{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/38","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"38","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 38. (0-3)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 o bokach długości: |𝐴𝐵| = 4, |𝐵𝐶| = 5, |𝐴𝐶| = 6. Na tym trójkącie\nopisano okrąg o środku w punkcie 𝑆 i promieniu 𝑅.\nOblicz promień 𝑹 okręgu opisanego na trójkącie 𝑨𝑩𝑪.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta 𝑃=\n1\n2 𝑎𝑏sin 𝛾.\nVIII. Planimetria. Zdający:\n1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków\nstycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.\n𝐴\n𝐵\n5\n𝑆\n𝑅\n4\n𝐶\n6\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n89\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie oraz podanie\nprawidłowego wyniku: 𝑅=\n8√7\n7 .\n2 pkt - obliczenie sinusa jednego z kątów w trójkącie (np. ∡𝐶𝐴𝐵)\nLUB\n- obliczenie cosinusa jednego z kątów w trójkącie (np. ∡𝐶𝐴𝐵) oraz poprawne zapisanie\ndwóch równań wynikających z twierdzenia sinusów oraz „jedynki trygonometrycznej”\ndla jednego z kątów w trójkącie (tego samego).\n1 pkt - obliczenie cosinusa jednego z kątów w trójkącie (np. ∡𝐶𝐴𝐵)\nLUB\n- poprawne zapisanie dwóch równań wynikających z twierdzenia cosinusów oraz\ntwierdzenia sinusów dla jednego z kątów w trójkącie (tego samego, np. ∡𝐶𝐴𝐵).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW celu obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie zastosujemy twierdzenie sinusów\noraz twierdzenie cosinusów. Z twierdzenia cosinusów wyznaczymy cosinus wybranego kąta\nw trójkącie, następnie dla tego kąta oraz boku naprzeciwko tego kąta zastosujemy twierdzenie\nsinusów.\n1. Wprowadzimy oznaczenie: |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼. Z twierdzenia cosinusów obliczymy cos 𝛼:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅cos 𝛼\n52 = 62 + 42 -2 ⋅6 ⋅4 ⋅cos 𝛼\n25 = 36 + 16 -48 ⋅cos 𝛼\n48 ⋅cos 𝛼= 52 -25\ncos 𝛼= 27\n48 = 9\n16\n2. Z „jedynki trygonometrycznej” obliczymy sin 𝛼:\nsin2 𝛼= 1 -( 9\n16)\n2\n= 175\n162\nsin 𝛼= √175\n162 = 5√7\n16\n3. Zastosujemy twierdzenie sinusów do obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie\n𝐴𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶|\nsin 𝛼= 2𝑅 zatem 𝑅=\n5\n2 sin 𝛼=\n5\n2 ⋅5√7\n16\n= 1\n√7\n8\nwięc 𝑅= 8√7\n7\n𝐴\n𝐵\n5\n𝑆\n𝑅\n4\n𝐶\n6\n𝛼\n90\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczmy |∡CAB|=α (kąt naprzeciw boku BC=5). Z tw. cosinusów:\n|BC|²=|AC|²+|AB|²-2|AC||AB|cosα\n25=36+16-48cosα\ncosα=27/48=9/16.\nsinα=√(1-(9/16)²)=√(175/256)=5√7/16.\nZ tw. sinusów: |BC|/sinα=2R, więc R=5/(2·5√7/16)=8/√7=8√7/7.\n\nOdpowiedź: R = 8√7/7.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-38.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":88,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny","text_html":"

Zadanie 38. (0-3)
Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 o bokach długości: |𝐴𝐵| = 4, |𝐵𝐶| = 5, |𝐴𝐶| = 6. Na tym trójkącie
opisano okrąg o środku w punkcie 𝑆 i promieniu 𝑅.
Oblicz promień 𝑹 okręgu opisanego na trójkącie 𝑨𝑩𝑪.
Wymagania ogólne
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1.
Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
3.
Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
Wymagania szczegółowe
VII. Trygonometria. Zdający:

\n
  1. stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta 𝑃=
\n

1
2 𝑎𝑏sin 𝛾.
VIII. Planimetria. Zdający:

\n
  1. wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków
\n

stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.
𝐴
𝐵
5
𝑆
𝑅
4
𝐶
6
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
89
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie oraz podanie
prawidłowego wyniku: 𝑅=
8√7
7 .
2 pkt - obliczenie sinusa jednego z kątów w trójkącie (np. ∡𝐶𝐴𝐵)
LUB

\n\n

dwóch równań wynikających z twierdzenia sinusów oraz „jedynki trygonometrycznej”
dla jednego z kątów w trójkącie (tego samego).
1 pkt - obliczenie cosinusa jednego z kątów w trójkącie (np. ∡𝐶𝐴𝐵)
LUB

\n\n

twierdzenia sinusów dla jednego z kątów w trójkącie (tego samego, np. ∡𝐶𝐴𝐵).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
W celu obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie zastosujemy twierdzenie sinusów
oraz twierdzenie cosinusów. Z twierdzenia cosinusów wyznaczymy cosinus wybranego kąta
w trójkącie, następnie dla tego kąta oraz boku naprzeciwko tego kąta zastosujemy twierdzenie
sinusów.

\n
  1. Wprowadzimy oznaczenie: |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼. Z twierdzenia cosinusów obliczymy cos 𝛼:
\n

|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅cos 𝛼
52 = 62 + 42 -2 ⋅6 ⋅4 ⋅cos 𝛼
25 = 36 + 16 -48 ⋅cos 𝛼
48 ⋅cos 𝛼= 52 -25
cos 𝛼= 27
48 = 9
16

\n
  1. Z „jedynki trygonometrycznej” obliczymy sin 𝛼:
\n

sin2 𝛼= 1 -( 9
16)
2
= 175
162
sin 𝛼= √175
162 = 5√7
16

\n
  1. Zastosujemy twierdzenie sinusów do obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie
\n

𝐴𝐵𝐶:
|𝐵𝐶|
sin 𝛼= 2𝑅 zatem 𝑅=
5
2 sin 𝛼=
5
2 ⋅5√7
16
= 1
√7
8
więc 𝑅= 8√7
7
𝐴
𝐵
5
𝑆
𝑅
4
𝐶
6
𝛼
90
Informator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023

","solutions":[{"source":"ai","label":"AI","kind":"text","html":"

Oznaczmy |∡CAB|=α (kąt naprzeciw boku BC=5). Z tw. cosinusów:
|BC|²=|AC|²+|AB|²-2|AC||AB|cosα
25=36+16-48cosα
cosα=27/48=9/16.
sinα=√(1-(9/16)²)=√(175/256)=5√7/16.
Z tw. sinusów: |BC|/sinα=2R, więc R=5/(2·5√7/16)=8/√7=8√7/7.

\n

Odpowiedź: R = 8√7/7.

"}]}