąta ∡𝐴𝐶𝐵).</p>\n<ol><li>Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są</li></ol>\n<p>promieniami okręgu).</p>\n<ol><li>Sposób 1. kroku 3.</li></ol>\n<p>Oznaczymy |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽. Na mocy twierdzenia<br>o kącie<br>między<br>styczną<br>a cięciwą<br>i<br>kącie<br>środkowym opartym na tym łuku co cięciwa,<br>mamy:<br>|∡𝐵𝑆𝐴| = 2𝛽.<br>Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym<br>otrzymujemy:<br>|∡𝐵𝐷𝐴| = 1<br>2 |∡𝐵𝑆𝐴| = 𝛽<br>𝐵<br>𝑆<br>𝑘<br>𝐶<br>𝐴<br>𝑙<br>𝐷<br>𝛽<br>𝛽<br>2𝛽<br>86<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023<br>Sposób 2. kroku 3.<br>Oznaczymy |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽. Na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą i kącie<br>środkowym opartym na tym samym łuku co cięciwa, mamy:<br>|∡𝐵𝑆𝐴| = 2𝛽. Zatem:<br>|∡𝑆𝐷𝐴| = 180° -(180° -2𝛽)<br>2<br>= 𝛽<br>Sposób 3. kroku 3.<br>Oznaczymy |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽. Na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą (tw.<br>o kącie dopisanym) i kącie wpisanym opartym na tym samym łuku co cięciwa, mamy:<br>|∡𝐵𝐷𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽</p>\n<ol><li>Ponieważ trójkąty 𝐴𝐶𝐵 oraz 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne</li></ol>\n<p>(zobacz pkt 1. i pkt 2.), stąd wynika, że:<br>|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽 |∡𝐴𝐶𝐵| = 180° -2𝛽<br>|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 𝛽 |∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -2𝛽</p>\n<ol><li>Trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na mocy cechy: kąt,</li></ol>\n<p>kąt, kąt.<br>Sposób 2.</p>\n<ol><li>Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie:</li></ol>\n<p>|𝐴𝐶| = |𝐶𝐵|<br>Powyższa równość odcinków stycznych wynika z faktu, że trójkąty 𝑆𝐶𝐵 i 𝑆𝐶𝐴 są przystające<br>na mocy cechy: kąt, bok (𝐶𝑆), kąt (promień okręgu w punkcie styczności jest prostopadły do<br>stycznej, a środek 𝑆 okręgu leży na dwusiecznej kąta ∡𝐴𝐶𝐵).</p>\n<ol><li>Miarę kąta ∡𝐴𝐶𝐵 oznaczymy jako 𝛼. Ponieważ</li></ol>\n<p>suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°,<br>a trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, to:<br>|∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐶𝐵𝐴| = 𝛽<br>Zatem<br>𝛽= 180° -𝛼<br>2<br>= 90° -𝛼<br>2<br>𝐵<br>𝑆<br>𝑘<br>𝐶<br>𝐴<br>𝑙<br>𝐷<br>𝛼<br>𝛽= 90° -𝛼<br>2<br>𝛽<br>𝛽<br>𝐵<br>𝑆<br>𝑘<br>𝐶<br>𝐴<br>𝑙<br>𝐷<br>180° -2𝛽<br>𝛽<br>𝛽<br>𝛽<br>𝛽<br>180° -2𝛽<br>Przykładowe zadania z rozwiązaniami<br>87</p>\n<ol><li>Rozważmy czworokąt 𝐴𝐶𝐵𝑆. Miarę kąta ∡𝐵𝑆𝐴</li></ol>\n<p>oznaczymy<br>przez 𝛾.<br>Ponieważ<br>suma<br>kątów<br>w czworokącie jest równa 360°, a kąty ∡𝑆𝐴𝐶 oraz<br>∡𝐶𝐵𝑆 są proste, to:<br>|∡𝐵𝑆𝐴| = 360° -|∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝐶𝐵𝑆 | -|∡𝐴𝐶𝐵|<br>Zatem:<br>𝛾= 360° -90° -90° -𝛼<br>𝛾= 180° -𝛼</p>\n<ol><li>Kąt ∡𝐴𝑆𝐷 jest przyległy do kąta ∡𝐵𝑆𝐴, zatem:</li></ol>\n<p>|∡𝐴𝑆𝐷| = 180° - 𝛾<br>|∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -(180° -𝛼)<br>|∡𝐴𝑆𝐷| = 𝛼</p>\n<ol><li>Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny,</li></ol>\n<p>gdzie |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są promieniami<br>okręgu). Zatem:<br>|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 180° -|∡𝐴𝑆𝐷|<br>2<br>|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 90° -𝛼<br>2 = 𝛽<br>Uwaga! Miarę kąta ∡𝐵𝐷𝐴 (czyli 𝛽) można było wyrazić poprzez miarę kąta ∡𝐵𝑆𝐴 (czyli 𝛾) na<br>mocy twierdzenia o kącie środkowym opartym na tym samym łuku (tutaj łuku 𝐴𝐵) co kąt<br>wpisany: 𝛾= 2𝛽</p>\n<ol><li>Trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na mocy cechy: kąt,</li></ol>\n<p>kąt, kąt.<br>𝐵<br>𝑆<br>𝑘<br>𝐶<br>𝐴<br>𝑙<br>𝐷<br>𝛾= 180° -𝛼<br>𝛼<br>𝛾<br>𝐵<br>𝑆<br>𝑘<br>𝐶<br>𝐴<br>𝑙<br>𝐷<br>𝛾<br>𝛼<br>𝛽= 90° -𝛼<br>2<br>𝛽<br>𝛽<br>𝛼<br>𝛽<br>𝐵<br>𝑆<br>𝑘<br>𝐶<br>𝐴<br>𝑙<br>𝐷<br>𝛼<br>𝛽<br>𝛽<br>𝛽<br>88<br>Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023</p>","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"<p>Dowód:</p>\n<ol><li>Trójkąt ACB jest równoramienny: |AC|=|CB| (odcinki stycznych z punktu C do okręgu są równej długości - trójkąty SCA i SCB są przystające: kąt-bok-kąt, bo SA⊥k, SB⊥l, wspólny bok SC, |SA|=|SB|=r).</li><li>Trójkąt ASD jest równoramienny: |SD|=|SA| (oba są promieniami okręgu).</li><li>Oznaczmy |∡BAC|=β. Na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą, kąt środkowy oparty na tym samym łuku AB wynosi |∡BSA|=2β. Z własności kąta wpisanego i środkowego: |∡BDA|=(1/2)|∡BSA|=β. Kąt ∡ASD jest przyległy do ∡BSA, więc |∡ASD|=180°-2β.</li><li>Ponieważ trójkąt ASD jest równoramienny z kątem przy wierzchołku S równym 180°-2β, to kąty przy podstawie: |∡SDA|=|∡DAS|=β.</li><li>W trójkącie ACB (równoramiennym, |AC|=|CB|): |∡BAC|=|∡CBA|=β, więc |∡ACB|=180°-2β.</li><li>Zatem trójkąty ACB i ASD mają odpowiednio równe kąty: przy wierzchołkach A i D (=β), przy wierzchołkach B i A (=β), przy wierzchołkach C i S (=180°-2β).</li></ol>\n<p>Na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty ACB i ASD są podobne. C.n.d.</p>"}]}